万有引力与航天专题复习

1、专题：万有引力与航天一、 开普勒行星运动定律（1） 所有的行星围绕太阳运动的轨道是 ,太阳处在_上，这就是开普勒第一定律，又称椭圆 轨道定律。（2） 对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的.这就是开普勒第二定律，又称面积定律。（3） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值_。这就是开普勒第三定律，又 称周期定律。若用R表示椭圆轨道的半长轴，R 2T表示公转周期，则 R2 =k （k是一个与行星无关的量）。T2二万有引力定律1 .内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间成反比.2. 公式：F=，其中G=Nm2/kg2,叫引力常量.

2、3.适用条件：公式适用于间的相互作用.当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中 r为球心到 间的距离.【例】1、（2009 浙江高考）在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道.已知太阳质量约为月球质量的2.7 x 107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（）A. 太阳引力远大于月球引力B.太阳引力与月球引力相差不大C.月球对不同区域海水的吸引力大小相等D.月球对不同区域海水的

3、吸引力大小有差异2、我国研制并成功发射的“嫦娥二号”探测卫星，在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，运行的周期为T。若以R表示月球的半径，则A.卫星运行时的向心加速度为4 nRB.卫星运行时的线速度为C.物体在月球表面自由下落的加速度为D .月球的第一宇宙速度为/32n.' R (R h)3TR三、人造卫星1、三种宇宙速度宇宙 速度数值(km/s)意义第一宇 宙速度7.9卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）.若7.9 km/s <v<11.2 km/s，物体绕运行（环绕速度）w =/匝=丁示 R第二宇 宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度.若

4、11.2 km/s < v<16.7 km/s ,物体绕运行（脱离速度）v2 =乜2也= J 2gR R第三宇 宙速度16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度.若v > 16.7 km/s，物体将脱离在于宙空间运行（逃逸速度）补充：第一宇宙速度的理解和推导根据论述可推导如下:2Vi= m ,yiR=7.9km/s2 或 mg = m 書,Vi=gR 二 7.9km/ s1 由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道， 在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此时发射 时的动能全部转化为绕

5、行的动能而不需要重力势能。其他天体的第一宇宙速度可参照此方法推导，Vi二g'R'注意（1）三个宇宙速度指的是发射速度，不能理解成运行速度。（2）第一宇宙速度既是最小发射速度，又是最大运行速度1【例】1、某星球质量是地球质量的 2倍，半径是地球半径的-，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是 多少？,进入地月转移轨道，最终被2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图 ，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测下列说法正确的是A. 发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度B. 在绕月圆轨道上，卫星周期与卫星质量有关C. 卫星受月球的引力与它到月球中心

6、距离的平方成反比D. 在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力2. 近地卫星所谓近地卫星，是指卫星的运行轨道半径等于地球的半径，卫星做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供。它的运行速度为第一宇宙速度，也是卫星的最大 的速度。3、同步卫星（1） 轨道平面一定：轨道平面与 共面.（2） 周期一定：与 周期相同，即T= 24 h.（3） 角速度一定：与 的角速度相同.(4)(5)Mm24 nR+ h）得同步卫星离地面的高度3 /GMTh= Mn2R 3.56 x 107m高度一定：由2(R+ h)（6）向心加速度大小一定an2'2兀、#、=g = I (R + h )<T丿【例】

7、据报道，我国数据中继卫星“天链一号 01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空， 经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经 77°赤道上空的同步轨道. 关于成功定点后的“天链 号01星”,下列说法正确的是（）A. 运行速度大于 7.9 km/sB. 离地面高度一定，相对地面静止C. 绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等4、天体(如卫星)运动的线速度、角速度、周期与轨道半径r的关系由gMIr2v=m 得 V =r,所以r越大，v 由G 2- = m2r 得co =，所以r越大，rMm2?. 2 由G=m()

8、2r得T=，所以r越大，TrT万有引力定律应用的基本方法:黄金代换式:GMm(1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供.“万能”连等式：川 mv222 n 22Grr = msn=mp = m r = m)r = n(2 n f) r(2)不考虑中心天体的自转。该中心天体密度为：3M M 3 n rp = 丁 4 gT戌(R为中心天体的半径).3n R3考向一：天体的质量 M密度p的估算(1)测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T,_Mm 2 n 2一心_,十=、，4 n 2r3由Gy = m()r，可得天体质量为：M gT .当卫星沿中心天体表面运行时,3 nr

9、= R,贝 V p = gt .(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径,十 Mm，十八十冃由于Gr2 = mg故天体质量M=MM3gV=434 n GR“ R天体密度p【例】天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍.已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量 G= 6.67 X 1011Nm2/kg2,由此估算该行星的平均密度约为()33334343A. 1.8 X 10 kg/m B. 5.6 X 10 kg/m C . 1.1 X 10 kg/mD. 2.9 X 10 kg/m考向二：卫星的运行和变轨问题1. 人造卫星的动力学

10、特征万有引力提供向心力.即2. 人造卫星的运动学特征MmvGr = ma = m =rr=ma(1)向心加速度GM(2)由线速度随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。(3) 角速度3=.产, 随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。(4) 周期T= 2冗Gm随着轨道半径的增加，卫星的周期增大。【例】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径).下列说法中正确的是()A. a、b的线速度大小之比是2 : 1B. a、b的周期之比是1 : 2-2*C. a、b的角速度大小之比是 3 6： 4'

11、'*'D. a、b的向心加速度大小之比是' 9 ： 43卫星的环绕速度和发射速度IGM不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度V，其大小随半径的增大而减小.但是，由于在 人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需 的发射速度就越大，即发射速度环绕速度，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫 星的最小发射速度.4人造地球卫星的超重和失重(1) 人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动这两个过程加速度 方向均向上，因而都是超重状态.(2) 人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引

12、力提供向心力，因此处于完全失重状态在这种情况下 凡是与重力有关的力学现象都不会发生因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使 用同理，与重力有关的实验也将无法进行(如：天平、水银气压计等)5. 卫星的变轨卫星做匀速圆周运动时满足：GMm = ma = m = mrw 2 = mR2* )2rr12当卫星由于某种原因使向心力与所受地球万有引力不相等时，卫星就会变轨，即当F引 m 时,r卫星向近地心的轨道运动2,即做向心运动；当F引 m 时，卫星向远地心的轨道运动，即做离心运动。 r变轨时应从两方面考虑：一是中心天体提供的引力F引=G ，在开始变轨时F引不变；r2二是飞船所需要的向心力

13、 F向=口匚，可以通过以改变飞船的速度来改变它所需要的向心力，从而达到r使其做向心运动或离心运动而变轨的目的。2(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由V=岁知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加.2mv(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由V =:G"知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少.(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)3颗人造卫星，下列说法正确【例

14、】1、如图4 4 2所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的 的是()A. b、c的线速度大小相等，且大于 a的线速度B. b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度C. c加速可追上同一轨道上的 b, b减速可等到同一轨道上的 cD. a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大出 4 .j 22、某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为 ri，后来变为r2(r2<ri)，用 氐、氐表示卫星在这两个轨道上的动能， Ti、T2表示 卫星在这两个轨道上的运行周期，则 ( )A.E<2<Eki,T2<

15、;TiB.E<2<Eki,T2>TiC.E(2>Eki,T2<TiD.E(2>Eki,T2>Ti3、人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km,远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候,飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题(地球半径2R=6370km, g=9.8m/s )P点时点火，使飞船沿圆轨道2(1) 飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点，当飞船运动到 运行，以下说法正确的是()A. 飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力B. 飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力C. 飞船在轨

16、道I上 P点的速度小于轨道n上 P的速度D飞船在轨道I上 P点的加速度小于轨道n上 P的加速度(2) 假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是()A. 从较低轨道上加速B.从较高轨道上加速C.从同一轨道上加速D. 从任意轨道上加速 考向三：“双星模型”问题在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连wO线上某点做周期相同的匀速圆周运动.如图(1) 双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力(2) 具有相同的周期 T和角速度(3) 轨道半径和质量成反比 ri = m2 lj2= J L(4)双

17、星总质量4二2L3GT2(其中L为双星间距，T为周期)mm2 'mm2【例】如图4 4 6，质量分别为 m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕 O点做 匀速圆周运动，星球 A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧.引力常量为 G/(1) 求两星球做圆周运动的周期；(2) 在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行的周期记为Ti.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98 X 1024kg和7.35 X 1022 kg.求

18、T2与Ti两者平方之比.(结果保留3位小数)考向四：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度周期线速度向心加速度向心力赤道 上斜=自T1 = T 自V1 = C01 R2a1 = d RF = ma近地 卫星 上'GM6- R3T _ H2R32 GM/gmV2 一 RV宇1GM"R2勺F2 = ma2 = mg同步 卫星 上国3 =自GMT3 =T 自T|4r2(R+h)3V3 =C0 3(R + h)/ GM2a«3 (R + h)GMF3 = ma35二但竹)3T3 PGM_ 丫 R+hU3 2(R + h)物较 同比豹1 =豹3 时2T1 = T3 A

19、 T2V1 < v3 < v2 = v宇.a1 < a3 < a? = gF1 wF3<F2 = mg【例】如图，地球赤道上的山丘 e,近地资源卫星p和同步通信卫星 q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动设 e、p、q的圆周运动速率分别为 vi、V2、V3，向心加速度分别为a、比、a3,贝U ()A. vi>V2>V3B. vi<V2<V3C. a>a2>a3D. ai<a3<a2考向五：万有引力与抛体运动的综合(万有引力与牛顿运动定律的综合) 关键是：重力加速度 g(1)由黄金代换得g (2 )由抛体运动或牛顿运动定

20、律得g【例】我国在2010年实现探月计划一一“嫦娥工程”.同学们也对月球有了更多的关注.(1) 若已知地球半径为 R,地球表面的重力加速度为g,月球绕地球运动的周期为 T,月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.(2) 若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度vo竖直向上抛出一个小球，考向六：环绕同一中心天体的星际相距最远和最近问题经过时间t,小球落回抛出点.已知月球半径为r,万有引力常量为 G,试求出月球的质1、从相距最近(两星在中心天体的同侧且三星共线)至U再次相距最近所需最短时间:据大 _小 t =2 二则 t =,而.=T大T小T大_丁小大_灼小

21、2、从相距最近(两星在中心天体的同侧且三星共线)至躺距最远(两星在中心天体的两侧且三星共线)所需最短时间：据大_小t - :则t二'大一小%0 0 1 *Jf%鼻'R a卫星离地面的高度等于 R bT大T小2T大 -T小【例10】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为卫星离地面高度为 3R,贝U：(1) a、b两卫星周期之比 Ta : Tb是多少？a至少经过多少个周期两卫星相距最远?(2) 若某时刻两卫星正好通过地面同一点的正上方，则【课时训练】1 .对万有引力定律的表达式 F=G r2，下列说法正确的是（）A. 公式中G为常量，没有单位，是人为规定的B. r趋

22、向于零时，万有引力趋近于无穷大C. 两物体之间的万有引力总是大小相等，与mi、m2是否相等无关D. 两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力2.已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍.若某行星的平均密度为地球平均密度的一半,它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为A. 6小时B. 12小时 C . 24小时 D . 36小时3 .在圆轨道上做匀速圆周运动的国际空间站里，一宇航员手拿一只小球相对于太 空舱静止“站立”于舱内朝向地球一侧的“地面”上，如图4 4 7所示.法正确的是（）A. 宇航员相对于地球的速度介于7.9 km/s 与ii.2 km/s 之间B. 若宇航员相对于太空舱无初速释放小球，小球将落到"地面”上C. 宇航员将不受地球的引力作用D. 宇航员对“地面”的压力等于零4. “嫦娥一号”月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的轨道半径为)图 4 4 7r ,运行速率