北师大版八年级数学上册第一章勾股定理　单元测试题

1、第一章 勾股定理第卷(选择题共30分)一、选择题(每题3分,共30分)1.已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则ABC一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书周髀算经中早有记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出()图1A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大

2、正方形与直角三角形的面积和3. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何.”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大.题中“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为()A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米4 如图2,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米.若保持梯子底端的位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为()图2A.0

3、.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米5.将面积为8的半圆与两个正方形按图2所示的方式摆放,则这两个正方形面积的和为()图2A.16B.32C.8D.646.若ABC的三边长a,b,c满足a-b2+b-2+c2-82=0,则下列对此三角形的形状描述最确切的是()A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形7.如图3所示,ACBD,O为垂足,设m=AB2+CD2,n=AD2+BC2,则m,n的大小关系为()图3A.m<nB.m=nC.m>nD.不能确定8.如图4,A,B两个村庄分别在两条公路MN和EF的边上,且MNEF,某施工队在A,B,C三个村之间修了三条笔直的

4、路.若MAB=65°,CBE=25°,AB=160 km,BC=120 km,则A,C两村之间的距离为()图4A.250 km B.240 km C.200 km D .180 km9.如图5,在ABC中,AB=AC=5,BC=6,若点P在边AC上移动,则BP的最小值是()图5A.5B.6C.4D.4.810.如图6所示,在长方形纸片ABCD中,已知AD=8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为()图6A.3B.4C.5D.6请将选择题答案填入下表:题号12345678910总分答案第卷(非选择题共70分)二、填空题(每题3

5、分,共18分)11.在ABC中,若AC2+BC2=AB2,AB=12,则B的度数是. 12.古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果m表示大于1的整数,a=2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.请你利用这个结论得出一组勾股数是. 13.中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位,体现了数学研究中的继承和发展.现用4个全等的直角三角形拼成如图7所示的“弦图”.在RtABC中,ACB=90°,AC=b,BC=a,如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,那么(a+b)2的值为. 图714.已知在ABC中,AC

6、B=90°,AC=3,BC=4,分别以AC,BC,AB为直径作半圆,如图8所示,则阴影部分的面积是. 图815.如图9所示,把长方形纸片ABCD沿EF,GH同时折叠,B,C两点恰好都落在AD边上的点P处,若FPH=90°,PF=8,PH=6,则BC边的长为. 图916.如图10,在RtABC中,ACB=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设移动的时间为t s,当t=时,ABP为直角三角形. 图10三、解答题(共52分)17.(6分)如图11,在ABC中,D是BC上的一点,AB=

7、10,BD=6,AD=8,AC=17.(1)判断AD与BC的位置关系,并说明理由;(2)求ABC的面积.图1118.(6分)如图12,在ABC中,AB=17,BC=9,AC=10,试求ABC的面积.图1219.(6分)如图13是某同学设计的机器人比赛时行走的路径,机器人从A处先往东走4 m,又往北走1.5 m,遇到障碍后又往西走2 m,再转向北走4.5 m后往东一拐,仅走0.5 m就到达了B处,则点A,B之间的距离是多少?图1320.(6分)如图14所示,有两根长杆隔河相对,一杆高3 m,另一杆高2 m,两杆相距5 m.两根长杆都与地面垂直,现两杆顶部各有一只鱼鹰,它们同时看到两杆之间的河面上

8、E处浮起一条小鱼,于是同时以同样的速度飞下来夺鱼,结果两只鱼鹰同时叼住小鱼.求两杆底部距小鱼的距离各是多少米.(假设小鱼在此过程中保持不动)图1421.(6分)如图15,河边有A,B两个村庄,A村距河边10 m,B村距河边30 m,两村平行于河边方向的水平距离为30 m,现要在河边建一抽水站,需铺设管道抽水到A村和B村.(1)求铺设管道的最短长度是多少,请画图说明;(2)若铺设管道每米需要500元,则最低费用为多少?图1522.(6分)有一个如图16所示的长方体的透明鱼缸,假设其长AD=80 cm,高AB=60 cm,水深AE=40 cm,在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵,G在水面线EF上,且EG

9、=60 cm.一小虫想从鱼缸外的点A处沿缸壁爬到鱼缸内G处吃鱼饵.(1)小虫应该走怎样的路线才可使爬行的路程最短?请画出它的爬行路线,并用箭头标注;(2)试求小虫爬行的最短路程.图1623.(8分)如图17,在由6个大小相同的小正方形组成的方格中,设每个小正方形的边长均为1.(1)如图,A,B,C是三个格点(即小正方形的顶点),判断AB与BC的位置关系,并说明理由;(2)如图,连接三格和两格的对角线,求+的度数(要求:画出示意图,并说明理由).图1724.(8分)八年级(3)班开展了手工制作竞赛,每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品时的第一、二个步骤是:如图18,先

10、裁下一张长BC=20 cm,宽AB=16 cm 的长方形纸片ABCD;将纸片沿着直线AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处.请你根据步骤解答下列问题:(1)找出图中FEC的余角;(2)求EC的长.图18答案1.B2.C3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.D10.D11.60°12.答案不唯一,如20,99,10113.1814.615.2418.解:如图,过点A作ADBC交BC的延长线于点D.在RtABD和RtACD中,因为AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2,所以AB2-BD2=AC2-CD2.设CD=x,因为AB=17,BC=9,AC=10,所以BD=9+x,故17

11、2-(9+x)2=102-x2,解得x=6.所以AD2=AC2-CD2=102-62=82.所以AD=8.所以ABC的面积为·BC·AD=×9×8=36.19.解:如图,过点B作BCAD于点C.由图可知AC=4-2+0.5=2.5(m),BC=4.5+1.5=6(m).在RtABC中,AB2=AC2+BC2=2.52+62=42.25,所以AB=6.5 m,即点A,B之间的距离是6.5 m.20.解:由题意可知AB=2 m,CD=3 m,BC=5 m,AE=DE.设BE=x m,则EC=(5-x)m.在RtABE中,由勾股定理,得AE2=AB2+BE2.

12、在RtDCE中,由勾股定理,得DE2=CD2+EC2.所以AB2+BE2=CD2+EC2,即22+x2=32+(5-x)2,解得x=3,则5-x=2.所以杆AB底部距小鱼3 m,杆CD底部距小鱼2 m.21.解:(1)如图,过点A作AC垂直河边于点C,延长AC至点D,使CD=AC,连接BD,交河边于点E,连接AE,则抽水站应建在点E处,可使铺设的管道最短,最短长度为AE+BE,即BD的长.过点B作BFAC于点F.由题意,得AC=10 m,CF=30 m,BF=30 m,所以CD=AC=10 m.所以DF=10+30=40(m).在RtBDF中,BD2=302+402=502,所以BD=50 m

13、.即铺设管道的最短长度是50 m.(2)最低费用为50×500=25000(元).22.解:(1)如图所示,作点A关于BC的对称点A',连接A'G,与BC交于点Q,连接AQ,QG,则AQQG为最短路线.(2)由(1)得A'B=AB=60 cm.因为AE=40 cm,AA'=120 cm,所以A'E=120-40=80(cm).因为EG=60 cm,所以A'G2=A'E2+EG2=802+602=10000.所以A'G=100 cm.所以AQ+QG=A'Q+QG=A'G=100 cm.所以小虫爬行的最短路程为100 cm.23.解:(1)ABBC.理由:如图,连接AC.由勾股定理可得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以ABC是直角三角形且ABC=90°.所以ABBC.(2)+=45°.理由:如图,在格点上取一点B,连接AB,BC.由勾股定理得AB2=12+22=5,BC2=12+22=5,AC2=12+32=10,所以AB2+BC2=AC2.所以ABC是直角三角形且ABC=90°.又因为AB=BC,所以ABC是等腰直角三角形.所以BAC=45°,即+=45&#