基于期权定价理论的风险管理-

1、理论探讨基于期权定价理论的风险管理张彩虹一、期权与风险管理简介期权(op ti on是指一种选择权合约,它是指持有者在未来一段时间内以一定的价格购买或出售某项资产的权利。持有者没有必须执行和约的义务,因而为了得到这种权利,其购买者要支付一定的费用 期权费。根据持有者的权利,期权可以划分为看涨期权(ca ll op ti on和看跌期权(pu t opti on。其中看涨期权是指期权持有者在未来一定时间内以某一确定的价格购买某项资产;看跌期权是指持有者在未来一定时间内以某一确定的价格出售某项资产。期权交易的标的资产可以是股票、外汇、商品,还可以是利率、期货、风险项目价值等不可交易证券。风险(ri

2、s k是指未来结果的不确定性或波动性。风险管理(ris k m anage m en t是一种动态的过程,是指组织或个人为了降低风险带来的负面影响而不断做出调整的决策过程。风险的损失可以看作是成本的增加,那么要控制风险和对风险进行管理,就要降低与风险有关的 成本 。风险的成本主要有损失控制成本、机会损失成本、心理成本和损失融资成本。风险管理的职能目标就是降低这些成本。风险管理其实就是减少风险的变化性,即预测事件未来结果的变化性,然后通过一定的反向措施或相应的对策减少变化性可能带来的损失 或者可以说是预测未来的不利因素并使之最小化。二、布莱克 斯科尔斯期权定价模型l973年,世界上最早也是最大的

3、期货交易所 芝加哥交易所(CBOT组织成立了一个专门进行期权交易的交易所 芝加哥期权交易所(CBOE。最早上市交易的是股票期权,后来交易品种逐渐扩展至货币,指数及期货期权,交易量迅速膨胀。同年,美国麻省理工学院著名的金融学家,布莱克(F i scher B l ack和斯科尔斯(M yron S c ho i es共同创立了不支付红利股票的欧式看涨期权定价模型,即布莱克 斯科尔斯期权定价模型(B l ack S choles。模型假设标的资产的价格运动为一般维纳过程,通过构造标的资产和无风险借贷资产的等价合约,以无套利思想为基础,推导出布莱克 斯科尔斯微分方程,再根据不同的边界条件,利用风险中

4、性定价理论,得到不支付红利的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式。B s模型建立在一系列的假设条件基础上:1 允许使用全部所得(p roceeds卖空衍生证券。2 没有交易费用或税收,所有证券都是高度可分的。3 在衍生证券的有效期内没有红利支付。4 不存在无风险套利机会。5 证券交易是连续的。6 无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。7 股票价格S遵循下述几何布郎运动。dS= Sd t+ Sdz(1其中: 、 为常数,参数 为单位时间内(通常假定为1年股票的预期收益率,参数 为股票价格的波动率。d z是一个W i ener 过程,dz= d t, 为标准正态分布。上述几何布朗运动模型的离散形式为

5、S= S t+ t(2其中: t为时间的变化量, S为短时间 t后股票价格S的增量。在风险中性世界里,欧式看涨期权到期日的期望价值为:E m ax(S T-X,0其中,E表示风险中性化条件下的期望值;T 为期权距离到期日的时间;t为当前时间;ST为未来时刻的股票价格,即行使期权时的标的资产的价格;X为执行价格,即期权标的资产的协议价格。根据风险中性定价性质,欧式看涨期权的价值应是该期望值以无风险利率贴现的结果:c=e-r(T-tEmax(S T-X,0(3对方程求值得c=SN(d1-X e-r(T-tN(d2(4其中d1=l n(S/N+(r+22(T-tT-t(5d2=l n(S/N+(r-

6、22(T-tT-t=d1- T-t(62为标的资产的自然对数方差,d1,d2为标准正态分布概率函数。由看涨期权与看跌期权之间的平价关系,得出p=X e-r(T-tN(-d2-SN(-d1(7当S非常大时,d1d2也变的相当大,而N(d1、N(d2都近似于1 0,当股票价格变得很大时,欧式看跌期权的价格P趋近于O,N(-d1、N(-d2都近似与0。由买权卖权平均公式p =c+X e-r(T-t-S可得N(x+n(-x=1布莱克一斯科尔斯期权定价模型的运用,促进了衍生金融商品交易市场的发展,它为股票指数期权定价、货币期权定价、期货期权定价、利率期权定价等提供了方法,也被应用于融资和投资决策,风险管

7、理等公司企业的经营活动中。三、风险指标在期权风险管理中的作用1 Delta风险指标与期权风险管理Delta( 是衍生证券的价格相对于其标的资产价格变化的比率,即衍生证券对其标的价格变化的线性或一阶灵敏度性。往往用百分数表示。其数学公式为=FS(其中F为衍生证券F(S,t的价格,S为标的资产的价格。使用B-s模型,对标的资产取一阶偏导数,得到看涨期权和看跌期权的Delta值:C=N(d1D, P= C-1投资者的保值头寸保持Delta对冲状态(或Delt a中性状态只能维持一个相当短暂的时间。这是因为随着股票价格的变化和时间103F I NANCE&ECO NOMY 金融经济的流逝,De

8、lta值也在不断地变化。实际上,在套期保值操作中,需要定期地调整保值头寸,这种调整称为再均衡(reba1anci ng。有时候为了保持Delta对冲中性,还需额外购入股票,诸如这些包含频繁调整的对冲操作称之为动态对冲操作(dyna m i c hedg i ng sc h e m es。D el ta与B l ack-Scholes分析方法密切相关。B l ack和Scholes提出可以建立起一种无风险的有价证券组合,其中包含一个该股票的头寸和一个基于该股票的衍生证券头寸,即通过建立一个Delta中性的头寸,并假设在短期内该组合头寸收益等于无风险收益率来为期权定价。用 来表示,它们的有价证券组

9、合为:-1:衍生证券+ :股票份额例如可以通过期权头寸和股票构成一个简单的D elt a保值头寸,假定一个关于某股票的欧式看涨期权还有6个月到期,股票现价St 为39元,期权的执行价格X为40元,股价波动率 为每年30%,无风险利率r为9%,利用B s定价公式可得d1=l n(3940+(0 09+12(0 320 30 5=0 2017d2=l n(3940+(0 09-12(0 320 30 5=-0 0104由B-s公式得N(d1=0 5800,N(d2=0 4959,期权的价格Ct=3 6568,这就意味着股票变化一个小量 S时,该期权价格变化约58% S。某投资者卖出l0000个该期

10、权和约,为了使该头寸免于股价波动的风险,可以利用Delta保值,买入股股票。在期权头寸上的盈利(亏损就可以由股票头寸上的损失(盈利所抵消。实际操作中,Delta的值会因股价及距到期时间变化而变化,因此,为了维持 Deltak中性 ,投资者套期保值的策略应是动态的,即随Delta值的变化不断的调整套期比率。2 Ga mm a风险指标与期权风险管理Ga mm a( 是衍生证券Delta变化相对于标的资产价格变化的比率。也就是说,Ga mm a是衍生证券的价格对标的资产价格的二阶导数,它反映了衍生证券价格对标的资产价格的非线性敏感性:= 2FS2基于不付红利股票的欧式看涨期权或看跌期权的Gamm a

11、值为:c =(Delt acSt=2CtS2t=N (d1S T-t其中N (d1=e-d122是正态分布函数,计算可得当S 0或S时,都有 0,买权和卖权的Ga mma是完全相等的。这说明期权在平价状态时,它的Ga mma值越大,敏感性也越大。任何不付红利股票的衍生证券的价格C必须满足B l ack-S chol es方程,而G a mm a常用于股价发生变化或时问推移时,对期权资产组合调整幅度进行估算,且经常与De1ta一起使用。而在速度市场(指市场变化的速度上,期权交易者则更多的关心Ga mm a值。例如,卖出买权和买入卖权都是熊市策略,如果你预测某种股票价格会大幅度下跌,那最好买入看跌

12、期权而不是出售看涨期权来获利,因为卖出买权的赢利仅限于期权费收入,而潜在亏损风险巨大。同理,在股票价格快速上涨时,可以买入买权和卖出卖权来获利,但卖出卖权的策略,最大的收益只是期权费收入。可结合下表分析。速度市场(G a mm a方向市场(D e1ta上涨( >0持平( =0下跌( <0快速( >0买入买权买入跨立式组合买入卖权中等( =0买入买权出售卖权价差期权组合卖出买权买入卖权缓慢( <0卖出卖权卖出跨式组合卖出买权3 Theta风险指标与期权风险管理Theta( 是衍生价格的变化相对于时间变化的比率,有时也称作衍生证券的时间消耗,即=Ft看涨和看跌期权的The

13、t a值分别是:c=-SN (d12T-t-r X e-r(T-tN(d2<0p=-SN (d12T-t+r X e-r(T-tN(d2其中d2与B-s模型中定义相同。随着时间的变化,期权越来越接近到期日,期权的时间价值越低,其Theta值越小。例如我们考虑一个4个月期的股票指数看跌期权,指数的现值为305,执价格是300,红利率是每年3%。无风险年利率是8%,指数价格波动率为每年25%。即S=305,X=300,q=0 03,r=0 08, =0 25, T-t=0 3333年。这个期权的Theta为:-SN (d1 e-q(T-t2T-t-qSN(d1e-q(T-t+rX e-r(T

14、-tN(-d2=-18 15这意味着:当0 01年(或2 5个交易日过去了,即使指数数值或波动率未发生任何变化,期权的价值也会减少0 1815。4 Theta、Delta和G a mm a在期权风险管理中的比较Theta与D el ta和G a mm a不是同一种类型的保值参数 这是因为,虽然对于未来的股票价格存在着某些不确定性因素,而到期时间的减少却是毫无疑问的。因此我们是不可能用对冲的保值方法消除时间变化对期权组合价值的影响当Th eta的绝对值很大,Delt a或Ga mm a值一定也很大,如果一个期权头寸的De1ta和Ga mm a都为0,Theta值意味着该头寸的价值将以无风险利率增长。任何不付红利股票的衍生证券的价格f必须满足B l ack Scho l es方程:ft+rSfS+122S22S2=rf由 =ft=fsr=2fS2可得 +rS +122S2 =rf这个公式对基于不付红利股票的单种衍生证券和多个衍生证券的组合都同样正确。对于Delt a