利用导数求参数的取值范围

1、一 .与二次函数的性质、单调性、不等式等相联系求解策略：利用“要使成立，只需使函数的最小值恒成立即可；要使成立，只需使函数的最大值恒成立即可”.这也是近两年高考考查和应用最多的一种.例1已知向量=(,)，=(,)，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围. 解析：由向量的数量积定义，=()+()=+=+.若在区间(-1,1)上是增函数，则有0-在 (-1,1)上恒成立.若令=-=-3()-在区间-1,1上，=5，故在区间(-1,1)上使恒成立，只需即可，即5.即的取值范围是5，）.点评：本题除了用导数反映单调性，还借助了二次函数的性质求出最值，且要注意边界值的取舍。例2使不等式->对

2、任意的实数都成立，求实数的取值范围.解析：注意到不等式的次数较高，应想到构造函数，求导.令=-，则如果原不等式对任意的实数都成立等价于>.又=-=4()，令=0，解得，=0或=1.的符号及的单调性如下：(-,0)0(0,1)1(1,+)-0-0+无极值极小值因为在R上的极值只有一个，故此极小值即为最小值，即= -1，= -1>，即>3.点评：本题是利用导数求得函数的最值，进而求出参数范围的。例3若函数=(>0,1)在区间(-,0)内单调递增，则的取值范围是（ ）A,1) B.1) C(,+) D(1,) 解析：是复合函数，须按0<<1及>1两种情况考虑

3、. 令=，在(-,0)上为增函数， 若0<<1，则在(-,0)上为减函数，即=<0在(-,0)上恒成立，即>3在(-,0)上恒成立,3=,此时，1； 若>1，则在(-,0)上为增函数，须使=0在(-,0)上恒成立，即3在(-,0)上恒成立,即0，不合题意.综上，.1).点评：解决与复合函数有关问题，要注意复合函数的单调性，否则就会南辕北辙.例4（04辽宁）已知函数.（1）求函数的反函数的导数（2）假设对任意,不等式成立，求实数m的取值范围.解析：(1) 解略.=，=；得=；(2) 解此绝对值不等式得+<<-把（1）代入上式，得-+<<+-若

4、把此不等式左右两边设为两个新函数，即令=-+，=+-则原不等式对于任意恒成立，意即<<成立，只需满足<<即可.=，=，注意到0<<<，即<1<，故>0 , >0 , 故、均为增函数，在上，=，=，故原不等式成立，当且仅当<<，即<<.点评：问题（2）涉及的式子看似复杂，难以下手，一旦使不等式问题函数化，问题就变得简单多了。再借用导数判断出新函数的单调性，即可求出在给定区间的最值，问题即迎刃而解。二 .与极值点的个数有关求解策略：按方程=0的根的个数分情况谈论。例5已知,函数= 的图象与函数=的图象相切，(

5、)求与的关系式（用表示）；()设函数=在(-,+)内有极值点，求的取值范围. 解析：()与的图象相切，切线的斜率相等，即=即，故，切点的纵坐标为=，解得，又,，即.()=，=，令=0，即=0 (这是二次方程，可通过判别式判断根的个数，进而判断极值点的情况)= 若=0，=0有一个实根，则=，的变化如下： （-，）（，+）+0+故=不是的极值点； 若0，=0有两个不同的实根、，不妨设，则=，的变化如下：（-，）（，）（，+）+0-0+故、分别为函数的极大值点和极小值点.综合，当0，=0在(-,+)内有极值点.由=0，即，又由()，得，解得，或.故的取值范围是（0，）（，+）.点评：解决要明了切线与

6、导数之间的关系；解决借助了一元二次方程的判别式，更要结合导数与极值之间的关系.三 .与集合之间的关系相联系例6设0，点是函数与=处有相同的切线，()用表示，；()若函数=在(-1,3)上单调递减，求的取值范围.解析：()为切点，切线相同，此问与例5大同小异。把点代入两函数解析式，有，又0，故，又在点处切线相同，故，即，将代入，得=，从而，=，即.() 由()，=，=，=，函数=单调递减，即0，由=0，当0时，；0时，.故函数的单调区间，当0时，为；当0时，为.故要使函数在(-1,3)上单调递减，须满足(-1,3)或(-1,3)，即或，解得，3或的范围是(-，-93，+）.点评：题看题意似与例1

7、相似，其实不然。本题的表达式中含、和，不能把全部移到另一边构造新的二次函数，故利用了集合之间的包含关系确定边界点的范围，从而得出结果。04年高考浙江文就已经考过了此类题.四、已知函数单调性，求参数的取值范围类型1参数放在函数表达式上例 设函数略解：（）由（）方法：方法：方法解题方法总结：求后，若能因式分解则先因式分解，讨论=0两根的大小判断函数的单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.基础训练：类型2参数放在区间边界上例已知函数过原点和点(-1,2),若曲线在点P处的切线与直线且切线的倾斜角为钝角.(1) 求的表达式(2) 若在区间2m-1,m+1上递增,求m的取值范

8、围.略解 (1)总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.基础训练：五已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围类型参数放在不等式上(1) 求、的值及函数的单调区间(2) 若对恒成立，求的取值范围略解：(1)总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.基础训练：类型2参数放在区间上例已知三次函数图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且在x=3处有极值.（） 求的解析式.（） 当时,>0恒成立,求实数m的取值范围.分析:(1)基础训练：六知函数图象的交点情况，求参数的取值范围处取得极值(1) 求函数的解析式.(2) 若过点可作曲线y=的三条切线,求实数m的取值范围.略解(1)求得(2)设切点为总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数.基础训练：七. 开放型的问题，求参数的取值范围。例已知且。（1）设，求的解析式。（2）设，试问：是否存在，使在（）上是单调递减函数，且在（）上是单调递增函数；若存在，求出的值；若不存在，说明理由。分析：（1）易求c=1,（2），由题意在（）上是单调递减函数，且在（）上是单调递增函数知，是极