函数的概念学习指导

1、函数的概念学习指导李福顺 冯玉芬一、函数的概念及注意的问题1. 定义：设在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。从定义的理解来看，学习时希望同学们应注意以下几点：（1）函数是两个变量之间的对应关系。（2）要注意“惟一”这个前提条件，如果在一个变化过程中，对于x的某一个值，y有两个或两个以上的值与之对应，那么就不能说y是x的函数。（3）当且仅当两个函数的自变量的取值范围和对应关系都相同时，才能称为同一个函数。（4）判断两个变量是否有函数关系时，不能只看是否有关系式存在，要从函数的定义入手，看其是否符合定义。（5）有些

2、函数关系是不能用关系式来表示的（如某一天的气温和时间的关系等）。（6）自变量的取值范围有无限的、有限的，有时也可能是单独一个或几个数的。在一个函数关系式中，如果同时有几种代数式出现时，自变量的取值范围应当是它们的公共部分。（7）当函数的解析式表示实际问题时，自变量的取值范围必须使实际问题有意义。（8）在表示自变量的取值范围时，要切实注意“且”与“或”的正确运用。（9）确定函数关系式时，一定要注明函数的自变量的取值范围。（10）要注意分段函数的理解与解答以及函数与方程的区别。二、函数概念易错题剖析例1. 分别指出下列各对函数是否为同一个函数（1）和；（2）与（3）与（4）与简析：根据以上函数概念

3、的注意事项分析：（1）中两个函数的自变量的取值范围分别是全体实数和的实数，取值范围不同，所以不是同一个函数；（2）中的两个函数的自变量的取值范围也不同，所以它们不是同一个函数；（3）、（4）中所给的两个函数的自变量的取值范围都是全体实数，对应关系也相同，所以它们分别是同一个函数。学生由于函数概念不清而导致不能正确区分，经常出现判断失误，要加强这方面的训练。例2. 判断下列各式是否表示函数关系（1）；（2）；（3）；（4）简析：（1）中的可以看作是（c为常数）的形式，对于任意的自变量x，函数值保持不变，或者理解为“对于x在实数范围内的每一个确定的值，y都有惟一确定的值c和它对应”，它符合函数的定

4、义，所以它表示的是一个函数关系。在（2）中，由于它符合函数的定义，所以它是一个函数关系。在（3）中，对于x的每一个确定的值，如1、2、3、4等，y都有两个值等和它对应，不符合函数概念中的“惟一确定的值”的要求，因此，它不表示函数关系。在（4）中，由于不理解函数和方程是两个不同的概念很容易认为它是一个函数关系，实质上xy=1表示一个方程。方程的要点是：“含有未知数的等式”，而函数的要点是：“存在两个变量并且两个变量之间存在着某种要求的对应关系”。另外，函数中的两个变量是不平等的，变量y是随着变量x的值的变化而变化，y与x有主从之分，而方程中的两个变量是平等的，无主从之分，有的方程能化简转化为函数形式，但也有的方程却不能化简转化为函数的形式，如，解不出y为x的函数。例3. 下图中的两个图像是否表示函数关系。简析：图（1）不能表示函数关系，因为当x=1时，y的对应值不惟一，不符合函数的定义；而对于图（2）来说，符合函数的定义，因此，它表示的是函数关系。例4. 求下列函数的自变量的取值范围。（1）（r为自变量）；（2）（其中r为球的半径）；（3）某单位有煤120吨，每天用煤5吨，则该单位的用煤量y（吨）与用煤天数x（天）之间的函数关系；（4）简析：（1）中自变量的取值范围为全体实数；（2）中要注意问题的实际意义，因此，其取值范围应是全体正实数；（3）中易