难题突破专题七　图形变换综合探究题

1、难题突破专题七图形变换综合探究题 图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法2结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法3注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等类型1平移变换问题1 两个三角板ABC，DEF按如图Z71所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，CDEF90°，ABCF30&#

2、176;，ACDE6 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)(1)当点C落在边EF上时，x_cm；图Z71(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值 例题分层分析 (1)当点C落在EF边上时记为C，此时A点的对应点记为A，根据锐角三角函数，可得AE_ cm，所以xAAAEAE_cm.(2)分类讨论：当0x6时，根据三角形的面积公式可得答案；当6x12时，根据面积

3、的和差可得答案；当12x15时，根据面积的和差可得答案(3)根据点与直线上所有点的连线中垂线段最短，可得当NMBD时，MN最小根据线段的和差即可求得答案类型2折叠问题2 2015·衢州 如图Z72，将矩形ABCD沿DE折叠使顶点A落在点A处，然后将矩形展平，沿EF折叠使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图.(1)求证EGCH；(2)已知AF，求AD和AB的长图Z72 例题分层分析 (1)由折叠的性质及矩形的性质可知_，_，再根据四边形ABCD是矩形，可得_，等量代换即可证明EGCH；(2)由折叠的性质可知ADE_°

4、，FGEA90°，AF，那么DG_，利用勾股定理求出DF_，于是可得ADAFDF_；再利用AAS证明AEFBCE，得到_，于是ABAEBE_ 解题方法点析 折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等解决折叠问题要注意折叠前后对应点的位置；掌握辅助线的作法；折痕两边折叠部分是全等的；折叠的某点与所落位置之间线段被折痕垂直平分类型3旋转变换问题3 2016·成都 如图Z73，ABC中，ABC45°，AHBC于点H，点D在AH上，且DHCH，连结BD.图Z73(1)求证：BDAC；(2)将BHD绕点H旋转，得到EHF(点

5、B，D分别与点E，F对应)，连结AE.()如图，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC4，tanC3，求AE的长；()如图，当EHF是由BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连结GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由 例题分层分析 (1)先判断出AHBH，再证明BHDAHC即可；(2)()在RtAHC中，tanC_3.由AHBH及BC4可求得AH_，CH_，过点H作HPAE于P，然后根据EHAFHC，得到HP_AP，AE_AP，最后用勾股定理求解即可；()设AH与CG交于点Q.先判断出AGQCHQ，得到_，然后判断出AQCGQH，最后用

6、相似比求解即可专 题 训 练12017·菏泽 如图Z74，将RtABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到ABC，连结AA，若125°，则BAA的度数是()A55° B60° C65° D70° 图Z74 图Z7522017·舟山 如图Z75，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(，0)，B(1，1)若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是()A向左平移1个单位，在向下平移1个单位B向左平移(1)个单位，再向上平移1个单位C向右平移(1)个单位，再向上平移1个单位D向右平移1个单位

7、，再向上平移1个单位32016·聊城 如图Z76，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A处，点B落在点B处，若240°，则图中1的度数为()A115° B120° C130° D140° 图Z76 图Z7742016·温州 如图Z77，一张三角形纸片ABC，其中C90°，AC4，BC3.现小林将纸片做三次折叠：第一次使点A落在C处，将纸片展平做第二次折叠，使点B落在C处，再将纸片展平做第三次折叠，使点A落在B处这三次折叠的折痕长依次记为a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Ac>a>

8、;b Bb>a>c Cc>b>a Db>c>a52017·贵港 如图Z78，在RtABC中，ACB90°，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，P是AB的中点，连结PM.若BC2，BAC30°，则线段PM的最大值是()图Z78A4 B3 C2 D16如图Z79，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB，BC上(含端点)，且AB6，BC10.设AEx，则x的取值范围是_图Z7972017·武汉 如图Z710，在ABC中，ABAC2，BAC120°，点D，E都在边BC

9、上，DAE60°.若BD2CE，则DE的长为_图Z7108如图Z711，是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作ABC和A1B1C1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上当A30°，AC10时，两直角顶点C，C1的距离是_ 图Z711 图Z71292017·德阳 如图Z712，将ABC沿BC翻折得到DBC，再将DBC绕点C逆时针旋转60°得到FEC，延长BD交EF于H，已知ABC30°，BAC90°，AC1，则四边形CD

10、HF的面积为_102017·舟山 一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BCEF12 cm(如图Z713)，点G为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H，现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转(如图Z713)，在CGF从0°到60°的变化过程中，观察点H的位置变化，点H相应移动的路径长共为_(结果保留根号)图Z713112017·自贡 如图Z714，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(1，0)，点B(0，)(1)求BAO的度数(2)如图，将AOB绕点O顺时针旋转得AOB，当点A恰好落在AB

11、边上时，设ABO的面积为S1，BAO的面积为S2，S1与S2有何关系？为什么？(3)若将AOB绕点O顺时针旋转到如图Z714所示的位置，S1与S2的关系发生变化了吗？证明你的判断图Z714122017·赤峰 OPA和OQB分别是以OP，OQ为直角边的等腰直角三角形，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点(1)当AOB90°时，如图Z715，连结PE，QE，直接写出EP与EQ的大小关系；(2)将OQB绕点O逆时针方向旋转，当AOB是锐角时，如图Z715，(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明(3)仍将OQB绕点O旋转，当AOB为钝角时，延长PC，Q

12、D交于点G，使ABG为等边三角形，如图Z715，求AOB的度数图Z715参考答案类型1平移变换问题例1【例题分层分析】(1)315解：(1)在RtABC中，ABC30°，则BAC60°，AB2AC12cm，BC6 cm.如图，当点C在EF上时，CAE60°，则AEAC3 cm，所以AAAEAE15 cm.故x15 cm.(2)如图，当0x6时，BDx，DGx，则BGx，所以yDG·BGx2.如图，当6<x12时，BDx，BEx6，则DGx，BGx，EH(x6)，所以yDG·BGEH·BEx2(x6)2x22 x6 .如图，当12

13、<x15时，BEx6，则EH(x6)，则yAC·BCEH·BE18 (x6)2x22 x12 .(3)当NMBD时，MN最小如图，由题意可知DNFNDF6cm，DPDN3cm，则PN3 cm.BMCMBC3 cm，则PM cm，所以MNPNPM cm.故点M，N之间距离的最小值为 cm.类型2折叠问题例2【例题分层分析】(1)AEADEGBCCHADBC(2)4522AFBE2 2解：(1)证明：由折叠知AEADEG，BCCH，四边形ABCD是矩形，ADBC，EGCH.(2)ADE45°，FGEA90°，AF，DGFG，DF2，ADAFDF2.由折

14、叠知AEFGEF，BECHEC，GEFHEC90°，AEFBEC90°.AEFAFE90°，BECAFE.在AEF与BCE中，AEFBCE，AFBE，ABAEBE22 2.类型3旋转变换问题例3【例题分层分析】(2)()3132()解：(1)证明：在RtAHB中，ABH45°，AHBH.在BHD和AHC中，BHDAHC，BDAC.(2)()如图，在RtAHC中，tanC3，3.设CHx，则BHAH3x，BC4，3xx4，x1，AH3，CH1.由旋转知，EHFBHDAHC90°，EHAH3，CHDHFH1，EHAFHC，1，EHAFHC，EAHC

15、，tanEAHtanC3.过点H作HPAE于点P，则HP3AP，AE2AP，在RtAHP中，AP2HP2AH2，AP2(3AP)29，AP，AE.()2.理由：设AH与GC交于点Q，由旋转的性质可得AEH和FHC都为等腰三角形，且AHECHF120°，GAHHCG30°.又AQGCQH，AGQCHQ，AQCGQH，AQCGQH，2.专题训练1C解析 根据旋转的性质可得ACAC，因为ACA是等腰直角三角形，所以CAA45°，所以CABCAB45°25°20°，所以BAA20°45°65°.2D解析 根据点A

16、(，0)，B(1，1)可得OA，OB，将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位，可得AC，BC，利用“四边相等的四边形为菱形”，可得当点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位时，以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形3A解析 把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A处，点B落在点B处，BFEEFB，BB90°，240°，CFB50°，1EFBCFB180°，即1150°180°，解得1115°，故选A.4D解析 第一次折叠如图，折痕为DE，由折叠得AEECAC×42，DEAC, ACB90

17、76;，DEBC，aDEBC×3.第二次折叠如图，折痕为MN，由折叠得BNNCBC×3，MNBC，ACB90°，MNAC，bMNAC×42.第三次折叠如图，折痕为GH，由勾股定理得AB5，由折叠得AGBGAB×5，GHAB，AGH90°.AA，AGHACB，ACBAGH，GH，即c.2，bca，故选D.5B6.2x67.3 38.59.解析 考虑用割补法计算四边形CDHF的面积，即S四边形CDHFSCFESDEH.AC1，ABC30°，BC2，AB.由翻折，得CDAC1，BDCBAC90°，DBCCBA30

18、6;.由旋转，得EDBC30°，CEBC2，DECECD1，DH，SDHE×1×.又SCFESCAB，则S四边形CDHFSCFESDEH.10(12 18)cm11解：(1)A(1，0)，B(0，)，AO1，BO，tanBAO，BAO60°.(2)S1S2.理由：根据旋转的性质可得AOAO，OAB60°.BAO60°，AOA是等边三角形，AOA60°，AOAOAB，ABx轴，ABy轴如图，设AB与y轴交于点C.在RtACO中，AO1，AOC90°60°30°，AC，CO.S1AO·CO×1×，S2BO·AC××，S1S2.(3)关系没有变化理由：如图，过点B作BDx轴于D，过点B作BEOA于点E，ODBOEB90°.AOABOB，BOEBOD.又OBOB，OBEOBD，BEBD.又OAOA，S1S2.12解：(1)EPEQ.连结OE.AOB90°，E是AB的中点，OEAE.又OPAP，PE垂直平分OA，C为OA的中点，点C在PE上OPA90°，OPEOPA45°.同理可证OQE45°.EPEQ.(2)成立OPA为等腰直角三角形，点C是OA的中点，OCPC，PCA90&#