11从梯子的倾斜程度谈起（1）锐角三角函数——正切与余切

1、源于生活的数学驶向胜利的彼岸w梯子是我们日常生活中常见的梯子是我们日常生活中常见的物体，如果我们需要用梯子上一物体，如果我们需要用梯子上一个建筑物，在梯子高度允许的情个建筑物，在梯子高度允许的情况下，你会让梯子离墙根近一些，况下，你会让梯子离墙根近一些，还是远一些？为什么？还是远一些？为什么？ 铅直高度铅直高度 水平距离水平距离 梯子、地面与墙之间形成梯子、地面与墙之间形成一个直角三角形，梯子的铅直一个直角三角形，梯子的铅直高度及梯子的水平距离可以看高度及梯子的水平距离可以看做是它的直角边，梯子可以看做是它的直角边，梯子可以看做是斜边。梯子在上升变做是斜边。梯子在上升变陡陡过过程中，程中，倾斜

2、角倾斜角的的大小大小发生了变发生了变化。化。倾斜角越大倾斜角越大梯子梯子陡陡。 所以，可以用梯子与地面的夹所以，可以用梯子与地面的夹角（倾斜角）的大小来判断两角（倾斜角）的大小来判断两架梯子哪个更陡些。架梯子哪个更陡些。（倾斜角）（倾斜角）梯子与地面的夹角梯子与地面的夹角研究直角三角形的边与角的研究直角三角形的边与角的关系，让我们就关系，让我们就从梯子的倾斜程度谈起从梯子的倾斜程度谈起生活问题数学化w小明的问题小明的问题, ,如图如图: 想一想想一想P2看课本图1-1，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？驶向胜利的彼岸5m2.5mCBA2mE5mDF有比较才有鉴别w小颖的问题小颖的问题,

3、,如图如图: 想一想想一想P2?驶向胜利的彼岸课本图1-2中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？1.5mA4mCB1.3mE3.5mDF永恒的真理 变w小亮的问题小亮的问题, ,如图如图: 做一做做一做P2梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？驶向胜利的彼岸3m2m6m4mABCDEF梯子的铅直高度与梯子的铅直高度与其水平距离的比相其水平距离的比相同时，梯子就一样同时，梯子就一样陡陡。在实践中探索w小丽的问题小丽的问题, ,如图如图: : 想一想想一想P2驶向胜利的彼岸梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？?2m2m6m5mABCDEF知道就做,别客气 做一做做一做P3w小明和小亮这

4、样想,如图:w如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度;驶向胜利的彼岸w而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度.w你同意小亮的看法吗?AB1C2C1B2由感性到理性直角三角形的边与角的关系直角三角形的边与角的关系 议一议议一议P3w(1).Rt(1).RtABAB1C C1和和RtRtABAB2C C2有什么关系有什么关系? ? w（3 3）如果改变）如果改变B2在梯子上的位置在梯子上的位置( (如如B3C3 ) )比值比值改变吗改变吗? ?w由此你得出什么结论由此你得出什么结论? ?驶向胜利的彼岸AB1C2C1

5、B2?).2(222111有什么关系和ACCBACCBC3B3 当直角三角形中的锐角确定后，它当直角三角形中的锐角确定后，它的对边与邻边之比也随之确定。的对边与邻边之比也随之确定。由感性上升到理性w直角三角形中边与角的关系:锐角的三角函数-正切函数 想一想想一想P4w如图，在RtABC中,如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做A的正切正切，记作tanA，即驶向胜利的彼岸ABCA的对边A的邻边的邻边的对边AAtanAtanA= =l定义中应该注意的几个问题:w 1.tanA是在直角三角形中定义的,A是一个锐角2.tanA是一个完整的符号,表示A的正切,习惯省去角的符号“”；

6、w 3.tanA是一个比值（直角边的对边与邻边之比,且tanA0,无单位.w 4.tanA的大小只与A的大小有关,而与直角三角形边长大小无关.w 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等.驶向胜利的彼岸判断下列结论的错与对：驶向胜利的彼岸(1).如图 (1)( ). ACBCA tanABCABC7m10m(1)(2)(2).如图 (2)( ). BCACA tan(3).如图 (2)( ). ABBCA tan(4).如图 (2)( ). 710tanB(5).如图 (2)( ). (6).如图 (2)( ). 7 . 0tan7 . 0tan, 7 . 0tanAAA

7、或A7 . 0tan试一试八仙过海八仙过海, ,尽显才能尽显才能w4.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ）wA.扩大100倍 B.缩小100倍 wC.不变 D.不能确定随堂练习随堂练习w5.已知A,B为锐角w(1)若A=B,则tanA tanB;w(2)若tanA=tanB,则A B.驶向胜利的彼岸ABC试一试：如果试一试：如果改变改变AA 的大的大小小, , AA的对边与邻边的比值的对边与邻边的比值会发生怎样的变化吗会发生怎样的变化吗? ? CtanAtanA的值越大的值越大, ,梯子越陡梯子越陡. .wA越大,梯子越陡.B23议一议：议一议：如图,梯

8、子AB的倾斜程度与tanA有关吗?与A有关吗?A变大变大, AA的对边与的对边与邻边的比值随之变大。邻边的比值随之变大。AB行家看“门道”w例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡? 例题欣赏例题欣赏P4w解:甲梯中,驶向胜利的彼岸6m乙8m5m甲13mw乙梯中,.1255135tan22.4386tanwtantan,乙梯更陡.w老师提示:生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.w如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.坡面与水平面的夹角()称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切.w例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么

9、山坡的坡度i(即tan)就是: 驶向胜利的彼岸.5310060tani100m60mi用数学去解释生活八仙过海,尽显才能w1.如图,ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？ 随堂练习随堂练习P6w2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m).驶向胜利的彼岸1.5ABCDABC4回味无穷n回顾,反思,深化小结 拓展1.正切的定义:驶向胜利的彼岸ABCA的对边A的邻边w在RtABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切,记作tanA,即的邻边的对边AAtanAtanA= =结束寄语锐角三角

10、函数描述了直角三角形中边与锐角三角函数描述了直角三角形中边与角的关系角的关系, ,它又是一个变量之间重要的它又是一个变量之间重要的函数关系函数关系, ,即新奇即新奇, ,又富有魅力又富有魅力, ,你可要你可要与它建立好感情噢！与它建立好感情噢！ 知识的升华独立独立作业作业P6 习题1.1 1,2,3题;祝你成功！驶向胜利的彼岸八仙过海,尽显才能w6.6.如图, C=90C=90CDABCDAB. .随堂练习随堂练习P6w7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanA的值.驶向胜利的彼岸w老师提示:w模型“双垂直三角形”的有关性质你可曾记得.ACBD.tanB( ) ( ) ( )( ) (

11、) ( )八仙过海,尽显才能w8.8.如图,分别根据图(1)和图(2)求tanA的值. .随堂练习随堂练习P6w9.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90, , (1)AC=(1)AC=3 3,AB=,AB=6 6, ,求求tanAtanA和和tanBtanB(2)BC=3,tanA= ,(2)BC=3,tanA= ,求求ACAC和和ABAB.驶向胜利的彼岸w老师提示:w求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACB34ACB34(1)(2)125八仙过海,尽显才能w10.在RtABC中,C=90,AB=15,tanA= ,w求AC和BC.随堂练习随堂练习P6w11.在等腰在等腰

12、ABCABC中中,AB=AC=13,BC=10,AB=AC=13,BC=10,w求求tanBtanB.驶向胜利的彼岸w老师提示:w过点A作AD垂直于BC于点D.w求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.43ACBD相信自己相信自己w12. 在RtABC中,C=90.w(1)AC=25.AB=27.求tanA和tanB.w(2)BC=3,tanA=0.6,求AC 和AB.w(3)AC=4,tanA=0.8,求BC.随堂练习随堂练习P6w13.在梯形ABCD中,AD/BC,AB=DC=13,AD=8,BC=18.w求:tanB.驶向胜利的彼岸w老师提示:w作梯形的高是梯形的常用辅助,借助它可以

13、转化为直角三角形.ACBDFEP6 习题1.1 1,2,3题独立独立作业作业1. 在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,AC=,AC=5 5,AB=,AB=1313, ,求求tanAtanA和和tanBtanB. .驶向胜利的彼岸2.2.在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,BC=3,tanA= ,BC=3,tanA= ,求求AC,ABAC,AB和和BCBC. .1253.观察你们学校,你家或附近的楼梯,看看那个最陡.从梯子的倾斜程度谈起实中数学组搜集整理九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系教师寄语锐角三角函数描述了直角三角形中边与锐角三角函数描述了直角三角形中边

14、与角的关系角的关系, ,它又是一个变量之间重要的它又是一个变量之间重要的函数关系函数关系, ,即新奇即新奇, ,又富有魅力又富有魅力, ,你可要你可要与它建立好感情噢！与它建立好感情噢！ w猜一猜猜一猜,这座古塔有多高这座古塔有多高?看看谁的本领大w在直角三角形中在直角三角形中,知道一边和知道一边和一个锐角一个锐角,你能求出其它的边你能求出其它的边和角吗和角吗? 有的放矢有的放矢驶向胜利的彼岸w想一想想一想,你能运用所学的你能运用所学的数学知识测出这座古塔的数学知识测出这座古塔的高吗高吗?AB12本领大不大,悟心来当家w办法不只一种 想一想想一想P1w小明在小明在A A处仰望塔顶处仰望塔顶, ,测得测得11的大小的大小, ,再再往塔的方向前进往塔的方向前进50m50m到到B B处处, ,又测得又测得22的的大小大小, ,根据这些他就求出了塔的高度根据这些他就求出了塔的高度. .你你知道他是怎么做的吗？知道他是怎么做