概率统计串讲

1、前言关于考试关于复习题型公式过程串讲记忆第一章第一章 随机事件及其概率 事件的关系和运算事件的关系和运算 古典概型古典概型 概率的性质概率的性质 重要公式重要公式 独立性独立性事件的关系和运算事件的关系和运算BABAABABAB互斥(互不相容)AB 对立事件(逆事件)AB)()()(BPAPABPA 与 B 相互独立 重要公式重要公式古典概型古典概型nmAP)(个数中所包含的基本事件的n的基本事件的个数组成 Am 性质性质1 加法公式加法公式,()( )( )A BP ABP AP B若事件互斥，则 性质性质2逆事件公式逆事件公式)(1)(APAP)()()()(ABPBPAPBAP性质性质3

2、 广义加法公式广义加法公式 设设、B是两个事件，若是两个事件，若 , 则则有有 )()()(APBPABP)()(APBPBA 性质性质4 减法公式减法公式条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式ABP)()(APABP) 0)()()(APABPAPABP) 0)()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP 设设S为随机试验的样本空间，为随机试验的样本空间，A1,A2,An是是两两互斥的事件，且有两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为划分划分

3、.,1SAnii则对任一事件则对任一事件B，有，有贝叶斯公式贝叶斯公式njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 设设A1,A2,An是分划，则对任一事件是分划，则对任一事件B，有有ni, 2112.2.,.P某人忘记了电话号码的最后一位数字因而随机按号 求他第三次拨通，不超过三次而拨通的概率设iA3,2, 1i表示“按i 次才对”解1231233()()()()10P AAAP AP AP A101)(iAP则抽签理论抽签理论乘法公式乘法公式11()10P A 212121911()()() (|)10 910P AP A AP A P AA398 11()10 9 8

4、10P A古典概率古典概率设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，11(),( )23P ABP C()_P AB C ()()()()()( )1( )1( )P ABCP ABP ABCP ABP AB CP CP CP C3.4.20%,30%,50%0.95,0.9,0.8.P15.2甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总数的，正品率分别为，从这批产品中任取一件，求它是正品的概率B表示产品为正品321 , ,AAA分别表示产品由甲、乙、丙车间生产完备事件组完备事件组86. 0)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP全概率公式全概率公式该

5、产品由丙车间生产的可能性最大。贝叶斯公式贝叶斯公式86. 0)(BP2209. 0)()()()|(111BPABPAPBAP314. 0)()()()|(222BPABPAPBAP4651. 0)()()()|(333BPABPAPBAP大？个车间生产的可能性较品由哪，发现是正品，问这产从这批产品中任取一件，正品率分别为别占总数的分产同一种产品，其产量甲、乙、丙三个车间生例8 . 0 , 9 . 0 ,95. 0%50%,30%,20. 2P19.5相互独立和则事件设BABAPBAPBPAP, 1)()(, 1)(0 , 1)(01)|(1)|()|()|(BAPBAPBAPBAP因为)|(

6、)|(BAPBAP所以)(1)()()()()()(BPABPAPBPBAPBPABP)()()(APBPABP()( )()( )( ) ( )( )0.5 ( )0.5 ( )0.3P ABP AP ABP AP A P BP AP AP A( )0.6P A ()( )()0.50.5 ( )0.2P BAP BP ABP A( )0.5,()0.3P BP AB()_P BA设随机事件A与B相互独立，且随随机机量量变变散散离离型型定义定义 若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量概率分布或分布律, 2, 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp

7、21或分布律即离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布分布律的性质分布律的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp归一性X 或kxxx21kppp21用性质可以判断用性质可以判断是否为分布律是否为分布律P26例3 3 . 01021016. 0321012aaaX11kkp0kp6 . 0, 9 . 0aa 3 . 012. 036. 006. 016. 032101XP25例2Xpk 0 1 2 1571571518(02)15PX14(02)15PX14(1.5)15P X 离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适

8、当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散型是离散型 r.v ，X的分布律为的分布律为Xkkpppxxx2121则则 Y=g(X)kkpppxgxgxg2121)()()(2.12P423011361331012aaaX11kkp151 a301115151615131012X301115151615131012X30115130751830112XY二项分布二项分布n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(则称 X 服从参数为n, p 的二项分

9、布，记作),(pnBX01 分布是 n = 1 的二项分布P412.6设 X 为同时使用的设备台数，则 X B( 5, 0.2)5个独立同类型的供水设备，在任一时刻t每个设备使用的概率为0.2，问在同一时刻 (1)恰有2个设备被使用的概率是多少？(2)至多有2个设备被使用的概率是多少？ 322525225)8 . 0()2 . 0()2(CqpCXP32254155)8 . 0()2 . 0()8 . 0(2 . 0)8 . 0()2(CCXPP412.8 令X 表示发生次数,则 X B(3, p)2719)1 (1)0(1) 1(3pXPXP31 p泊松分布泊松分布若, 2, 1 , 0,!

10、)(kkekXPk其中0是常数，则称 X 服从参数为的泊松(Poisson)分布.或)(X)(P记作若X B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 则np, 2 , 1 , 0,!)1 (kkeppCkknkkn定理定理二项分布的极限分布是 Poisson 分布n 20, n p 0 为常数例 顾客在某银行窗口等待服务的时间T(分钟)服从参数为1/10的指数分布，若等待时间超过15分钟，则他就离开.设他一个月内要来银行10次，以X表示一个月内他没有等到服务而离开的次数，求X的分布律及至少有两次没有等到服务的概率. . 0, 0; 0,101)(10ttetft.2231. 0101)15(

11、1510dteTPpt ),10(pBX).1()0(1)2(XPXPXP10, 1 , 0,)1 ()(1010kppCkXPkkk3.4 均匀分布均匀分布若 X 的 d.f. 为其他, 0,1)(bxaabxf则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布均匀分布),(baUX记作, ),(),(badcxabdXcPd1)(dcabcd例 上的均匀分布，服从区间设随机变量) 1, 1(X试求方程0132tXt有实根的概率解：的密度函数为随机变量X 其它01121xxf方程有实根设： A )32()32()049(2XPXPXPAP则2132131122dxdx31已知 X 的密度或分布函

12、数，求 Y = g( X ) 的密度或分布函数方法：（1） 从分布函数出发（2）用公式直接求密度 连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布)()()(yXgPyYPyFY方法一方法一 从分布函数出发)()(yFyfYY其它, 0,)()()(11ydyydgygfyfXY定理定理 设设连续型连续型r.v X具有概率密度具有概率密度 fX(x),又设又设y=g(x)单调可导，其反函数为单调可导，其反函数为则则Y=g(X)是一个是一个连续型连续型r.v，其概率密度为，其概率密度为),(1ygx方法二方法二 用公式用公式P69.14 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从

13、均匀分布，(2)求求Y=- -2lnX的概率密度的概率密度.反函数反函数2/)(yeygx其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX其它,)(/00212yeyfyY第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望数学期望1)(kkkpxXEdxxxfXE)()(1)()(iiipxgYEdxxfxgYE)()()()()()(22XEXEXD方差方差3. 数学期望的性质数学期望的性质 (1) 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; (2) 若若C是常数，则是常数，则E(CX)=CE(X); (3) E(X+Y) = E(X

14、)+E(Y);niiniiXEXE11)(:推广2. 方差的性质方差的性质 (1) 设设C是常数是常数,则则D(C)=0; (2) 若若C是常数是常数,则则D(CX)=C2 D(X); (3) 若若a,b是常数是常数,则则D(aX+b)=a2 D(X);4 .13P86.1 设随机变量 X 的分布律为3 . 05233 . 05034 . 05)2(3)53(2222XE2 0.40 0.32 0.30.2EX 22222()( 2)0.420.32.8,()() ()2.76.E XD XE XE X ( 105).DX 求P86.1 设随机变量 X 的分布律为( 105)10 ()27.6

15、.DXD X21,14.( )10,(),().xXf xxE XD X随机变量的密度为其他求121222212211212( )01()()()1( )2111()( )22xEXxf x dxdxxDXE XEXE Xxx f x dxdxxP Xf x dxP862(5,10 )35.XNYXEY已知随机变量，求的数学期望5,(35)3520XEXEYEXEX由于服从正态分布，则所以P75.8 市场上对某种产品每年需求量为 X 台，X U (2000,4000), 每出售一台可赚3万元 , 若售不出去，则每台需保管费1万元，问应该组织多少货源, 才能使平均利润最大？最大期望值为多少？ 解

16、解其它, 0,40002000,20001)(xxfX设组织n 台货源, 利润为 Y 显然，2000 n 4000P78.13P78.13xnnxxnnxg,4,3)(XnXnXXnnXgY),(3,3)(dxxfxgYEX)()()(3)4(2000140002000nnndxdxnx)10814002(2000162nn)140004(20001)(ndnYdE0令故 n=3500 时, E(Y )最大n=35008250)(maxYE期望是多少？求一周内利润万元次以上故障就要亏损元；发生三次或三生二次故障所获利润万元；发获利润元；发生一次故障仍可万获利润个工作日里无故障，可一周停止工作，

17、若，机器发生故障时全天为发生故障的概率假设一部机器在一天内.2051052 . 0.1355514522355(5,0.2)0.20.8(0,1,2,3,4,5)00.80.328,10.2 0.80.41020.20.80.205,310120.057kkkXXBP XkCkP XP XCP XCP XP XP XP X 以表示一周 天内机器发生故障的天数，则 服从105020.3280.410.2050.057Y则利润( )10 0.3285 0.4100 0.2052 0.05750216E Y 第第 五五 章章 多维多维 随机变量及其分布随机变量及其分布 二维离散型二维离散型 r.v.

18、及其概率分布及其概率分布为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布也简称 概率分布 或 分布律, 2 , 1,),(jipyYxXPijji1x1 xi 11pjp11 ipijppip1pip jp1p jyjy1XY 联合分布律联合分布律及边缘分布律及边缘分布律二维连续型随机变量二维连续型随机变量定义定义 设二维设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为的分布函数为 F(x ,y), xydvduvufyxF),(),(则称则称 f (x,y) 为为( X ,Y ) 的联合概率密度函数的联合概率密度函数简称概率密度函数简记简称概率密度函数简记 p.d.f.),(2yxfyxF0),

19、() 1 (yxf1),()2( dydxyxfGdxdyyxfGYXP),(),(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(例 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为；常数求k求),()2(1DYXP16),( kdxdyyxf解：由密度函数的性质，得所以，6k其他, 0, 1, 10,),(2yxxkxyyxfyoy=x21x例 设 r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为),()2(1DYXP其他, 0, 1, 10,),(2yxxkxyyxfyoy=xy=x21x1D41xyd6ddd),(21x10 xDyxyxyxf的边缘密度函数，试求随机变量其他，设随

20、机变量例YXyxxxyyxfYX, 0, 1, 10,6),(2yoy=x21xdyyxfxfX),()(时，或当10 xx 0 xfX的边缘密度函数为随机变量 X时，当10 x dyyxfxfX，1106022dyxydydyxx413xx 其它010134xxxxfXyoy=x21x的边缘密度函数为同理，随机变量Y 其它, 010,32yyyfYdxyxfyfY),()(yoy=x21x若r.v.( X ,Y ) 的联合 d.f. 为其他, 0),(,/ 1),(GyxAyxf则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布 G1 G, 设G1的面积为A1,AAGYXP11),(P99.4.4)

21、(202的概率轴的夹角小于原点和该点的连线与正比，求的概率与区域的面积成点落在半圆内任何区域内掷一点，为正常数随机地向半圆xaxaxy1D4AAGYXP11),(211连续型)()(),(yfxfyxfYXX与Y 独立对任何 x ,y 有X与Y 独立)()(),(jijiyYPxXPyYxXP对一切 i , j 有离散型随机变量的独立性随机变量的独立性二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布)()(zZPzFZ),(zYXgPzDdxdyyxf),(),(| ),(:zyxgyxDz(2)再求Z的密度函数:问题 已知r.v.( X ,Y )的密度函数， 求Z=g (X , Y)的密度函数.

22、方法 (1) 先求Z 的分布函数：)()(zFzfZZ),(),(yxfYXbYaXZdxbaxzxfbzfZ,1)(dyyabyzfa,1)(zfZ求或2. 线性和的分布：线性和的分布：Z = aX + bY 特别地，若X ,Y 相互独立，则卷积公式卷积公式P116. 0, 0; 0,)( ., 0; 10 , 1)(yyeyfxxfyYX其他P116.401,0;( , )( )( )0,.yXYexyf x yfx fy，其他X 和Y 相互独立 解法一解法一（卷积公式法） dxxzfxfzfYXZ22ZX Y 20,01(1),0221(1),22zZzzfzezeezxz2zx012解

23、法二解法二 分布函数法(P118)当z 0 时，0)(zFZZ的分布函数为.),()2()()(2zyxZdxdyyxfzYXPzZPzFzyx202z1yx当0 z 2 时，zyx202z1yx2222000( )(1)1(1).2zzxzyx zZzFze dy dxedxze.) 1(211)1 ()(2101022zzxxzOyZeedxedxdyezF当2 z 时，20,0;1( )(1),02;211(1),2.2zZzzFzzezeez20,0;1( )(1),02;21(1),2.2zZzzfzezeez1,),()(jiijjipyxgZEZ = g(X ,Y )的数学期望的

24、数学期望 dxdyyxfyxgZE),(),()(二维随机变量的数字特征二维随机变量的数字特征相关系数)()(),cov(YDXDYXXY若, 0XY 称 X ,Y 不相关.协方差 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) ),cov(),cov()2(YXabbYaX),cov(),cov(),cov() 3 (ZYZXZYX)(),cov()4(XDXX协方差和相关系数的性质协方差和相关系数的性质cov(, )cov( ,)X YY X(1),cov(2)()()()5(YXYDXDYXD1|)6(XY1)7(XYP(Y=aX+b)=1，例例 设二维 r.v. (X ,Y ) 的

25、d.f. 为其它, 0,0 , 10,8),(xyxxyyxf求E(X), E(Y), V(X), V(Y).解解 dxdyyxxfXE),()(1008xxydyxdx54P131 dxdyyxyfYE),()()()()(22XEXEXV dxdyyxfxXE),()(2210028xxydyxdx32)()()(22XEXEXV752)()()(22YEYEYV其它, 0,0 , 10,8),(xyxxyyxf求cov(X,Y), V(5X- 3Y).解解 dxdyyxxyfXYE),()(P131 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) )()(),cov(YVXVYXXY)

26、3 ,5cov(2)3()5()35(YXYVXVYXD),cov(30)(9)(25YXYVXV例例 设 X ,Y 相互独立, 且都服从 N ( 0, 2), U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数， 且都不为零，求UV 解解222)(),cov(baVU)()(),cov(),cov(),cov(2222YDbXDaYYbXXabYaXbYaX利用协方差的性质利用协方差的性质而22222)()()()(baYDbXDaUD22222)()()()(baYDbXDaVD故2222babaUV综合组装综合组装基本模块组装为综合题基本模块组装为综合题常考模式之一连续

27、型数字特征概率随机变量函数的分布概率密度边缘分布常考模式之二离散型分布律数字特征概率边缘分布141413112112设随机变量( X，Y )的概率分布为X Y0120010020求：(1) P X = 2Y ； (2) X, Y的边缘分布律，并判断X与Y的独立性； (3) Cov( X -Y，Y ).12 2,10,04P XYP XYP XY1213161313130,10 1P XYP XP Ycov(, )cov(, )( )22 ()() ( )( )033XY YX YD YE XYE X E YD Y (1)(2) X的边缘分布律:X012PY的边缘分布律:Y012P 所以X与Y不

28、相互独立. （3）第六章第六章 极限定理极限定理 设随机变量序列,21nXXX独立同一分布, 且有期望和方差：, 2 , 1,0)(,)(2kXDXEkk则对于任意实数 x ,xtnkkndtexnnXP21221lim)(x定定理理一一林德伯格-列维中心极限定理 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理 注注)(limxxYPnn即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数nnXYnkkn1记)1,0( NYn近似nkkX1),(2nnN近似服从它表明它表明: :当当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和

29、近似服从正态分布之和近似服从正态分布. .325)(, 5)()10, 0(iiiWVWEUW由中心极限定理由中心极限定理 )31250,250(501NWWii近似3121. 0)31250250260(1)260(1WPP148.5)260(WP)260(WP 设 Y n B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,则对任一实数 x，有xtnndtexpnpnpYP2221)1 (limY n N (np , np(1-p) (近似)定定理理二二棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 二项分布以正态分布为极限分布二项分布以正态分布为极限分布 )(x即 n 足够大时，例 某单位有200台电话

30、分机，每台分机使用外线的概率为0.05, 假定每台分机是相互独立的，问要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证分机用外线时不等待？解：设有X部分机同时使用外线，则有),05. 0 ,200( BX设有N条外线。由题意有()0.95P XN由拉普拉斯定理()P XN5 . 9,10NX近似)5 . 910(N16N第第 7 章章数理统计的基本概念数理统计的基本概念1.总体和样本总体和样本总体总体: 研究对象的全体构成的集合研究对象的全体构成的集合. 实际问题中往往关心的是某个实际问题中往往关心的是某个(些些)指标，指标，并把它并把它(们们)看成是随机变量看成是随机变量 X.样本样本: 在总体

31、在总体 X 中抽取的中抽取的 n 个个体个个体 X1，Xn . 称称 n 为样本的为样本的容量容量.可以构成一个可以构成一个 n 维随机向量维随机向量(X1，Xn) . 2.统计量统计量(1)样本均值样本均值niiXnX11它反映了它反映了总体均值总体均值EX 的信息的信息(2)样本方差样本方差2211()1niiSXXn它反映了总体它反映了总体方差方差DX的信息的信息22111niiXn Xn样本标准差样本标准差 2211()1niiSSXXnnikikXnA11它反映了总体它反映了总体 k 阶原点矩阶原点矩 EX k 的信息的信息样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩niki

32、kXXnB1)(1 k =1,2,它反映了总体它反映了总体k 阶中心矩阶中心矩 E(X-EX) k 的信息的信息(3)样本矩样本矩 k =1,2,7.2 抽样分布抽样分布定义定义 统计量的分布称为统计量的分布称为抽样分布抽样分布.P U，则称，则称 为该分布的上为该分布的上 分位点分位点。设统计量设统计量U 服从某个分布，若对服从某个分布，若对(01)有有定义定义 设设 XN(0,1)，其上分位点如下图所示，其上分位点如下图所示一、标准正态分布一、标准正态分布()1P XzzP Xz 显然由对称性得下显然由对称性得下 分位点为分位点为z上上 分位点分位点:定义定义: 设设 相互独立相互独立,

33、且都服从正态分布且都服从正态分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量：nXXX,21二、卡方（二、卡方（ ）分布）分布222222121nniiXXXX22( )n记为所服从的分布为所服从的分布为自由度是自由度是 n 的卡方分布的卡方分布，2分布的上分位点如下图)(2n 20.013557 342()=.20.99(35)18.509例如例如所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布. 定义定义: 设设2(0,1),( )XNYn三、三、t 分布分布 ( ).Tt n记为XTY n且且X 与与Y 相互独立，则称随机变量相互独立，则称随机变量)(nt t 分布的分位

34、点如图分布的分位点如图四、四、F 分布分布2212(),(),XYXnYn设与 相互独立，且定义定义和和 n2 的的 F 分布分布，n1 称为称为第一自由度第一自由度，n2称为称为第二自由度第二自由度，记作，记作12/X nFY n则称随机变量12(,)FF n n服从服从自由度为自由度为 n1 ),(21nnF F分布的分位数分布的分位数12(,)F n n上的分位点为12112211(,)( ,)(,)F n nFn nF n n分位点为:的下正态总体的正态总体的抽抽样分布样分布() () 一个正态总体一个正态总体).,() 1 (2nNX的样本，是总体设),(,21NXXn) 1(/)4

35、(ntnSX方差，则有：分别是样本均值与样本2,SX) 1 , 0( NnX ) 1() 1() 3(222nSn)() 2(221nXnii_) 13() 3(_,) 1 (,) 1 , 0(,. 24231224232121niiiinXXnXXXXNXXX的简单样本是总体).1, 0(2),2 , 0(),1 , 0(2121NXXNXXNXi)2(22423XX )2(242321tXXXX_) 13() 3(,) 1 , 0(,. 24231221niiiinXXnNXXX的简单样本是总体)3(2312iiX)3(242nXnii)3, 3() 13(42312nFXXnniiii例

36、例22161234562(0,1)6,()().XNXXXYXXXXXXCCYnn若总体，从 中取一个容量为 的样本，设试决定常数 ，使(分布,并求123(0,3)XXXN解解123(0,1)3XXXN456(0,1)3XXXN同理可知2221231231(2)333XXXXXXY12.3Cn故，参数估计参数估计点点 估估 计计区间估区间估 计计统计统计推断推断基本基本问题问题第第八章章 点估计概念点估计概念求估计量的方法求估计量的方法 矩法矩法 极大似然法极大似然法估计的评价标准估计的评价标准第一节第一节 参数的点估计参数的点估计解解例例 设总体设总体X有数学期望和方差：有数学期望和方差：2

37、,EX DXX1,Xn是是X的一组样本的一组样本,求求 的矩估计的矩估计.2, 即即1222111niiniiXnXn 122111niiniiXEXnXEXn 令令解得解得11niiXXn 222221111()nniiniiXXXXSnn一、一、 矩估计法矩估计法矩估计法就是用样本矩作为相应总体矩的估计量矩估计法就是用样本矩作为相应总体矩的估计量.,.1,010,) 1()(21的矩估计的一个简单样本，求总体是是未知参数其中其他的概率密度为设总体例XXXXxxxfXn,21) 1()()(10dxxxdxxxfXEXX112得X21令总体矩总体矩样本矩样本矩求极大似然估计的一般步骤求极大似

38、然估计的一般步骤(1) 构造似然函数构造似然函数)(L),;()(xpxXPX属离散型，其分布律若总体,1的样本是来自设XXXn的一个样本值；是又设nnXXxx,11niinxpxxLL11);();,()(似然函数二、极大似然法二、极大似然法),;(xfX属连续型，其概率密度若总体niinxfxxLL11);();,()(似然函数的一个样本值是nnXXxx,11(2) 求似然函数求似然函数 的最大值点的最大值点)(L. 0)( ddL可由下式求得：一般， . 0)(ln )(ln)(LddLL也可从下述方程解得：的极大似然估计此处取到极值，因在同一与又因似然方程.,.1,010,) 1()(

39、21的矩估计的一个简单样本，求总体是是未知参数其中其他的概率密度为设总体例XXXXxxxfXn求求 的极大似然估计的极大似然估计. 解：似然函数为解：似然函数为niixL1) 1()()() 1(1niinx) 10(ixniixndLd10ln1)(ln求导并令其为求导并令其为0解得解得1ln1niixn对数似然函数为对数似然函数为niixnL1ln) 1ln()(ln 的极大似然估计的极大似然估计 三、估计量的评价标准三、估计量的评价标准无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性(也称为相合性也称为相合性)(1)无偏性无偏性 )(E则称则称 为为 的的无偏估计无偏估计; ),(1nXX 设设是未

40、知参数是未知参数 的估计量，若的估计量，若 (2) 有效性有效性D( ) D( )2 1 则称则称 较较 有效有效 .2 1 都是参数都是参数 的无偏估计量，若有的无偏估计量，若有),(11nXX ),(122nXX 1 设设和和 321232111254131)(31XXXXXX都是 的无偏估计量1最有效例如 X N( , 2 ) ,样本是.,321XXX)()(21EE22217225)(31)(DD置信区间定义置信区间定义置信区间的求法置信区间的求法第二节第二节 区间估计区间估计置信区间定义置信区间定义1P 和和 分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 则称区间则称区间

41、是是 的置信水平的置信水平(置信度置信度)为为 的置信区间的置信区间.1( , ) 满足满足设设 是是 一个未知参数，给定一个未知参数，给定, 0 X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量若由样本若由样本12(,)n XXX 12(,),(n XXX (一一) 一个正态总体一个正态总体 X N ( 2)的情形的情形置信区间常用公式置信区间常用公式(1) 方差方差 2已知已知, 的置信区间的置信区间,22znXznX(2) 方差方差 2未知未知 , 的置信区间的置信区间 )1(),1(22ntnSXntnSX(3) 当当 已知时已知时, 方差方差 2 的置信区间的置信区间)()(,)()(211221222nXnXniinii(4) 当当 未知时未知时, 方差方差 2 的置信区间的置信区间) 1() 1(,) 1() 1(2122222nSnnSn解解例例 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取 5 只作寿命试验，测得只作寿命试验，测得寿命寿命X(单位单位:小时小时)如下如下: 1050,1100,1120, 1250,1280,设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡求灯泡寿命均值寿命均值 的置信度为的置信度为0.95的置信区间：的置信区间：1160 ,99