与轴对称相关线段之和最短问题

1、与轴对称相关的线段之和最短问题监利县第一初级中学刘光杰QQ 1519819521.问题的引入:在学习了作轴对称图形之后，人教版八年级上册P42,有这样一个问题如圈人管遭上倍见一金果站*分期商A* B 两蜒供購站的什么处方.你可减在f上找几*点试一试総更现If么规律？(3)B II-X S在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直 线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对 这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌

2、握了下面列举的 题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。.数学模型:1如图，直线I和I的异侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。B2如图，直线I和I的同侧两点A、B,在直线I上求作一点P,使PA+PB最小。3如图，点P是/ MON内的一点，分别在 0M , ON上作点为方便归类，将以上三种情况统称为"两边之和大于第三边型”4如图，点P, Q为/ MON内的两点，分别在 周长最小。0M , ON上作点A ,B。使四边形PAQB的Of为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 5如图，点A是/ MO

3、N外的一点，在射线 之和最小06.如图，点A是/ MON内的一点，在射线 ON上作点P,使PA与点P到射线OM的距离 之和最小为方便归类，将以上两种情况，称为“垂线段最短型”三. 两边之和大于第三边型(一)直线类1.如图，A、B两个小集镇在河流 CD的同侧，分别到河的距离为AC = 10千米，BD = 30千米，且CD = 30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出总 费用是多少?作点B关于直线CD的对称点B',连接AB',交CD 于点M则AM+BM = AM+B'

4、M = AB'，水厂建在 M点时，费用最小如右图，在直角厶 AB'E中，*EB'AE = AC+CE = 10+30 = 40EB' = 30所以：AB' = 50总费用为：50X 3 = 150万2.如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B D作AB丄BD, ED丄BD连接AC EG 已知 AB=5 DE=1 BD=8 设 CD=x.用含x的代数式表示AC+ CE的长； 请问点C满足什么条件时，AC+ CE的值最小？ 根据 中的规律和结论，请构图求出代数式x2+4 +(12-x)2+9的最小值(1)AC = (8-x) 2 + 25 ,CE二x2 +

5、1则 AC+CE = (8-x) 2 + 25 +x2 + 1A、C、E三点共线时AC+C撮小连接AE,交BD于点C,则AE就是AC+CE勺最小值 最小值是10(3)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值在直角 AEF 中,AF = 5 EF = 12根据勾股定理AE = 13的最小值 ° °3. 求代数式-Jx + 1 + .(4-x) + 4( 0< x< 4)如右图，AE的长就是这个代数式的最小值 在直角 AEF中AF = 3 EF = 4贝U AE = 5所以，这个代数式的最小值是5(二)角类4. 两条公路0A、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为

6、点P,如在两条公路上各设置一个加油站，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发， 经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短分析 这是一个实际问题， 我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短， 0A与0B相交，点P在/ AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线 0A和0B的对称点P1、P2，连结P1P2分别交0A、0B于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点， 那么是不是最短的呢？我们可以用三鬥角形的三边关系进行说明解：分别做点P关于直线0A和0B的对称点P1、 P2，连结P1P2分别交0A

7、、0B于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短 点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明 白。5. 如图/ AOB = 45 ° , P是/ AOB内一点，PO = 10, Q、P分别是 OA、OB上的动点，求 PQR周长的最小值.分别作点P关于OA、OB的对称点Pi、P2,连接P1P2, 交 OA、OB 于点 Q, R，连接 OPi, OP2,贝U OP = OPi = OP2 = 10且/ P1OP2 = 90 °由勾股定理得P1P2

8、= 10 2（三）三角形类6. 如图，等腰Rt ABC的直角边长为2, E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为 即在AC上作一点 P,使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC 于点 P,贝U B'E = PB'+PE = PB+PEB'E的长就是PB+PE的最小值 在直角 B'EF 中，EF = 1 , B'F = 3 根据勾股定理，B'E =107. 如图，在 ABC中，AC = BC = 2,Z ACB = 90 °, D是BC边的中点，E是AB边上一动点，贝U EC+

9、 ED的最小值为。即是在直线 AB上作一点E,使EC+ED最小作点C关于直线AB的对称点C',连接DC'交AB于点E, 则线段DC'的长就是EC+ED的最小值。在直角 DBC'中DB=1 , BC=2，根据勾股定理可得，DC'= 58. 等腰 ABC 中，/ A = 20 ° , AB = AC = 20 , M、N 分 别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC 的最小值分别作点C、B关于AB、AC的对称点C' B'，连接C'B' 交 AB、AC 于点 M、N，贝U BN+MN+MC = B 'N+MN+

10、MC '= B 'C ' BN+MN+MC 的最小值就是 B 'C'的值/ BAC ' = / BAC，/ CAB ' = / CAB/ B 'AC ' = 60°/ AC ' = AC , AB ' = AB , AC = AB AC ' = AB ' AB 'C'是等边三角形 B 'C' = 20B'9. 如图，在等边厶 ABC中，AB = 6 , AD丄BC, E是AC上的一点，M是AD上的一点,且AE = 2，求EM+EC的最小值因为

11、点C关于直线AD的对称点是点B,所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小, 过点B作BH丄AC于点H,则 EH = AH -AE = 3-2 = 1 , BH = BC2 - CH2 =62 - 32 = 3 3在直角 BHE 中，BE = BH2 + HE2 =(3 3)2 + 12= 2 7（四）正方形类10. 如图，正方形 ABCD的边长为8, M在DC上，且 DM = 2, N是AC上的一动点，DN + MN的最小值为。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小 故作点D关于AC的对称点B ,连接BM , 交 AC 于点 N。贝U DN +MN= BN +MN=BM 线段EM的长就是

12、 DN +MN的最小值 在直角 ABCM 中，CM=6,BC=8,则BM=10故DN +MN的最小值是1011. 如图所示，正方形 ABCD的面积为12,A ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD 内，在对角线 AC上有一点P,使PD + PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2 3 B . 2 . 6 C. 3D .6BC即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小点D关于直线AC的对称点是点B,连接BE交AC于点P,贝U BE = PB+PE = PD+PE , BE的长就是 PD+PE的最小值BE = AB = 2312. 在边长为2 c血的正方形 ABCD中，点Q为BC边的中点,点P为

13、对角线AC上一动点，连接 PB、PQ，则 PBQ周长的最小值为cm （结果不取近似值）.即在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小因为点B关于AC的对称点是D点，所以连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点DQ = PD+PQ = PB+PQ故DQ的长就是 PB+PQ的最小值在直角 CDQ 中，CQ = 1 , CD = 2根据勾股定理，得，DQ =513. 如图，四边形 ABCD是正方形， AB = 10cm，E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；连接AE，交BD于点P,贝U AE就是PE+PC的最小值在直角 ABE中，求得 AE的长为5 5（五）矩形类14. 如图，若

14、四边形 ABCD是矩形，AB = 10cm , BC = 20cm , E为边BC上的一个动点,P为BD上的一个动点，求 PC+PD的最小值； 作点C关于BD的对称点 C',过点C',作C'B丄BC,交BD于点P,贝U C'E就是PE+PC的最小值20直角 BCD中，CH =§错误！未定义书签。直角 BCH 中，BH = 8 5 BCC'的面积为：BH X CH = 160所以 C'E X BC = 2 X 160 贝U CE' = 1615.如图，若四边形 ABCD是菱形, P为BD上的一个动点，求（六）菱形类AB=10cm，

15、/ ABC=45 ° , E 为边 BC 上的一个动点,PC+PE的最小值；点C关于BD的对称点是点交BD于点P,则AE就是 在等腰 EAB中，求得AE的长为5 2A，过点A作AE丄BC ,PE+PC的最小值（七）直角梯形类16.已知直角梯形 ABCD中，AD /BC=DC=5，点P在BC上移动，则当APD中边AP上的高为（4A、2-1717B、.1717BC, AB 丄 BC,FA+PD取最小值C、817 D、17I IA'作点A关于BC的对称点 A，连接A'D，交BC于点P 贝U A'D = PA'+PD = PA+PDA'D的长就是 PA

16、+PD的最小值S APD = 4在直角 ABP 中，AB = 4 , BP = 1根据勾股定理，得 AP = 17所以AP上的高为：2 X 4= 8 17017（八）圆类17.已知O O的直径CD为4，/ AOD的度数为60 °点B是AD的中点，在直径 CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求 BP+AP的最小值. 即是在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小作点A关于CD的对称点A',连接A'B ,交CD于点P, 则A'B的长就是PA+PB的最小值连接 OA', OB，则/ A'OB=90 ° ,OA' = OB = 4

17、根据勾股定理，A'B = 4218.如图，MN是半径为1的O O的直径，点 A在O O上，/ AMN = 30° B为AN弧的中点，P是直径 MN上一动点，则A 2 . 2 B .2 C 1 D 2即在 MN上求一点 P,使PA+PB的值最小作点A关于MN的对称点 A',连接A'B ,交MN于点P, 则点P就是所要作的点A'B的长就是 PA+PB的最小值连接OA'、OB，则 OA'B是等腰直角三角形所以 A'B =2PA+ PB的最小值为（A'（九）一次函数类佃.在平面直角坐标系中，有 A 两点，现另取一点 C （1,

18、n）,当 BC的值最小.点C (1, n),说明点C在直线x=1上，所以作点 A关于直线x=1的对称点A，连接A'B , 交直线x=1于点C,则AC+BC的值最小设直线A'B的解析式为y=kx+b，则-2=-k+b2=4k+b解得：k = (4/5) b = - (6/5)所以：y = (4/5)x-(6/5)当 x = 1 时，y = -(2/5)故当n = -(2/5)时，AC+BC的值最小20. 次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点 A (2, 0), B (0, 4).(1) 求该函数的解析式；(2) O为坐标原点，设 OA、AB的中点分别为 C、D, P为OB

19、上一动点，求 PC+ PD的最小值，并求取得最小值时 P点坐标.*y(1) 由题意得：0 = 2x+b4 = b解得 k = -2 , b= 4,所以 y = -2x+4作点C关于y轴的对称点C'，连接C'D，交y轴于点P则 C'D = C'P+PD = PC+PDC'D就是PC+PD的最小值连接 CD，贝U CD = 2 , CC' = 2在直角 C'CD中，根据勾股定理 C'D = 2 2 求直线C'D的解析式，由C'(-1 , 0), D(1 , 2)所以，有0 = -k+b2 = k+b解得 k = 1 ,

20、 b = 1，所以 y = x+1 当 x = 0 时，y =1，贝U P(0, 1)1 k21. 如图，一次函数 y = 2x与反比例函数 y =-交于点A , AM丄x轴于点M, Goam = 12 x(1) 求k的值，k点B为双曲线y = -上不与A重合的一点，且 B(1, n)，在x轴上求一点P,使PA+PBX最小(1) 由 SOAM = 1 知，k = 2作点A关于x轴的对称点A'连接A'B，交x轴于点P,连接PA,贝U PA+PB最小。b迟用待定系数法求直线 A'的解析式为y = - 3x + 5 ,V .因为点P在x轴上，所以设y = 0,即0 = - 3

21、x + 5 ,5解得x = 335 所以p( 5, 0)22.如图，在平面直角坐标系中，直线(1) 由图观察易知 A ( 0, 2)关于直线B( 5,3)、C( 2,5)关于直线I的对称点C'_；(2) 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点 I的对称点P'的坐标为I是第一、三象限的角平分线.I的对称点A'的坐标为(2, 0)，请在图中分别标明B'、C'的位置，并写出他们的坐标：B'P (a, b)关于第一、三象限的角平分线 运用与拓广：(3 )已知两点D 点的距离之和最小，(不必证明)(1 , 3)、E ( 1 , 4),试在

22、直线I上确定一点 并求出 Q点坐标.Q,使点Q到D、E两(1) 点 B(5，3)、C(-2，5)关于直线 I 的对称点 B'(3，5)、C'(5，-2)(2) 坐标平面内任一点P(a，b)关于直线I的对称点P'的坐标为(b，a)作点E关于直线I的对称点E'，连接DE'，交直线I于点Q则QE+QD的值最小设直线DE'的解析式为：y = kx+b，因为D(1，-3)、E'(-4,-1)，贝U-3 = k+b-1 = -4k+bB'解得：k =-135所以 y =-135C -OADE* C'巳Q当x = y 时，有 x = y

23、 =-13713则Q点的坐标为(-713(十)二次函数类23.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(针旋转120。，得到线段OB.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A、0、B三点的抛物线的解析式；(3) 在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 的坐标； 留根号)(1)B(1，-2，0)，连结0A，将线段OA绕原点0顺时若不存在，请说明理由C,使厶BOC的周长最小？若存在， 求出点C (注意：本题中的结果均保3 )3 22 3c X + c X33(3) 因为点0关于对称轴的对称点是点A，则连接AB ,交对称轴于点。，则厶BOC的周长最小y = 33x2 + 233x,当 x=-1 时，y = 3

24、3所以 c(-i,3)324.如图，抛物线2y=ax +bx+c的顶点413P的坐标为(1 , -3)，交X轴于A、B两点，交y轴于点C(0, -3 ).(1) 求抛物线的表达式.(2) 把厶ABC绕AB的中点E旋转边形ADBC .判断四边形ADBC的形状，并说明理由.(3) 试问在线段AC上是否存在一点 F,使得 FBD 的周长最小，若存在，请写出点 F的坐标；若不存在，请说明理由.作点B关于AC的对称点G,连接DG，交AC于点 FBD的周长最小因为 CF/ BD , CG = ；BD，所以 F(-；,-25.如图，抛物线y= x2 + bx 2与x轴交于(1)(2)(3)180°

25、得到四A,B两点，与y轴交于C点，且A( 1, 0).求抛物线的解析式及顶点D的坐标；判断 ABC的形状，证明你的结论； 点M(m,0)是x轴上的一个动点，当 MC + MD的值最小时，求 m的值.1 23(1) y = 2x - 2 -2(3)作点C关于x轴的对称点 于点M ,贝U MC+MD 的值最小, 式，即可得到M点的坐标24m = 41方法点拨：此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，但都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建泵站问题”的数学模型，再通过找定直线的对称点把同侧线段和转换为异侧线段和，利用“两点之间线段

26、最短”，实现“折”转“直”即可解决。有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此时会含有定长的线段，依然可以转化为“建泵站问题”。26.如图，在直角坐标系中，A , B , C的坐标分别为(-1 , 0), ( 3, 0), ( 0, 3),过A , B ,C三点的抛物线的对称轴为直线I, D为直线I上的一个动点,(1)求抛物线的解析式；求当AD+CD最小时点D的坐标；以点A为圆心，以AD为半径作圆A ； 证明：当AD+CD最小时，直线 BD与圆A相切; 写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。连接BC，交直线I 于点D，贝U DA+DC = DB+DCy a=BC,BC的长就是AD

27、+DC的最小值BC: y = -x + 3则直线BC与直线x = 1的交点D(1 , 2),27.如图，已知二次函数I一一的图象与坐标轴交于点A (-1, 0)和点 B ( 0, -5).(1)求该二次函数的解析式；(2 )已知该函数图象的对称轴上存在一点(1) y = x2 -4x - 5(2) BC : y = x - 5P(2 , -3)P,使得 ABP的周长最小请求出点P的坐标.28.已知等腰三角形 ABC的两个顶点分别是 A(0, 1)、B(0 , 3)，第三个顶点 C在x轴的正 半轴上.关于y轴对称的抛物线 y= ax2 + bx+ c经过A、D(3 , - 2)、P三点，且点P关

28、于直 线AC的对称点在x轴上.(1)求直线BC的解析式；求抛物线y = ax2 + bx + c的解析式及点P的坐标； 设M是y轴上的一个动点，求PM + CM的取值范围.(1)以点A为圆心, 半轴于点C, 在直角 ACO中 根据勾股定理，得AB为半径作圆，交OA = 1 , AC = 2OC =3x轴的正故 C( 3 , 0)设直线BC的解析式为y = kx+b，则3 = b0= 3k +b解得 k=-3 , b=32y = ax +c，因为抛物线关于y轴对称，所以设抛物线的解析式为1 = c-2 = 9a+c解得a =1在直角在直角=60°所以CA是/ BCO的角平分线即直线BC

29、和x轴关于直线 AC对称 因为点P关于直线AC的对称点在x轴上 故点P应在直线BC和抛物线上，则有方程组 y = - 3x + 31 23x + 1Xi = 3 yi= 0 X2 =2 % 3 y2 = -3P( 3 , 0)，或(2 3 , -3)-3，c = OCPBA ODPACO 中 AC= 2 , OA = 1，贝U / ACO = 30 BCO 中 OC =3 , OB = 3，则/ BCO解得所以当点M在y轴上运动时，PM+CM 没有最大 值，只有最小值，所以 求PM+CM的取值范围，就是要求 PM+CM的最小值 当点P与点C重合时，即P( 3,0)PM+CM 的值最小，PM+C

30、M = 23> 2 3-3)时轴的对称点E,过点P作x轴的垂线，垂足为点M在原点，所以PM+CM当点P(2 3 ,作点C关于y 在直角 EFP 中，EF = 3 3 , PF = 3根据勾股定理，得 EP = 6所以PM+CM的最小值是6,贝U PM+CM > 629. 如图，在矩形 OABC中，已知A、C两点的坐标分别为 A(4 , 0)、C(0, 2), D为OA 的中点.设点P是/ AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1 )试证明：无论点 P运动到何处，PC总与PD相等；O、P、D三点的抛物线的解析式；P运动到何处时， PDE的周长最小？P,使/ CPN = 90 &

31、#176;?若存在，请直接(2) 当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过(3) 设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点 求出此时点P的坐标和厶PDE的周长；(4) 设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点 写出点P的坐标.过点B作/ AOC的平分线的垂线于点 P,点P即为所求过点P作PM丄BC于点M ,则PM1=2BF = 1所以点P的纵坐标为3，又因为点P在/ AOC的平分线上,则 P(3, 3)因为抛物线过原点，故设y = ax2 + bx又抛物线经过点P(3，3)，D(2，0) mi、 9a+3b=3 &刀/冃所以 Va+2b=0 解得 a = 1, b = -2则抛物线的

32、解析式为y = x2 -2x点D关于/ AOC的平分线的对称点是点C, 连接CE交OF于点卩，则厶PDE的周长最小 抛物线的解析式为y = x2 -2x的顶点E(1, -1),C(0, 2)设直线CE的解析式为y = kx+b ,-仁 k+b2=b解得k = -3 ,直线CE的解析式为y = -3x+2点P的坐标满足f=y3x+2解得x = 2 ,y = 1所以P(2 , 1) PDE的周长即是 CE + DE =10 +2(4)存在这样的点P,使/ CPN = 90°,坐标是1 1(；,2 )或(2, 2)230. 已知：抛物线 y = ax +bx+c(a丰0)的对称轴为 x =

33、 -1，与x轴交于 A、B两点，与y轴交 于点 C,其中 A(-3 , 0)、C(0, -2)(1 )求这条抛物线的函数表达式.(2) 已知在对称轴上存在一点P,使得 PBC的周长最小.请求出点P的坐标.(3) 若点D是线段OC上的一个动点(不与点 0、点C重合).过点D作DE / PC交x轴 于点E,连接PD、PE.设CD的长为m, PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式. 试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.b = 1(1)由题意得解得2a = 19a-3b+c = 0 c = -2432x2 +24a=3，b= 3，C = - 2抛物线的解析式为 y

34、=(2) 点B关于对称轴的对称点是点 卩，则厶PBC的周长最小 设直线AC的解析式为y = kx +b ,0 = -3k + b -2 = b解得k = - 2,b = -2所以直线AC的解析式为把 x = -13代入得y = - 33所以P（-14-3)(3)S存在最大值 DE / PCOAODOC，即OE2-m23OE = 3 - ?m , AE = OA 方法一，连接OPS = S 四边形 PDOE _SOED = SPOE + SPODOE = ；mSOED=2x(3 - ；m)31x 3 + 2 x(2 - m) x 1x (2 - m)3 233233m + 2m = - 3(m-

35、1)+ 3所以，当3m = 1时，S最大=3方法二，S = SOAC_SAEPS OED _SPCD3 23m32m323-3(m-1) + 3（十一 ）建桥选址类31.如图，村庄 岸垂直的桥CD ,A、B位于一条小河的两侧,问桥址应如何选择，才能使b的距离为r。作法：设a、 把点B竖直向上平移r个单位得到点 连接AB'，交a于C;过C作CD b于D;a、b彼此平行，现在要建设一座与河 B村的路程最近？连接AC、BD。证明： BB' / CD 且 BB' = CD ,四边形 BB'CD是平行四边形， CB'=BD AC + CD + DB = AC +

36、CB' + B'B = AB' + B'B在a上任取一点 C'，作CD，连接 AC'、D'B , C'B' 同理可得 AC' + C'D' + D'B = AC' + C'B' + B'B 而 AC' + C'B'>A B'若河岸A村到AC + CD + DB 最短。本题是研究AC + CD + DB最短时的C、D的取法，而CD是定值，所以冋题集中在研究 AC + DB最小上。但 AC、DB不能衔接，可将 BD平移BQ处，

37、贝V AC + DB可转化为 AC + CB'，要使AC + CB'最短，显然，A、C、B'三点要在同一条直线上。32. 如图，A、B是直线a同侧的两定点，定长线段PQ在a上平行移动，问 PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长最短？.Q'作法：（假设P'Q'就是在直线L上移动的定长线段）1）过点B作直线L的平行线,并在这条平行线上截取线段BB',使它等于定长P'Q'2）作出点A关于直线L的对称点A'，连接A'B'，交直线L于P;3）在直线L上截取线段PQ=P'Q.则此时AP+PQ+BQ最

38、小.略证：由作法可知 PQ=P'Q'=BB'，四边形PQBB'与P'Q'BB'均为平行四边形下面只要说明AP+BQ<AP'+BQ' 即可点A与A'关于直线 L对称，则 AP=A'P,AP'=A'P'.故:AP+BQ=A'P+B'P=A'B：AP'+BQ'=A'P'+BP.显然,A'B'<A'P'+BP ;（三角形三边关系）即 AP+BQ<AP'+BQ'.33. 如

39、图，护城河在CC处直角拐弯，宽度保持为4米，从A处往B处，经过两座桥：DD ' EE；设护城河是东西一一南北方向的，A , B在东西方向上相距 64米，南北方向上相距84米，如何设计两座桥梁 DD ' EE'的位置，使由A地经过两座桥梁后到 B地的路程最短？ 最短路程是多少？AabA'B'CD的周长最短？若存yA”1 2解法二：将抛物线 y =2 x平移抛物线y = ax2，记平移后点 A的对应点为 A',点B的对应点为 B',点C(-2, 0) 和点D(-4, 0)是x轴上的两个定点. 当抛物线向左平移到某个位置时，A'C+CB

40、 '最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 在，求出此时抛物线的函数解析式； 若不存在，请说明理由.54(1) 直线AP的解析式为：y =- 3 x + 3则Q的坐标为(4 , 0)4 14解法一：CQ =卜2 - 5 I = 51214则抛物线y = 2 x2向左移动5个单位时，A 'C+B 'C最短 抛物线的解析式为：y = 1(x+Y ) 225向左移动m个单位，则A'(-4-m , 8), B '(2-m , 2)，点A '关于x轴的对称点是 A '(-4-m , -8),554直线

41、A 'B'的解析式为：y = 5 x + 3 m要使A'C+B 'C最短，则点C应在直线A'B '上，将点C(-2，0)的坐标代入到直线 A'B'的解14析式，得m =51 o14则抛物线y = 1 X向左移动-5-个单位时，A'C+B 'C最短抛物线的解析式为:1142y = 2( x+5)抛物线向左或向右平移时，使四边形A BCD的周长最短，因为A'B '+ CD是定值，只要使 A'D + B 'C最短即可当抛物线向右移动时，因为A'D > AD ,B'C

42、> BC，所以A'D + B 'C > AD + BC，则在不存在一个向右的位置，使四边形ABCD的周长最短当抛物线向左移动时，设A'(-4-a, 8), B'(2-a, 2),因为CD = 2 ,则将点B '向左平移2个单位得到点B '(-a, 2).点A'关于x轴的对称点是 A' (-4-a, -8),5 5直线A的解析式为：y = 5 x + 5 m + 2要使A'D + B 'D最短，点D应在直线A' B'上将点D(-4 , 0)的坐标代入到直线 A'B'的解析式

43、，得 m = 165长最短，此时抛物线的函数解析式为/ 16(x+T故将抛物线向左平移时，否存在一个位置， 使四边形A'B'CD的周A''提示: 方法一，A'关于x轴对称点A",要使A C+CB最短，点C应在直线A" B'上；方法二，由(1 )知，此时事实上，点 Q移到点C位置，求CQ=1# 5,即抛物线左移14 / 5单位；设抛物线左移 b个单位，则 A (-4-b , 8)、B，(2-b , 2)。/ CD=2二B，左移2个单位 得到B(-b , 2)位置，要使 A D+C B7最短，只要 A D+DB最短。则只有点 D在

44、直线A B上。(十二)立体图形35. 桌上有一个圆柱形玻璃杯(无盖)，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯 口 3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向 离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位 置。析：展开图如图所示，作A点关于杯口的对称点 A'则BA''92 + 12 =15厘米A36. 只蚂蚁欲从圆柱形桶外的A点爬到桶内的B点处寻找食物，已知点A到桶口的距离AC为12cm，点B到桶口的距离 BD为8cm，CD的长为15cm，那么蚂蚁爬行的最短路程 是多少？B'*i-OE展开

45、图如右图所示，作点 B关于CD的对称点B'连接AB '交CD于点P,则蚂蚁爬行路 线 A t Pt B 为最短，且 AP+PB = AB+PB '在直角 AEB '中，AE = CD = 12 , EB'= ED + DB ' = AC + BD = 12 + 8 = 20由勾股定理知，AB ' = 25所以，蚂蚁爬行的最短路程是25cm四. 两点之间线段最短型37.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山 （B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧，AB=50km , A、 B

46、到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案， 图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直， 垂足为P ）, P到A、B的距离之和0 = PA PB，图（2）是方案二的示意图（点 A关 于直线X的对称点是A，连接BA 交直线X于点P ） , P到A、 B的距离之和 § = PA PB.（1）求S、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S PA PB的值为最小；（3） 拟建的恩施到张家界高速公路 Y与沪渝高速公路垂直， 建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区 P、

47、Q，使P、A、 B、Q组成的四边形的周长最小并求出这个最小值.提示：涉及勾股定理、点对称、设计方案。第(3)问是“三折线”转“直”问题。再思考设计路线要根据需要设计，是 P处分别往A、B两处送呢，还是可以先送 到A接着送到B。本题是对所给方案进行分析，似乎还容易一些，若要你设计方案，还需 考虑一个方案路线， Pt A t B。(1) 在图(1)中过点 A 作 AC 丄 BQ 于点 C,贝U BC = BQ-CQ = 40-10= 30 , AB= 40 , 在Rt ABC中，根据勾股定理，得 AC = 40,所以PQ = 40在Rt BPQ中，根据勾股定理，得 PB = 40 2所以 Si=

48、PA+PB = 10+402在图中S1 = A'B = PA+PB = A'C2 + BC2 = 502 + 402 = 10 41如图(2)在厶 EA'B 中，有 EB+EA'>A'B 因为 S1= EB+EA' , S2= A'B所以S1> S2B'如图(3)分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点A', B'，连接A'B'，交x轴、y轴于点P、Q,则四边形PABQ的周长最小 构造如图在 Rt A'B'C 中，B'C = 30+30+40 = 100 ,A'

49、;C = 10 +40 =50所以 A'B' =1002 + 502 =50 538.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形,M为对角线BD (不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60 ° 得至U BN，连接 EN、AM、CM求证： AMB ENB; 当M点在何处时，AM + CM的值最小；当M点在何处时，AM + BM + CM的值最小，并说明理由; 当AM + BM + CM的最小值为 3 + 1时，求正方形的边长 连接AC ,交BD于点M，则AM+CM 的值最小 连接CE交BD于点M，则AM+BM+CM 的值最小/ AM=EN , BM=NM

50、, AM+BM+CM=EN+NM+MC=EC根据“两点之间，线段最短”，可知EN+NM+MC=EC 最短过点E作CB的延长线的垂线，垂足为 F 设正方形ABCD的边长为2xBF= 3x则在直角厶BEF中，/ EBF=30。，所以，EF=x，根据勾股定理:得方程:在直角 CEF中，根据勾股定理：CE2 = EF2 + FC2(3 + 1)2 = x2 + ( 3x +2x)解得:所以：2x =2分析：本题在最短矩离这一问题中，利用了数形结合的思想，综合考查学生几何、代数知识 的运用能力。整个过程充分显示了学生学习数学新知的一般过程：认知一一论证一一应用。本题的难点在距离最小。第一小问设计由简单的

51、三角形全等的证明让学生得出边之间的相等 关系，这里隐藏着由旋转角60°得出的等边三角形，从而得出BM=MN ;第二小问设计的是一个探究过程，让学生综合学习过的基本数学知识进行探索，看学生对“两点之间，线段最短”的掌握，要求学生具备转化能力，建模能力等；第三小问的设计主要是将所探究的结论进行运用，拓展，体现了数形结合的思想理念。整个过程体现了特殊问题中的一般规律， 是数学知识和问题解决方法的一种自然回归。是近几年中考压轴题的基本模型。五. 垂线段最短型39. 如图，在锐角厶 ABC中，AB = 4/2，/ BAC = 45°, / BAC的平分线交 BC于点D, M、N分别是

52、AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是 .作点B关于AD的对称点B'，过点B'作B'E丄AB于点E,交AD于点F,则线段B'E的长就是BM +MN的最小值在等腰Rt AEB'中，根据勾股定理得到，B'E = 4CB'40. 如图， ABC 中，AB=2，/ BAC=30°，若在 AC、AB 上各取一点M、N，使BM+MN的值最小，则这个最小值作AB关于AC的对称线段 AB'，过点B'作B'N丄AB，垂足为N，交AC于点M，贝U B'N =MB'+MN = MB+MNB'N的

53、长就是MB+MN的最小值则/ B'AN = 2 / BAC= 60 ° , AB' = AB = 2，/ ANB'= 90。，/ B' = 30 °。所以 AN = 1在直角 AB'N中，根据勾股定理B'N =341. 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为 30°的两条公路的 AB段和CD段（村子和公路的宽均不计）， 点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的

54、3km处，点A在点M的正西方向，点D 在点M的南偏西60°的2 3 km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点 M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小 值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到 A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段 AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？点M到甲村的最小距离是 MB , MB=3，点M到乙村

55、的最小距离是 MD , MD=2 3 , 所以，最小值是3+2 3万案一 作点M关于0E的对称点 M'，连接AM'，交CD于点P,贝U PA+PM = PA+PM' = AM',AM'的长就是点P到A点和M点的距离之和的最小值在Rt AMM'中，用勾股定理求得 AM' = 43作点M关于OF的对称点 M'，过点M'作M'H丄0E于点H，交OF于点P、交AM于点G/ GM = 3 , HE = 3 DE = 3 ,二 H 与 D 重合在 Rt HM'M 中，M'H = 2DH = 43242. 已知抛

56、物线y = ax2 + bx + c经过A (- 4, 3)、B ( 2, 0)两点，当x = 3和x = - 3时， 这条抛物线上对应点的纵坐标相等，经过点 C (0, -2)的直线l与X轴平行，O为坐标原 点。(1) 求直线AB和这条抛物线的解析式：(2) 以A为圆心、AO为半径的圆记为圆 A，判断直线I与圆A的位置关系，并说明理由(3) 设直线AB上的点D的横坐标为-1, P (m, n)是抛物线y = ax2 + bx +c上的动点，当 PDO的周长最小时，求四边形 CODP的面积。(1) AB : y =-抛物线：y =x2 - 1A到直线(2) AO= 5，点3 D(-1 , 2 ),过点P作PH丄l，垂足为的距离这3+2 = 5 ,所以，直线l与圆A相切H，延长HP交x轴于点G,设P(m, n),OP2 = OG2 + GP2 = m2 +1)2,. OP = 4m2 + 1则 yp = ；m2 - 1 1 2 2 1 2(4m - 1) =( 4m +1 2 1 2PH = y p -yH = 4m - 1-(-2) = m + 1OP = PH要使 PDO的周长最