拉格朗日中值定理的证明与应用

1、拉格朗日中值定理的证明与应用屈俊1，张锦花2摘要:本文首先用辅助函数法,区间套法,参数变异法,巴拿赫不动点定理法,行列式法,旋转坐标法，面积法证明了拉格朗日中值定理。然后用具体的例子,说明了如何应用拉格朗日中值定理求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题。关键字:拉格朗日中值定理证明应用三大微分中值定理（其中包括罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值）是数学分析中的一个重要章节。微分中值定理建立了函数与导数之间的联系，他们使微积分建立在严密而坚实的基础上，构成了微积分优美的基本理论，而且是利用导数研究函数的性质与状态的重要理论基础。拉格朗日中值定理是几个微分

2、中值定理中最重要的一个，是微分学应用的桥梁。由于罗尔中值定理条件的限制，他的用途没有拉格朗日中值定理广泛，在证明拉格朗日中值定理时方法多样，下面介绍证明拉格朗日中值定理时常常采用的方法以及用具体的例子说明拉格朗日中值定理的应用。(一)拉格朗日中值定理的证明拉格朗日(Lagrange)中值定理:若函数满足如下条件：(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得)()(拉格朗日中值定理的几何意义：函数在区间上的图形是连续光滑曲线弧 Ç上至少有一点C，曲线在C点的切线平行于弦AB. 从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若在闭区间,两端点的函数

3、值相等，即，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理. 换句话说，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函数作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.证明：辅助函数法目前教材的常见证明方法如下：作辅助函数由于函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且有于是由Rolle定理，至少存在一点，使得对的表达式求导并令整理后便得到行列式令根据拉格朗日中值定理的条件知，函数在闭区间上连续，在开区间内可导，并且有由于所以根据罗尔中值定理知，在内至少有一点，使得，即根据行列式的性质不难得到在按照第三列展开该行列式得即证毕旋转坐标法分析：做辅助函数因为由可得经此坐标轴

4、的旋转变换，使旋转角满足由此，构造辅助函数为即可把问题转化为符合罗尔定理的条件。证明：作坐标轴的旋转变换，使旋转角满足有坐标轴的旋转公式：得作辅助函数则因为经检验可得且满足罗尔中值定理的另外两个条件，故至少存在一点使得即得区间套法引理1 若满足：（1）在上连续，则存在属于的使得(1)证明：设有条件可知在上连续，且若则令显然有且此时，即为引理1要求的；同理可证，也为引理1要求的。则由闭区间上连续函数的性质可知，存在使得。即亦即综合引理1得证。引理2 若在内一点可导，为任意两个数列，且，则证明：在点可导且对于当时，恒有同理，对于当时，恒有所以对于当时，有所以拉格朗日中值定理证明：在上连续，有引理1

5、可知，存在使得同理，存在以此类推，可得上的一系列闭区间满足有区间套定理可知，在内存在一点，有应用引理2，有即证毕参数变易法设则有所以令由于闭区间上连续，开区间内可导，所以满足罗尔定理的三个条件闭区间上连续，在开区间内可导，且，因此在内至少有一点，使得即在内至少有一点，使得证毕巴拿赫不动点定理法因为任意闭区间在通常的欧几里得度量下是完备的，针对上凸（凹）函数可以先证明拉格朗日中值定理成立，对任意小的成立，在闭区间上构造自映射假设且，则有假设在闭区间上是凸函数，由凸函数的导数性质，可知在区间内单调递减，所以有从而存在一个数，使得因此所以是上的压缩映射。由巴拿赫不动点定理知必存在唯一的不动点，使得于

6、是有证毕面积法利用直观的几何关系，构造出辅助函数，再利用罗尔中值定理，便可得到定理结果，分析如下：假设曲线L的方程。在曲线L上任意取一点与弦AB组成的则的面积在区间上满足罗尔中值定理的三个条件。故由罗尔中值定理，在内至少有一点使得证毕(二)拉格朗日中值定理的应用在高等数学中我们应用拉格朗日中值定理，以求极限,证明不等式,恒等式,求函数的解析性,证明级数的收敛性,解决估值问题应用拉格朗日中值定理证明不等式证明不等式的方法很多，但是对于某些不等式，用初等解法不一定解的出来，这是如果考虑拉格朗日中值定理，会比较简单。其思想是：假设函数在闭区间上连续且在开区间内可导，由拉格朗日中值定理得，在内至少存在

7、一点，使得我们可以作以下变形不难看出，有限，是的准确表达式，且当在内变动时，有最大值和最小值，从而有这就是拉格朗日中值定理证明不等式的理论基础.直接用拉格朗日中值定理证明不等式例1,设在上二阶可导.，且存在一点使得.证明：至少存在一点使得.证明：对于在上利用拉格朗日中值定理，存在使得由于故对于在上利用拉格朗日中值定理，存在，使得又故.因为在根据拉格朗日中值定理，存在使得由此得出先构造函数，在利用拉格朗日中值定理证明不等式方法是根据所要证明的不等式和拉格朗日中值公式的形式构造一个函数，并取定一个区间，然后对构造的函数在取定区间上利用拉格朗日中值定理.例2：证明：，其中分析：求解这类题的思路是构造

8、一个函数，然后对其求导。证明：设在上运用拉格朗日中值定理得，经过变形整理得，由于从而所以应用拉格朗日中值定理证明恒等式要点： 根据拉格朗日公式由此导数时，恒等于某常数，利用这一原理，可以证明恒等式。例3：求证：当时，有证明：当时，结论显然成立。当时，令有拉格朗日中值定理推论，得令，代入上式得所以例4：证明对于任何实数恒有证明：设在区间上恒有有拉格朗日定理可知.因为所以即对于任意的实数恒有例5：在有意义，证明：（北京航空航天大学）证明：问题等价于要证明函数事实上而，故由此。但是知，所以证毕应用拉格朗日中值定理证明根的存在性有的方程，特别是超越方程特别难直接求解，有时我们没有必要知道方程的根的确定

9、值，而只要知道方程解的存在性或者近似值就可以了。证明方程根的存在性，根据所给根的范围就是区间，把所给方程设为函数，然后用拉格朗日中值定理证明根的存在性（一般用反证法）。例6：设在上可导，且，又对于内所有的点有证明方程在内有唯一的实根。证明：先正存在性。令则在上可导，故所以，有零点定理知在内至少有一个实根，即再证唯一性（用反证法）。假设方程在内有两个实根不妨设则对在上运用拉格朗日中值定理，有由此这与已知条件矛盾。唯一性得证。应用拉格朗日中值定理判断级数的敛散性例7：判断是发散的。解：设是定义在闭区间的函数。有拉格朗日中值定理知：因为，可得而所以即是发散的。利用拉格朗日中值定理解决估值问题证明估值

10、问题，一般情况下选用泰勒公式比较简单，特别是二阶以及二阶以上的导函数估值时，但对于某些积分估值，可以采用拉格朗日中值定理来证明。拉格朗日中值定理可以定量对泰勒公式中的余项的大小进项定量的估计，而泰勒公式有了拉格朗日余项形式才能估计计算误差的范围。例8：设在上连续，且试证：证明：若，不等式显然成立若不恒等于0，使得在及上分别用拉格朗日中值定理，有从而有：在利用即得所证.利用拉格朗日中值定理求极限例9:求极限解题思路：由联想到拉格朗日中值定理的一般形式，从而构造函数，再运用拉格朗日中值定理求极限.解：函数在x,sinx或者sinx,x上运用拉格朗日中值定理得： （介于x与sinx之间）当时，由介值

11、定理可知则原式=证毕例10：若f(x)在内可导，且求证：分析：在f(x)没有具体表达式的情况下，只能从已知条件中想办法，因为题设中涉及到，于是应该想到拉格朗日中值定理，可以用下式表示：证得.证明：因为所以，存在M>0，设则对任意的有.在区间的闭子区间上，函数满足拉格朗日中值定理的条件，即存在，使得则因为所以有又因为当时，有综上，对任意的存在，当时致谢光阴似箭，大学的学习生活也即将结束，感慨万千，可更多的是感动。首先，对于论文指导老师屈俊老师，在这里我要发自肺腑的说一声谢谢。从论文题目的选定，论文的设计与修改，到最后论文的定稿光，都付出了很多。其次，我要感谢太原师范学院数学系的各位领导与老师。谢谢他们对我学习和成长的帮助。参考文献1 华东师范大学数学,数学分析M(第三版),高等教育出版社，2001.2 陈纪俢 於崇华 金路，数学分析M,高等教育出版社，20003 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法M，高等教育出版社，20064 王振林，浅谈微分中值定理的应用J,太原科技，20015 冯秀芹，拉格朗