函数单调性（奇偶性）在解题中的应用

1、函数单调性在解题中的应用函数的单调性是函数的一个重要性质，本讲通过一些实例挖掘函数单调性在解题中的功能，增强同学们分析问题和解决问题的能力.一、比较数（式）的大小例1.若则（ ）.A. a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c【评注】结合三个数的形式，构造函数，利用其单调性可比较的大小.二、解不等式例2.设是定义在-2，2上的奇函数，且对任意的，当时，都有，若，求实数m的取值范围.【评注】函数为减函数的等价形式有和由题意可得函数的单调性，再结合函数的奇偶性，可以顺利地解出此不等式.三、求参数的取值范围例3.已知a为实数，若f（x

2、）在上都是递增的，求a的取值范围.【评注】函数f（x）是三次函数，要满足其在上都是递增的，只需要在上非负即可。四、证明不等式例4.求证：（）.【评注】在证明两个函数的大小时，只要将两函数相减或相除就可得到所需的辅助函数，再利用其单调性得出关系.因为判断大小的时候，需要用到，所以再构造函数时，研究的定义域是，否则就无法应用和.函数的奇偶性在解题中的应用函数奇偶性是函数的重要特征之一，它充分地体现了变量间的辩证统一关系.从数、形上揭示了函数的对称性.在解题教学中，深挖题目隐含条件，依据奇偶函数的性质，使一些问题独辟蹊径，解法简单化，有柳暗花明又一村之感.一、求函数的函数值例1.设（其中a，b，c为

3、常数），且，试求的值.【评注】本题如果直接求比较困难，但是如果选取中含x的一部分构造一个新函数，利用为奇函数，探究求出为定值，顺利地得到了，从而解出.二、求函数的解析式例2.设，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，求的表达式。【评注】（1）利用函数的奇偶性，得到两个函数的差，再与已知条件联立方程可分别求出.（2）定义城关于原点对称的函数F（x）一定可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和，其中，三、比较大小例3.已知函数是偶函数，且在区间0，1上是单调递减的，则的大小关系是 。【评注】解题的关键是利用函数的奇偶性将自变量转换到同一单调区间上，再比较大小。四、解（证）不等式例4. 已知函数f（x）

4、是定义在R上的偶函数，且在区间0，+）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是.【评注】函数的单调区间为（-，0）和0，+），那么与1是同在某一个区间内还是各自分别在一个区间内？如果就此展开讨论将比较复杂而且不易完整求解，利用偶函数的性质，可以不用讨论变量所在的区间.通过揭示偶函数概念的深刻内涵，避免了不应有的分类讨论过程。五、求参数的取值范围例5. 已知函数满足，且分别是R上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数a的取值范围是 。【评注】由题意得恒成立后，可将参数分离出来，建立起明确的参数和变量的关系，即恒成立，再利用均值不等式求出的最小值）令即可.此种分离变量的方法是解决此类不等式问题的常用方法，也是比较简单的一种方法。课后练习函数单调性在解题中的应用练习1.已知为实数，且满足，则 .2.已知函数，若，则实数m的取值范围是 .3.当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .4. 设是定义在（0，+）上的增函数，且满足.若，且，求实数a的取值范围.函数奇偶性在解题中的应用练习1.已知函数为奇函数，且当x>0时，则f（-1）= .2.已知是奇函数，且 .3.已知函数，则= .4.已知函数y=是R上的奇函数，且满足，则的值为 .5.若函数是定义在区间上的奇函数，则 .6.已知偶函数在0，+oo）单