函数与映射课程

1、【知识导图】一、函数的概念 (1)函数的定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.(2)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法二、映射的概念 设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关

2、系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射三、函数解析式的求法求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法类型一 函数的基本概念1.有以下判断：f(x)与g(x)表示同一函数；函数yf(x)的图象与直线x1的交点最多有1个；f(x)x22x1与g(t)t22t1是同一函数；若f(x)|x1|x|，则0.其中正确判断的序号是_【总结与反思】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，

3、只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)2.函数f(x)的定义域为_ 3.(1)函数f(x)的定义域为()A(1,2) B(1,0)(0,2)C(1,0) D(0,2)(2)已知函数f(x)的定义域为1,2，则函数g(x)的定义域为_【总结与反思】(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集(2)已知f(x)的定义域是a，b，求fg(x)的定义域，是指满足ag(x)b的x的取值范围，而已知fg(x)的定义域是a，b，指的是xa，b类型三 映射1.下列对应不是映射的是() 2.判断下列

4、对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)AN*，BN*，对应关系f：x|x3|；(2)A平面内的圆，B平面内的矩形，对应关系f；作圆的内接矩形；(3)A高一(1)班的男生，BR，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)Ax|0x2，By|0y6，对应关系f：xyx.【总结与反思】要判断两个集合能否构成映射，一般从映射的定义入手若满足映射定义就能构成映射；若不满足映射定义，只要举一反例，即说明集合A中的某一元素在B中无对应元素即可类型二 求函数的解析式1.(1)如果f()，则当x0且x1时，f(x)等于()A.B.C.D.1(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，

5、则f(x)_.(3)已知函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f()·1，则f(x)_.【总结与反思】函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法：已知关于f(x)与或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 2.(1)已知函数f(x)若f(a)f(1)0，

6、则实数a的值等于()A3B1C1D3(2)设函数yf(x)在R上有定义对于给定的正数M，定义函数fM(x)则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”若给定函数f(x)2x2，M1，则fM(0)的值为()A2B1C.D【总结与反思】(1)应用分段函数时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论(2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围3.函数y|x|的图象是() 【答案】. 1，)（1）C （2），1)D

7、(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0B，故不是映射(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射(4)因为A中每一个元素在f：xyx作用下对应的元素构成的集合Cy|0y1B，符合映射定义，是映射（1） f(x).(2) f(x)2x7.(3)f(x).（1）3 （2）1B4.如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y.(1)求y关于x的

8、函数关系式yf(x)；(2)画出yf(x)的图象；(3)若APB的面积不小于2，求x的取值范围解析(1)(2)yf(x)的图象如下图所示(3)即f(x)2，当0x4时，2x2，x1，当8<x12时，2(12x)2，x11，x的取值范围是1x11.总结与反思利用分段函数求解实际应用题的策略(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法1.函数的定义域为（ ）A.0，) B.(，0C.(0，) D.(，0)2.已知A1,2,3，9，BR，从集合A到集合B的映射f：x.(1)与A中元素1相对应的B中的元素是什么？(

9、2)与B中元素相对应的A中的元素是什么？3.已知函数f(x)求f(f()的值4.在下列的四个图象中，是函数f(x)的图象的是()答案与解析1.【答案】B【解析】：12x0,2x120，x0.故选B.2. 【答案】，4【解析】 (1)A中元素1，即x1，代入对应关系，得，即与A中元素1相对应的B中的元素是.(2)B中元素，即，解得x4，因此与B中元素相对应的A中的元素是4.3.【答案】1【解析】f()×232，f(2)2×(2)31，f(f()f(2)1.4.【答案】C【解析】略1. 试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）

10、=（3）f（x）=，g（x）=（）2n1（nN*）；（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1 .2. a，b为实数，集合M，Na,0，f：x2x表示把集合M中的元素x，映射到集合N中为2x，求ab的值3. （1）设函数（2）设函数f（x），则满足f（x）=的x值为.答案与解析1.【答案】同解析【解析】（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；（3）由于当nN*时，2n±1为奇数，f（x）=x，

11、g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.2.【答案】2【解析】由题意知，集合M中的元素1只能对应集合N中的a，故a2，故N2,0，而M中的可能对应集合N中的2或0，当对应2时，则1，即b2，此时集合M中有两个相同元素，不合适，故b2应舍去，当对应0时，则0，即b0.此时M0,1，符合题意，综上可知a2，b0，即ab2.3. 【答案】（1）98，（2）3【解析】（1）这是分

12、段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，=（2）当x（，1，值域应为，当x（1，）时值域应为（0，），y，y（0，）此时x（1，）log81x，x813.1. 求下述函数的定义域：（1）；（2）2.在如图的对应关系中，哪些对应不是集合A到集合B的映射()A、 B、C、D、3.已知函数f(x)(1)求f(5)，f()，f(f()的值；(2)若f(a)3，求实数a的值；(3)若f(m)>3m5(m2)，求实数m的取值范围4. 某市出租车的计价标准是：4 km以内10元，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/km，超过18 km的部分1.8元/km.(1)如果不计等待时间的

13、费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km，他要付多少车费？答案与解析1.【答案】同解析【解析】（1），解得函数定义域为.（2），（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），当a=0时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为。2.【答案】D【解析】由图知中元素a1在B中对应元素不唯一，中元素a2在B中无象，都不是映射，是映射，故选D.3.【答案】 （1）-4，32，；（2）a1，或a2（3）2,4)【解析】 (1)由5(，2，

14、(2,2)，(，2，知f(5)514，f()()22()32.f()1，而2<<2，f(f()f()()22×()3.(2)当a2时，a13，即a2>2，不合题意，舍去当2<a<2时，a22a3，即a22a30.所以(a1)(a3)0，得a1，或a3.1(2,2)，3(2,2)，a1符合题意当a2时，2a13，即a2符合题意综上可得，当f(a)3时，a1，或a2.(3)m2，f(m)2m1，即2m13m5，解得m4，又m2，m的取值范围为2,4)4.【答案】C【解析】(1)设车费为y元，行车里程为x km.则根据题意得y(2)当x20时，y1.8×205.630.4，即当乘车20 km时，要付车费30.4元4已知二次函数f(x)=ax2+bx(a、b是常数，且a0)满足条件：f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等实根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值域分别为m，n和2m，2n？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由答案与解析4.【答案】同解析【解析】(1)方程f(x)=x，即ax2+bx=x，亦即ax2+(b-1)x=