第八章第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1、2016 高考导航知识点考纲下载直线的方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式2能根据两条直线的斜率判定这两条直线的位置关系3掌握确定直线位置关系的几何要素4掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系两直线的位置关系1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标2掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离圆的方程掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程直线、 圆的位置关系1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题

2、3初步了解用代数方法处理几何问题的思想椭圆1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用2掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质双曲线了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质抛物线掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.第 1 讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程1直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0(2)倾斜角的范围为0，)2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜

3、率，斜率常用小写字母 k 表示，即 ktan，倾斜角是 90的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x1y1y2x1x2.3直线方程名称几何条件方程局限性点斜式过点(x0， y0)， 斜率为 kyy0k(xx0)不含垂直于 x 轴的直线斜截式斜率为 k，纵截距为 bykxb不含垂直于 x 轴的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1x2，y1y2)yy1y2y1xx1x2x1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在 x 轴、y 轴上的截距分别为a，b(a，b0)xayb1不包括垂直于坐标轴和过

4、原点的直线一般式AxByC0(A， B不全为 0)做一做1已知直线 l 经过点 P(2，5)，且斜率为34，则直线 l 的方程为()A3x4y140B3x4y140C4x3y140D4x3y140答案：A2过点 M(2，m)，N(m，4)的直线的斜率为 1，则 m 的值为_答案：11辨明四个易误点(1)求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率(2)根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围(3)直线的截距式中易忽视截距均不为 0 这一条件，当截距为 0 时可用点斜式(4)由一般式 AxByC0 确定斜率 k 时易忽视判断 B 是否为 0， 当 B0 时，

5、 k 不存在；当 B0 时，kAB.2求直线方程的一般方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论(2)待定系数法，具体步骤为：设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程(组)；解这个方程(组)求出参数；把参数的值代入所设直线方程做一做3已知直线 l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是()A1B1C2 或1D2 或 1答案：D4直线 xsiny20 的倾斜角的取值范围是()A0，)B.0，4 34，C.0，4D.0，4 2，解析：选 B.设倾斜角为，则有 tansin，其中

6、 sin1，1又0，)，04或34.考点一_直线的倾斜角与斜率_(1)经过两点 A(4，2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为34，则 y()A1B3C0D2(2)直线 2xcosy306，3的倾斜角的变化范围是()A.6，3B.4，3C.4，2D.4，23解析(1)tan342y1（3）422y42y2，因此 y21，y3.(2)直线 2xcosy30 的斜率 k2cos.由于6，3 ，所以12cos32，因此 k2cos1， 3设直线的倾斜角为，则有 tan1， 3由于0，)，所以4，3 ，即倾斜角的变化范围是4，3 .答案(1)B(2)B规律方法(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：求出斜

7、率 ktan的取值范围利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角的取值范围求倾斜角时要注意斜率是否存在(2)斜率的求法定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据 ktan求斜率公式法：若已知直线上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式 ky2y1x2x1(x1x2)求斜率1.若直线 l 的斜率为 k，倾斜角为，且6，4 23，则 k的取值范围是_解析：当6，4 时，ktan33，1；当23，时，ktan 3，0)综上 k 3，0)33，1.答案： 3，0)33，1考点二_求直线的方程(高频考点)_直线方程是解析几何的一个基础内容， 在高考中经常与其他知识结合考查

8、， 多以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目高考中对直线方程的考查主要有以下三个命题角度：(1)已知两个独立条件，求直线方程；(2)已知直线方程，求直线的倾斜角、斜率；(见考点一)(3)已知直线方程及其他条件，求参数值或范围(1)已知直线 xa2ya0(a0，a 是常数)，当此直线在 x，y 轴上的截距和最小时，a 的值是()A1B2C. 2D0(2)过点 A(1，3)，斜率是直线 y3x 的斜率的14的直线方程为_解析(1)直线方程可化为xay1a1，因为 a0，所以截距之和 ta1a2，当且仅当 a1a，即 a1 时取等号(2)设所求直线的斜率为 k，依题意k14334.又

9、直线经过点 A(1，3)，因此所求直线方程为 y334(x1)，即 3x4y150.答案(1)A(2)3x4y150规律方法与直线方程有关问题的解题策略：(1)在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线(2)求参数值或范围注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解2.(1)ABC 的三个顶点为 A(3，0)，B(2，1)，C(2，3)，求：BC 所在直线的方程；BC 边上中线 AD 所在直线的方程；BC 边的垂直平

10、分线 DE 所在直线的方程(2)过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12 的直线方程为_解：(1)因为直线 BC 经过 B(2，1)和 C(2，3)两点，由两点式得 BC 所在直线的方程为y131x222，即 x2y40.设 BC 中点 D 的坐标为(x，y)，则 x2220，y1322.BC 边的中线 AD 过 A(3，0)，D(0，2)两点，由截距式得 AD 所在直线方程为x3y21，即 2x3y60.BC 的斜率 k112，则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k22，由点斜式得 DE 所在直线的方程为 2xy20.(2)解析：由题设知截距不为 0，设直线方程为xay12a1，又

11、因为直线过点(3，4)，所以3a412a1，解得 a4 或 a9.故所求直线方程为 4xy160 或 x3y90.答案：4xy160 或 x3y90考点三_直线方程的综合问题_直线 l 过点 P(1，4)，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A、B 两点，O 为坐标原点，当|OA|OB|最小时，求 l 的方程解依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线 l 的斜率为 k，则直线 l 的方程为 y4k(x1)(k0)令 y0，可得 A14k，0；令 x0，可得 B(0，4k)|OA|OB|14k (4k)5k4k5k4k 549.当且仅当k4k且 k0，即 k2 时，|OA|OB|取最小

12、值这时 l 的方程为 2xy60.在本例条件下，若|PA|PB|最小，求 l 的方程解：|PA|PB|4k216 1k24k(1k2)41k （k） 8(k0)当且仅当1kk 且 k0，即 k1 时，|PA|PB|取最小值这时 l 的方程为 xy50.规律方法直线方程的应用问题常见的类型及解法：(1)与函数相结合命题：解决这类问题，一般是利用直线方程中 x、y 的关系，将问题转化成关于 x 的某函数，借助函数性质来解决(2)与方程、不等式相结合命题：一般是利用方程、不等式等知识来解决方法思想分类讨论思想在求直线方程中的应用(2015常州模拟)过点 P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l

13、 的方程为_解析(1)当截距不为 0 时，设所求直线方程为xaya1，即 xya0.点 P(2，3)在直线 l 上，23a0，a1，所求直线 l 的方程为 xy10.(2)当截距为 0 时，设所求直线方程为 ykx，则有 32k，即 k32，此时直线 l 的方程为 y32x，即 3x2y0.综上，直线 l 的方程为 xy10 或 3x2y0.答案xy10 或 3x2y0名师点评(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时截距是否为零以及相关位置关系进行分类讨论(2)本题对截距是否为 0 进行分类讨论，易忽略截距为 0 的情况1.若直线过点 P(3，32)且被圆 x2y225 截得的弦长

14、是 8，则该直线的方程为()A3x4y150Bx3 或 y32Cx3Dx3 或 3x4y150解析：选 D.若直线的斜率不存在，则该直线的方程为 x3，代入圆的方程解得 y4，故该直线被圆截得的弦长为 8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为 y32k(x3)，即 kxy3k320，因为该直线被圆截得的弦长为 8，故半弦长为 4.又圆的半径为 5，则圆心(0，0)到直线的距离为 5242|3k32|k21，解得 k34，此时该直线的方程为 3x4y150.2过点 M(3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_解析：(1)当直线过原点时，直线方程为 y53x；(2)当直线不过

15、原点时，设直线方程为xaya1，即 xya.代入点(3，5)，得 a8.即直线方程为 xy80.答案：y53x 或 xy801(2015秦皇岛模拟)直线 x 3y10 的倾斜角是()A.6B.3C.23D.56解析：选 D.由直线的方程得直线的斜率为 k33，设倾斜角为，则 tan33，又0，)，所以56.2倾斜角为 120，在 x 轴上的截距为1 的直线方程是()A. 3xy10B. 3xy 30C. 3xy 30D. 3xy 30解析：选 D.由于倾斜角为 120，故斜率 k 3.又直线过点(1，0)，所以方程为 y 3(x1)，即3xy 30.3已知函数 f(x)ax(a0 且 a1)，

16、当 x0 时，f(x)1，方程 yax1a表示的直线是()解析：选 C.x0 时，ax1，0a1.则直线 yax1a的斜率 0a1，在 y 轴上的截距1a1.故选 C.4(2015湖南长沙模拟)过点(1，3)作直线 l，若经过点(a，0)和(0，b)，且 aN*，bN*，则可作出的直线 l 的条数为()A1B2C3D4解析：选 B.由题意得1a3b1(a1)(b3)3.又 aN*，bN*，故有两个解a2b6或a4，b4.5直线 x2yb0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么 b 的取值范围是()A2，2B(，22，)C2，0)(0，2D(，)解析：选 C.令 x0，得 yb2，令

17、y0，得 xb，所以所求三角形面积为12|b2|b|14b2，且 b0，14b21，所以 b24，所以 b 的取值范围是2，0)(0，26已知直线的倾斜角是 60，在 y 轴上的截距是 5，则该直线的方程为_解析：因为直线的倾斜角是 60，所以直线的斜率为 ktan60 3.又因为直线在y 轴上的截距是 5，由斜截式得直线的方程为 y 3x5.答案：y 3x57(2015贵州贵阳模拟)直线 l 经过点 A(1，2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率的取值范围是_解析：设直线 l 的斜率为 k，则方程为 y2k(x1)，在 x 轴上的截距为 12k.令312k3，解得 k12.

18、答案：(，1)12，8已知直线 l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当 0a2 时，直线 l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a_解析：由题意知直线 l1，l2恒过定点 P(2，2)，直线 l1的纵截距为 2a，直线 l2的横截距为 a22，所以四边形的面积 S122(2a)122(a22)a2a4(a12)2154，当 a12时，面积最小答案：129已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3，分别求满足下列条件的直线 l 的方程：(1)过定点 A(3，4)；(2)斜率为16.解：(1)设直线 l 的方程为 yk(x3)4，它在 x 轴，y 轴上的截距分

19、别是4k3，3k4，由已知，得(3k4)(4k3)6，解得 k123或 k283.故直线 l 的方程为 2x3y60 或 8x3y120.(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b，则直线 l 的方程是 y16xb，它在 x 轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，b1.直线 l 的方程为 x6y60 或 x6y60.10设直线 l 的方程为 xmy2m60，根据下列条件分别确定 m 的值：(1)直线 l 的斜率为 1；(2)直线 l 在 x 轴上的截距为3.解：(1)因为直线 l 的斜率存在，所以 m0，于是直线 l 的方程可化为 y1mx2m6m.由题意得1m1，解得 m1.(2)法一：

20、令 y0，得 x2m6.由题意得 2m63，解得 m32.法二：直线 l 的方程可化为 xmy2m6.由题意得 2m63，解得 m32.1(2015福建泉州模拟)若点(m，n)在直线 4x3y100 上，则 m2n2的最小值是()A2B2 2C4D2 3解析：选 C.法一：因为点(m，n)在直线 4x3y100 上，所以 4m3n100，欲求 m2n2的最小值可先求 （m0）2（n0）2的最小值而 （m0）2（n0）2表示 4m3n100 上的点(m，n)到原点的距离，如图当过原点的直线与直线 4m3n100 垂直时，原点到点(m，n)的距离的最小值为 2.m2n2的最小值为 4.法二：由题意知点(m，n)为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于 A(52，0)，B(0，103)，在 RtOAB 中，OA52，OB103，斜边 AB（52）2（103）2256，斜边上的高 h 即为所求 m2n2的算术平方根，SOAB12OAOB12ABh，hOAOBAB521032562，m2n2的最小值为 h24.2已知 A(3，0)，B(0，4)，直线 AB 上有一动点 P(x，y)，则 xy 的最大值是_解析：依题意得 AB 的