2019年全国高中数学联赛江西省预赛试题

1、2019 年全国高中数学联赛 (考试时间：9 月 24 日上午 8:30-11:00) 一 填空题(共 2 题，每题 10 分，合计 80 分) 1. 设多项式f(x)满足：对于任意 R，都有f(x1) f(x-1) = 2x2 -4x,则f(x) 的最小值是 _ . 2. 数列an,bn满足：akbk =1,k =12丨1(,已知数列an的前n项和为A =,则数 n+1 列bn的前n项和Bn = _ . 3 .函数f (x)二 - 的值域是 _ . x +2 4过抛物线y2 =8x的焦点 F，作一条斜率为 2 的直线 I，若 l 交抛物线于A,B两点, 贝 L OAB 的面积是 _ . si

2、n A 5. _ 若ABC 为锐角三角形，满足 =cos(A B)，则 tai A 的最大值为 _ sin B 6. 若正三棱锥的内切球半径为 1，则其体积的最小值为 _ 7. 将1,2,川,9随机填入右图正方形 ABCD 的九个格子中，贝 U 其每 行三数，每列三数自上而下、自左而右顺次成等差数列的概率 P= _ . 8. 将集合M二1,2| 12的元素分成不相交的三个子集： M =A 一 B- C，其中 A 二aa2,a3,a4 B 二d,d,b3,b4C二q,q ,C3,C4, & V。v C3 v C4，且 ak bk Gk ， k =1,2,3,4,则集合 C 为： _ .

3、二.解答题(共 2 题，合计 70 分) 9. (20 分)如图，AB 是圆的一条弦，它将圆分成两部分， M、N 分别是两段弧 的中点，以点 B 为旋转中心，将弓形 AMB 顺时针旋转一个角度成弓形 A1MB , AA 的中点为 P , MN 的中点为Q.求证：MN =2PQ. 2 2 10. (25 分)给定椭圆C:牛 =1,(a b 0)以及圆L O:x2 b2,自椭圆 a b 上异于其顶点的任意一点 P，做 L O 的两条切线，切点为M ,N ,若直线 MN 在 x,y 2 .2 2 轴上的截距分别为 m,n ；证明：牛 乂二爲. n m b 11. （25 分）对于 2n 个素数组成的

4、集合M = Pi, p2H , p2n，将其元素两两搭配 成n个乘积，得到一个n元集，如果 a1a2,a3a4l ,a2n4a2n,与B = tib2,b3b4川丨, b2n ibzn是由此得到的两个门元集，其中冃42,|“2. =4山2,|（山2.二M，且 A - B =.一，就称集合对A,B是由 M 炮制成的一副“对联”.（例如当 n = 2 时, 由四元集a,b,c,d可炮制成三副“对联”：ab,cdac,bd，ab,cdad,bc ac,bd L ad, bc）. （1） .当n =3 时，求6元素集M二a,b,c,d,e, f所能炮制成的“对联”数； （2） 对于一般的n _2,求由2n元素集M所能炮制成的“对联”数 T（n）. 2019 年全国高中数学联赛 江西省预赛试题答案 5. 6. 8,3 8. 8,9,10,12,7,9,11,12,6,10,11,12 9. 思路：取 AB 中点 E, AiB中点 F,可证 PEBF 为菱形； 证明角 MFP 角 PEN 再证角 PNE 角 MPF 然后证角 MPN 为直角 10. 关键步骤：设 P 点坐标（x,y。），易的 OMP 四点共圆，此圆方程减圆 O 方 程得直线 MN 方程x0 x y0y=b2 11. （ 1）60; T（n）Jc；n； D