高二数学第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛第2试

1、用心爱心专心1校学号考班线订装师老导辅名姓第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二 第 2 试未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式(包括网络)转载。一、选择题(每小题 4 分，共 40 分.)以下每题的四个选项中 母写在下面的表格内.1.如图 1，一个“半圆锥”的主视图是边长为2 的正三角形,图是直角三角形，俯视图是半圆及其圆心，这个几何体的体积为(J3(A).3(C)2.3二.2.两个正数a、(A),3.3.设x、y满足(A) 0,1.4.对于任意谐”集有()(A) 2 个.5.已知函数,仅有一个是正确的，请将正确答案前的英文字左视左视图28.设函数

2、f x - ax bx c a,b,cw R,f x为偶函数时，那么g meg n ()(A)大于零.(B)等于零.9.已知函数f(x)=“；3sin(2 x_) 2s in2(x6(A) 0.(B) 1.10. Solutio n set of the in equality(A)-5,4.(B)-g,4.f 0 =1.设 a . 0,m . 0, n：0 且 m n . 0,g(x)J.f (x),x二0,当-f (x), x . 0.(C)小于零.(D) 不能确定.)(x-12(C) 2.，上),则 f (x)的零点个数为(4 4(D) 3.1(2log3x 5；1 -log325-xw

3、ith respect to2(C)4,+g.(D)-5,+g.xis ()(B) 二.6(D). 3二.b的等差中项是 2，一个等比中项是.3，则双曲线(B)J10(C) 一3则xx -2-的取值范围是()(B)-1,0.1都有A，则称集合xA是“和谐”集.在集合(B) 3 个.(C) 4 个.f x的定义域为0,二.设点 P 是函数x线 y =x 和 y 轴的垂线，垂足分别为 M , N，贝y PMPN的值为(A) 1.(C) 3.(D)(D)2爲二1的离心率是()b2-.10或兰3-2,2.1M=0,2,1,2,3的所有非空子集中，“和(D) 5 个.f x的图像上的任意一点，过点P 分

4、别作直(B) 2.x6.设函数 f x =-(xR)，若x 1 表示不大于x的最大整数,域是()(D) 4.则函数y二f xf -x的值-L扁12 J2 1-43呵(A)(B)J| (C)-1, L(D)cJ333331337.函数f(x)-2有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是()x(A)-1,+g).(B)(-1,+g).高二 第一页1,1共四页(D) 1,+ g).二、 填空题(每小题 4 分，共 40 分.)11.若关于x的方程 4x(a 3) 2x0 至少有一个实根在区间1, 2 内，则实数a的取值范围 为12.实数 x, y 满足2x24xy - 2yJ x2y2乞20，则 2

5、. 2 x y xy 的取值范围是13.若对任意 x R，不等式x_ax恒成立，则实数a的取值范围是14.过点 P(0,5)作圆x2y 4的切线，则两个切点A B所在的直线AB的方程是15.有一几何体是由圆柱被一个平面截得的，已知截面是一个椭圆，其长轴是5,短轴是 4，被截后的圆柱最短母线长为 1,则该几何体的表面积是.16.已知数列.3，.7，- 11，. 15，贝U311是它的第_ 项.17.等边ABC勺边长为 2 2，AD是BC边上的高，将ABD沿AD折起，使之与厶ACD所在平面成 120的二 面角，这时A点到BC的距离是18.抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6 的均匀的正方体玩

6、具，“向上的两个数之和为3”的概率是 ._19.经过两条直线 2x-3y-3 = 0 和 x，y，2 = 0 的交点，且与直线 x，2y-5=0 垂直的直线方程 为20.定义在 R 上的函数y = f(x)，它同时满足具有下述性质：对任何xR均有 f X3= f3X :对任何x1, x R ,x- x2均有 f x1= f x2则 f 0 f 1 f -1 二_ -三、解答题 每题都要写出推算过程.高二第二页共四页21.(本题满分 10 分)用心爱心专心2用心爱心专心3已知数列an和bn满足a1=2耳_1*.魚1-1), g 二a.-1，数列g的前n和为S.( 设Tn二S2n -Sn，求证：T

7、n1 Tn；n1(2)求证：对任意的n:二N”有1一岂S2n乞一-n成立.22F、F2为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F作/RPF2的外角平分线的垂线F1M垂足为M当点P在x轴上时，定义M与P重合.(1 )求M点的轨迹T的方程；(2)已知 0(0,0)、E(2,1)，试探究是否存在这样的点Q: Q是轨迹T内部的整点(平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点)，且OEQ勺面积 S.0EQ二2?若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由.2x22.(本题满分 15 分)设函数f(x)=(x ax b)e (x R).(1)若x=1是函数f (x)的一个极值点，试求出a关于b的关系式(用a表示b)，并确定f (x)的单调区 间；(2)在()的条件下，设a 0，函数g(x) = (