311方程的根与函数的零点 (3)

1、思考思考1 1：填写下表，并探究一元二次方程的实数根与相应的二填写下表，并探究一元二次方程的实数根与相应的二次函数图像的关系。次函数图像的关系。没有交点没有交点(1,0)(1,0)x x2 2-2x+3=0-2x+3=0 x x2 2-2x+1=0-2x+1=0(-1,0),(3,0)(-1,0),(3,0)x x2 2-2x-3=0-2x-3=0?-2?-4?-30?-25?-20?-15?-10?-5?-1?3?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-25?-20?-15?-10?-5?1?4?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-18?-30

2、?-25?-20?-15?-10?-5?1无实数根无实数根x x1 1=x=x2 2=1=1x x1 1=-1,x=-1,x2 2=3=3y=xy=x2 2-2x+3-2x+3y=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x-3-2x-3图象与图象与x x轴的轴的交点交点函数的图象函数的图象一元二次方一元二次方程程方程的根方程的根二次函数二次函数结结 论论: : 方程的实数根就是函数图象与方程的实数根就是函数图象与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标。00=0=0判别式判别式 =b24ac方程方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a0)(a0)的根的根函数函数y= axy

3、= ax2 2 +bx +bx+c(a0)+c(a0)的图象的图象函数的图象与函数的图象与 x x 轴的交点轴的交点00( (x x1 1,0),(,0),(x x2 2,0),0)没有实根没有实根没有交点没有交点两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x x1 1 = x = x2 2( (x x1 1,0),0)-2-4-6-8-10-15-10-5x2x1h x 2-2 2-2-4-6-8-15-10-5x1g x 2-2?4?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-18?-30?-25?-20?-15?-10?-5?1上

4、述关系对于一般的一元二次方程上述关系对于一般的一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)与相应的与相应的二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c (a0)+bx+c (a0)也成立。也成立。 对于函数对于函数y=f(x) 我们把使我们把使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点（的零点（zero point)。结论结论：函数的零点就是方程函数的零点就是方程f(xf(x)=0)=0的实数根，也就的实数根，也就是函数是函数y=f(xy=f(x) )的图象与的图象与x x轴的交点的横坐标（轴的交点的横坐标（几何几何意义意义）. .注：零点是一个

5、数，不是一个点注：零点是一个数，不是一个点函数函数y=f(x)有零点有零点方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点练习1：(1)(1)在二次函数在二次函数 中，中，ac0,ac0,则其则其零点的个数为（）零点的个数为（）. . . . .不存在不存在2yaxbxc（）已知函数是定义域为的奇函数，且（）已知函数是定义域为的奇函数，且在上有一个零点，则在上有一个零点，则f(x)的零点个数为（）的零点个数为（）( )f x( )f x(0,). .不确定不确定.(-6,0),(2,0).(-6,0),(2,0).x=-6.x=-6.x=2.x=2.-

6、6.-6和和2 2)(124)()2(2的零点是函数xxxfBDA观察二次函数观察二次函数f(x)=x22x3的图象的图象: 在在2,1上，上，我们发现函数我们发现函数f(xf(x) )在在区间（区间（-2,1)-2,1)内有零点内有零点x x _,_,有有f(2)_0_0, f(1)_0_0得到得到 f(2)f(1) _0()。 在在2,42,4上，我们发现函数上，我们发现函数f(xf(x) )在区间在区间（2,4)2,4)内有零点内有零点x x _，有，有f(2)_0,f(4) _f(2)_0,f(4) _得到得到f(2)f(2)f(4) f(4) _ 0 0（ )。.xy01321121

7、23424思考思考2：函数：函数yf(x)在某个区间上是否一定有零点？在某个区间上是否一定有零点？怎样的条件下，函数怎样的条件下，函数yf(x)一定有零点？一定有零点？ 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是连续不断的一条上的图象是连续不断的一条曲线，并且有曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数，那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b) 内内有零点，即存在有零点，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，这个，这个c也就是方程也就是方程f(x)=0的根的根.babababaCB3思考课本思考课本P112 T1由表由表3-1和图和图3.13可知可知f(2)0，即即f(

8、2)f(3)0，说明这个函数在区间说明这个函数在区间(2,3)内内有零点。有零点。 由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表的对应值表（表3-1）和图象（图和图象（图3.13） 4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079414.1972例例3 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。123456789x0246105y241086121487643219还有其他方法吗？还有其他

9、方法吗？解法解法2：y=2x +6y= lnx6Ox1 2 3 4y数形结合数形结合可看成可看成y=lnxy=lnx与与y=-2x+6图像交点的横坐标图像交点的横坐标解方程解方程f(x)=lnx+2x 6=0则则lnx=-2x+6例例3 求函数求函数f(x)=lnx+2x6的零点个数。的零点个数。6Ox1 2 3 4y学以致用学以致用零点的个数求2log)(2xxxf求函数零点的两种方法：求函数零点的两种方法：代数代数法：求方程法：求方程f(x)=0的实数根的实数根几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点质找出零点?一个关系：一个关系：函数零