并行计算中的随机波动率亚式期权Monte Carlo加速方法

1、高性能计算应用47并行计算中的随机波动率亚式期权加速方法姜广鑫徐承龙同济大学数学系上海寇大治徐莹徐磊上海超级计算中心上海摘要：近年来与的并行计算在金融领域得到广泛的应用，本文将普通计算机中的控制变量方法移植到核的并行计算和计算中，选取了波动率为常数的离散的几何平均亚式期权作为控制变量，计算随机波动率下的离散算术平均亚式期权。我们分别讨论了在并行计算和计算中参数的改变对计算结果的影响，并比较了算法加速与硬件加速两者的运算效率。最后采用算法加速结合硬件加速的方法，极大地缩短了运算时间。关键词：亚式期权，控制变量，集群计算，计算简介亚式期权与随机波动率模型亚式期权最早是由美国银行家信托公司（）在日本

2、东京推出的，并在日本金融市场开始使用。实质上，亚式期权是对欧式期权的创新，它们的相同点是只允许投资者在到期日当天执行期权合同；他们的不同点在于欧式期权是根据到期日当天的标的资产的价格来决定是否执行期权，而亚式期权是根据合同所规定的期限内标的资产价格的平均值来决定是否实施期权的。亚式期权作为最受欢迎的期权之一，有着自己独特的优点，由于欧式期权的价值与路径无关，只依赖于到期日标的资产价格，因此，很难防止有人操纵标的资产到期日的价格从中获利；而对于亚式期权，它的价值是与路径相关的，使用它可以缓解投机行为。年，和给出了股票期权的定价公式，成为衍生品定价上的一项重大突破。然而在经典的模型中，假设标的资产

3、的波动率为常数，而实际情况下，金融模型中常数波动率的假设与实际市场不一致，标的资产的概率分布并不是呈现为一个对数正态分布，它的两尾并不是完全对称的，因此这个假设与实际情况不符合，实际操作者在应用公式对期权定价时需要调整波动率的值，将波动率假设成随机的想法随之产生。随机波动率模型是对确定型波动率模型的拓展。这个概念由和（）最早提出，他们假设随机波动率是某一扩散过程的函数，这个模型清晰地描述了随机波动率与股票价格间的杠杆作用。之后的学者（），（）对随机波动率模型进行了改进。其中（）提出的均方根扩散过程模型最为常用，他假设随机波动率。本文中采用的随机波动率模型即为该模型。并行计算介绍随着计算金融领域

4、的迅速发展，对于计算机处理器的运算能力要求越来越高，传统的计算机计算能力已经不能满足，于是如何进一步提高计算能力显得格外重要。但是传统的由于能耗和散热问题限制了时钟频率的提高和单在每个时钟周期中的执行能力，光靠硬件性能的提升来提高计算能力已经远远不够。因此相关的科研人员打破了传统的串行编程方式，发起了一场“并行革命”。高性能计算发展与应用年第四期总第三十七期在高性能计算领域，的并行计算发展的比较早。国内外比较成熟的超级计算机大多采用成百上千的列阵。例如上海超级计算中心魔方超级计算机拥有个刀片节点，每个刀片节点配置颗处理器。目前，是最重要的并行编程实现途径，它具有移植性、好功能强大、效率高等多种

5、优点。在本文中，我们采用语言来调用库对程序进行并行化。此外，计算近年来得到很大的发展。作为的协处理器，拥有众多计算单元，单块的的计算能力比传统的高上千倍。以在本文的计算时使用的显卡为例，在工作站环境下采用块图形处理器，个运算单元，单精度运算能力达到，双精度运算能力达到，显存带宽到达。由负责大规模的密集型数据并行计算，负责执行不适合并行计算的部分的想法随之产生。年，推出编程模型，以主机端调用的方式使用进行计算。这种编程模型提高了编程的效率，尤其是与和兼容使得计算可以在各个领域得以推广。模拟中的控制变量加速方法蒙特卡罗（，）方法，是计算数学中常用的一种计算方法。它以概率统计的理论、方法为基础，一般

6、应用方法解决问题往往与某个概率模型联系在一起，并应用于计算机上，得到模拟值。上世纪年代，随着金融衍生产品市场的迅速发展，方法首先由引入到期权定价问题中来。但是方法在应用方面也存在着明显的不足，它的收敛速度比较慢，对一些复杂的衍生产品，要想达到较好的精度，就需要进行很多的模拟次数，否则将产生较大的估计误差。于是我们经常采用方差减小技术结合模拟。控制变量技巧是一种被广泛使用的方差减小技术，它是一种充分利用已知量的估计误差来降低未知量的估计误差的技术。假设是期权到期回报贴现的次独立模拟值，那么期权价格的蒙特卡罗估计值是假设得到的同时能得到另一个随机变量的样本，且已知，样本独立，则对于确定的数有），则

7、期权价格的控制变量估计值即为所谓的“控制”是指，显然控制变量估计是个无偏估计量，且方差为当最优控制系数时，上述方差达到最小，为：控制变量估计的误差减小情况取决于待定价期权的收益函数与控制变量的相关性，相关性越大方差减小效果越好。要注意的是，当越接近于时，方差减小的倍数越增加的越快，相反，远离的时候，方差减小的倍数越慢，因此选取合适的控制变量对于解决方差减小问题起着重要的作用。如果当存在控制变量与不存在控制变量的计算所需时间近似时，那么最终的计算速度取决与模拟的次数。因此，对于解决一个问题所需要的时间，控制变量法的计算效率会大大提高。比较有名的例子是和，用连续几何平均的亚式期权作为控制变量研究了

8、算术平均亚式期权的定价问题。年和研究了在未定权益的模拟定价中，使用对冲工具作为控制变量来减小误差。随机波动率的亚式期权及控制变量模拟的计算方法随机波动模型的控制变量模拟在普通的计算机上已经在和的文章中得到很好的解决，本文的模型及计算方法主要参考和在的文章中模型及方法，将其移植到并行计算和计算中。在鞅测度下，我们假设标的资产和波动率适合如下随机微分方程：（）（）其中，为常数，表示无风险利率，和为常数，描述方差的漂移和波动情况，、是标准运动，且。模拟方法在金融工程中的应用在中给出比较详细的说明，下面给出控制变量的模拟对期权定价的具体算法：将时间段离散，即将平均分成份，离散的时间间隔为，离散的时间点

9、列为包含所48高性能计算应用49需的观察点在内。，进而模拟出波其中出。最后在应用控制变量的方法进行对中的期权进行计算，令可以由的中的第一章中由公式给产生波动率为常数的标的资产。基于过程产生满足正态分布的随机变量动率为常数的标的资产的路径，可令这是标的资产中给出，的一条路径。其中，且当时，为标的即，对次的模拟取平均。下面我们考虑的取值，由前面的介绍知道，最优的系数但在实际情况中，我们对近似。可令（）与。无法资产的初值，为无风险的利率，为常数，其值在基于中产生的标的资产的路径计算出所对应的期权精确的算出它们的值，因此可以采用数值方法进行产生波动率为随机波动率的标的资产。即基于过程和产生波动率为随机

10、的标的资产先产生随机波动率，可应用令。首并行计算中的加速计算结果其中为随机波动率的增长率，率的波动率，为随机波动率的初值。由为随机波动为与可以的计算环境：本节的计算环境为上海超级计算中心魔方超级计算机，该平台采用了处理器，计算节点为四路四核心，单核心频率，单节点采用根，共计内存。四路四核心节点采用的操作系统为（），（：），（）。使用的版本为。得到波动率为过程的随机波动率的标的资产的一条路径。基于中产生的标的资产的路径计算出所对应的期权数据参数选择如下：初始价格为，敲定价相关的正态分布随机变量，相关系数为。产生，令和另一个与其相互独立的正态分布随机变量然后，可以产生满足该随机波动率的标的资产，令

11、为，到期日为，无风险利率为，观测点数为，观测点之间离散点数为，波动率的漂移项为，波动率的波动率定义如下，为，波动率初始值为，随机源的相关性为，这里面误差的产生带有控制变量的期权，令50高性能计算发展与应用年第四期总第三十七期首先我们改变运算的核数对计算结果的影响，改变运算的核数从到，模拟的次数取次，得到下表，表中分别列出普通的方法（）和控制变量的方法（）的数值结果。从表中可以看出，运算的核数越多计算的时间越短，核数的改变对运算结果的影响不大，因此我们在今后的计算中采用个核来进行并行计算。比较一下单核与核的运算时间，得到图。从图中我们可以看出，单核的运算时间要远远的高于核，采用核进行计算的加速比

12、大概在倍左右。接下来改变模拟次数得到下表。图单核计算与核并行计算的时间比较从上表中我们可以看出，误差减小的倍数大概在倍左右。用控制变量方法对该模型模拟次得到结果看做是精确解，在普通的法中，当模拟次数达到次左右才开始精确到小数点后第三位，应用控制变量进行加速后，模拟次数在次左右精度就达到小数点后第三位。接下来我们看一下参数的改变对误差减小倍数的影响，分别改变波动率的漂移项和波动率的波动率。改变波动率的漂移项从到，其他的参数与上面相同，模拟次数采用次，可以得到图。接下来改变波动率的波动率从到，其他的参数与上面相同，模拟次数采用次，可以得到图。从图可以看出，误差减小的倍数随着波动率的波动率的增大而减

13、小。图核并行计算中波动率的波动率与误差减小倍数的关系综上所述，在普通的计算机上，对的控制变量技巧有了很好的阐述，而在并行计算中，应用方法对期权进行定价同样可以采用控制变量的技巧来减小误差，得到的结果与普图核并行计算中波动率的漂移项与误差减小倍数的关系通计算机上的结果几乎相同。在下一节我们将讨论控制变量技巧在计算中的应用。从图中可以看出，当波动率的漂移项从增大到时，误差减小的倍数随着的增大而减小；当右。从减小到时，误差减小的倍数在倍左中加速计算结果计算环境：的计算环境采用了，的系列产品家族基于代高性能计算应用51号为“”的下一代架构，支持技术与企业计算所必备的诸多特性，其中包括支持、可实现极高精

14、度与可扩展性的储存器以及倍于系列的双精度性能。本文计算采用的的版本为。数据选取与上一节相同，我们改变模拟的次数，讨论其对计算结果的影响，得到表。从表中我们可以看出的计算结果与用个并行计算的结果几乎相同，随机波动率的亚式期权的数值解为，误差减小倍数在倍左右。同样，在普通的法中，当模拟次数达到次左右才开始精确到小数点后第三位，应用控制变量进行加速后，模拟次数在次左右精度就达到小数点后第三位。我们与上节一样，分别改变波动率的漂移项和波动率的波动率。波动率的漂移项从到，波动率的波动率从到，其他的参数与上面相同，模拟次数采用次，可以得到图与图。图计算中波动率的漂移项与误差减小倍数的关系图模拟次数与时间的

15、关系从上图我们可以看出，用计算的时间远高于核的并行计算。此外，带控制变量的方法的运算时间只比普通的方法运算时间高一点，但是带控制变量的方法达到一定的精确值的模拟次数要远低于普通方法。为了进一步说明，我们做如下比较，当达到一定的误差值时，我们看这些方法所需时间，假定误差达到。单核的普通方法要进行进大约次以上的运算，时间约为，单核的控制变量方法方法要进行大约次运算，时间约为；在应用核进行并行计算时，进行的运算次数与单核一样，普通的方法要进行大约，控制变量的方法要进行大约；在应用进行计算时，普通的方法要进行大约，控制变量的方法要进行大约，可以得到下图。图计算中波动率的波动率与误差减小倍数的关系从图、

16、图中我们可以看出，改变波动率的漂移项与波动率对误差减小倍数的影响与上一节相同。并行计算与计算时间比较本节中的计算环境和参数的选取与上两节相同。我们改变模拟次数，得到并行计算与计算的运算时间如下图所示。52高性能计算发展与应用年第四期总第三十七期式看涨期权。通过计算比较，核并行计算和计算的结果几乎一样，达到倍左右，进而讨论参数对计算结果的影响，得到的结果与在普通计算机上得到的结果相同。波动率的漂移项和波动率都对误差减小倍数有影响，其中波动率的漂移项为正数时，误差减小的倍数随着其的增大而减小；当波动率的漂移项为负时，误差减小的倍数在倍左右；波动率的波动率越大，误差减小倍数越小。改变其它参数例如观测

17、点数及观测点之间的离散点数图单核、核并行和中普通方法与控制变量的方法的时间比较等，对误差减小倍数几乎无影响。在计算时间方面，算法加速比硬件加速更节省时间。选定相同的误差精度，采用普通的方法，核并行计算与计算较单核计算的加速比分别为倍与倍，而在单核计算中，采用了控制变量的方法与普通的方法的加速比可达到近倍。在核与计算的比较中，在运算量较大时，要比核计算的更快，但是由于在初始化随机数时需要一定的时间，因此在计算量较小时，计算的效率没有核高。综上所诉，控制变量技巧可以应用于的并行计算和计算中，采用算法加速结合硬件加速的方法，可以使运算时间大大的缩短。在今后的研究中，我们一方面可以将模拟中其他的加速技巧移植到与的并行计算中去，例如重要抽样法、分层抽样法等。另一方面，我们可以将与并行计算中的控制变量技巧应用于其他复杂金融衍生物的定价问题中，尤其是美式期权定价等计算量巨大的问题。从图中我们可以清晰的看出，当所求的误差相同时，在硬件加速方面，核并行计算与计算的速度要远快于单核的计算，加速比分别为倍与倍；而在算法加速方面，控制变量的方法（）对于计算