数列知识与方法总结

1、一、知识结构与要点定义通项等差中项 a、b、c成等差基本概念 推广 前n项和等差数列 当d>0(<0) 时为递增（减）数列 当d=0时为常数 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等中共成等差则也成等差定义:通项 等比中项：a b c成等比数列基本概念 推广前n项和等比数列与首末两端等距离的两项之积相等成等比，若 成等差则成等比 基本性质 当 或 时 为递增数列当 或 时 为递减数列 当 q<0时 为摆动数列当 q=1时 为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括（一）一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、摆动、循环数列；数列a

2、n的通项公式an；数列的前n项和公式Sn；一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：（二）等差数列1等差数列的概念定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 即：2等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 （2）等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。3等差数列的通项公式如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。说明：该公式整理后是关于n的一次函数。4等差数列的前n项和（1）（2.）说明对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。5等差中项如果，成

3、等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。6等差数列的性质（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有（2）.对于等差数列，若，则。也就是：，如图所示：（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示：（4）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：奇数项偶数项所以有；所以有（5）若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。（三）等比数列1

4、等比数列的概念定义：等比中项如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么，即。2等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 （2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。3.等比数列的通项公式如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。4.等比数列的前n项和5.等比数列的性质（1）等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有（2）.对于等比数列，若，则也就是：。如图所示：（3）若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：三、数列的通项求法1.等差，等比数列的通

5、项；2.3.迭加累加，迭乘累乘，注：4. 数列间的关系(1)(2)（3）递推数列能根据递推公式写出数列的前n项由解题思路：利用变化（）已知（）已知若一阶线性递归数列an=kan1+b（k0,k1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；四、数列的求和方法（详细讲解见六）1.等差与等比数列求和公式2.裂项相消法：如：an=1/n(n+1)3.错位相减法：, 所以有如：an=(2n-1)2n4.倒序相加法：如已知函数求：。5.通项分解法：如：an=2n+3n五、其它方面1、在等差数列中,有关Sn的最值问题常用邻项变号法求解：  (1)

6、当,d<0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当,d>0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)4、求数列an的最大、最小项的方法： an+1-an=如an= -2n2+29n-3 (an>0)如an=an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=六、专题讲座一 数列求和题的基本思路和常用方法数列求和是«数列»

7、;一章中的一个重要内容,是高考考试中的常见题型这类试题形式变化多样,但于思路不清、找不准方法常常出现种种错误,导致解题失败.现给出几种数列求和的不同方法,并就题例分述如下.1 公式法：很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n项和公式解决,在具体问题中记住并熟练应用下列几个常用公式：; ;例如: 已知数列的通项公式为,求其前n项和解:2 折项分组法:把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个可以求和的新数列，分别求和.例如：已知数列的通项公式为,求其前n项和解:+（）= 此方法常用于解形如数列的前n项和(其中是等差数列,是等比数列).3 裂项相消法:把数列的每一项拆为两项之差,求和时使大部分项

8、能“正”、“负”相消, 变为求有限几项的和.常用裂项公式为：;。例如求和=解:已知数列的通项公式为，求其前n 项和解:的前n项和(其中是等差数列)4 倒序相加法:一个数列,如果距首末等距离的两项的和相等，那么求这个数列的前n项和可通过将正写和反写的和式相加,变为规则数列的求和。如等差数列前n项和公式的推导。例如:求和解:又+得: 此法常用于解形如的和.(其中是等差数列) 5.错项相减法：如果数列的每一项可分解为两个因式的乘积,各项的第一个因子成公差为d的等差数列,第二个因子成公比为q的等比数列,可将此数列前n项的和乘以公比q 然后错项相减从而求出Sn.例如:求已知数列的通项公式为，求其前n 项

9、和解: 则 ，-得:6.变换法 ：利用转化思想将其求和问题转化为等差、等比求和题或利于求和式的题目。例如:求数列：的前n项和. 解:若,则 若,= 7.并项求和法:如果数列中各项正负相间(即通项公式中含有(-1)且相邻两项的和为常数或奇数项、偶数项分别由等差数列、等比数列等规则数列的项构成的数列，求和时可以重新组合成几个规则数列求和进行计算，但要注意项数n的奇偶性,常常需分项数n为奇数和偶数来进行讨论。 例如：已知数列的通项公式为，求前n 项和解法一:当n为奇数时;当n为偶数时 综上所述:解法二:当n为奇数时当n为偶数时 综上所述:方法小结:1. 数列求和的关键在于分析数列的通项公式的结构特征

10、，在具体解决求和问题中, 要善于从数列的通项入手观察数列通项公式的结构特征与变化规律，根据通项公式的形式准确、迅速地选择方法,从而形成“抓通项、寻规律、定方法”的数列求和思路是解决这类试题的诀窍.2. 一般地，非等差（比）数列求和题的通常解题思路是：如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法；如果数列项的次数及系数有规律一般可用错项相减法、倒序相加法来解决；如果每项可写成两项之差一般可用裂项法；如果能求出通项，可用拆项分组法；如果通项公式中含有(-1)可用并项求和法.专题讲座二、关联数列的数表问题专题训练一、求数表所暗示的规律（即通项公式） 1下面的数表所暗示的一般规律是。 1=10y2yx

11、2x10374186* 3+5=87+9+11=2713+15+17+19=6421+23+25+27+29=125二、求表中指定的某些项 2能够在如右上表所示的正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问必须1312*填进标有*号的空格的数是。 3能够在如右表所示的正方形的9个空格中填入正整数，使得每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，问必须填进标有*号的空格的数是。 13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29 第四题 4全体正奇数排成右下表：其构成规律是：第行恰有个连续奇数；从第二行起，每一行第一个数与上一行最后的一个数是相邻奇数，则20

12、05是第行的第个数。三、求数表中所有项的和 5.如右图，在杨辉三角形中从上往下共有行，其中非1的数字之和是。11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1第五题四、求数表中指定项的和6个正数排成几行几列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等,已知,试求的值.五、关联数表、数列的综合题71 2 3456 7 8 9 10 把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设（i、jN*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8（I）若2006，求i、j的值；（II）记三角形数表从上往下数

13、第n行各数的和为，令若数列 的前项和为，求的表达式专题二参考答案：1设第行左边第一个数为，则，。 叠加得，而第行等式左边是个奇数的和，故第行所暗示的一般规律是。2记为从上到下第行，从左到右第列的格所填的数，则。由第3行得，由第3列得，所以。由第2行得，由第3列得 所以，解得。 所以，。故标有*号的空格应填142。3设标有*号的空格应填，根据中间空格列方程得：解得，故标有*号的空格应填4。4行共有个奇数，因此，第行的最后一个数是。从而第行的第一个数是令。解得，。故2005是第45行第个数，则，得。于是2005是第45行第13个数。5第1行数字和为1，第2行数字和为2，第3行数字和为4,第行数字和为，于是所有数字和。数表里共有个1，故非1的数字和为。6设第一行