第3章 特征值和特征向量 练习题

1、第3章 特征值和特征向量 练习题1、设非奇异矩阵 A 的一个特征值为 l = 2，试求出 的一个特征值。（ 3 / 4 ）2、设矩阵 的一个特征值 l1 = 0，求 x 值和 A 的全部特征值。（2；0、3、4）3、设矩阵 的一个特征值为-3，且A的三个特征值之积为 -12，确定 x和 y的值。（ 1 ； 2 或 -2 ）4、已知向量 a = ( 1 , k , 1 )T 是矩阵 的逆矩阵 A-1 的特征向量，试求常数 k 之值。（ k = 1 或 -2 ）5、设三阶方阵 A 的一个特征值为 1 / 9，与其对应的特征向量 a = ( 1 , 1 , 1 )T ，求方阵 A 的 9 个元素之和

2、。（ 1 / 3 ）6、设 n 阶方阵 A 有 n 个特征值 0，1，2，n - 1，且方阵 B 与 A 相似，求 | B+E | 。（ n! ）7、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩 r ( A ) = 2，且满足 A2 = 2 A，求行列式 | 4 E - A | 的值。（16）8、设向量 a = ( 1 , 0 , - 1 ) T ，矩阵 A = a aT ，若 n 为正整数，计算行列式 det ( a E - An ) 的值 。 （ a2 ( a - 2n ) ）9、设 有三个线性无关的特征向量（可以相似对角化），求 x、y 应满足的条件。（x + y = 0 ）10、设 n 阶方阵 A

3、的 n 个特征值 l1 ，l2 ，ln 互不相同，1 £ i £ n ，求矩阵li E - A 的秩。（ n - 1 ）11、已知 ，（1）求 A 的全部特征值与特征向量；（2）判定 A 能否对角化，若能，求可逆矩阵 P ，使 P-1 A P 为对角阵。（ l1 =1，k1 ( 1 , -1 , -1 )T ，k1 为任意非零常数；l2 = 2（二重），k2 ( 1 , -1 , 0 )T + k3 ( 1 , 0 , 1 )T ，k2 ，k3 为不全为零的任意常数。 ， ）12、设 ，求 A 的全部特征值与特征向量，并判定 A 是否与对角阵相似（说明理由）。（ l1 =1

4、，k1 ( 1 , 0 , -1 )T ，k1 为任意非零常数；l2 = 2（二重），k2 ( 1 , 0 , 0 )T ，k2 为任意非零常数。不与对角阵相似。 ）13、已知是矩阵的一个特征向量。（1）试确定参数a，b及特征向量对应的特征值；（2）问A是否相似于对角矩阵？说明理由。（ a = -3，b = 0，l = -1 ；不与对角阵相似。）14、设矩阵 ，求正交矩阵 T，使 T -1AT 为对角矩阵。（ ， ）15、设矩阵A=，求A的特征值和特征向量，并求正交矩阵Q，使QAQ为对角阵，给出相应的对角阵。（ l1 = -3，k1 ( 3 , -2 , -1 , -2 )T ，k1 为任意非

5、零实数；l2 = 0（二重），k2 ( 0 , 1 , -2 , 0 )T + k3 ( 0 , 1 , 0 , -1 )T ，k2 ，k3 为不全为零的任意实数；l3 = 3，k4 ( 3 , 2 , 1 , 2 )T ，k4 为任意非零实数。， ）16、设 ，（a、b Î R）。若 A B，试求（1）a、b 的值；（2）正交矩阵 Q，使 QAQ = B 。（ a = b = 0； ）17、设矩阵 与 相似，求（1）x、y 的值；（2）可逆矩阵 P，使 PA P = B 。（ x = 4，y = 1； ）18、设三阶矩阵 A 满足 A ai = i ai ，（i = 1，2，3），

6、其中 a1 = ( 1 , 1 , 1 )T ，a2 = ( 1 , -2 , 1 )T ，a3 = ( 1 , 0 , 0 )T 。求（1）方阵 A ；（2）AT 的特征值及相应的特征向量。（ ；l1 =1，k1 ( 0 , 1 / 3 , 2 / 3 )T ，k1 为任意非零常数；l2 = 2，k2 ( 0 , -1 / 3 , 1 / 3 )T ，k2 为任意非零常数。l3 =3，k3 ( 1 , 0 , -1 )T ，k3 为任意非零常数 ）19、设3阶矩阵A 的属于特征值 l1 = 1 的特征向量是 a1 = ( -1 , 1 , 1 )T ，属于特征值 l2 = l3 = 2 的特

7、征向量是 a2 = ( -1 , 1 , 0 )T ，a3 = ( 1 , 0 , 1 )T ，a4 = ( 1 , 2 , 3 )T ，求矩阵A 和 A3 。（ ， ）20、设矩阵 ，（1）求正交矩阵 Q 及对角矩阵 L ，使Q-1 A Q = L ；（2）求矩阵A n 。（； ）21、已知 6、3、3 是三阶实对称矩阵 A 的三个特征值，向量 a = ( 1 , 1 , 1 )T 是 A 的属于特征值 6 的特征向量。（1）求 A 的属于特征值 3 的特征向量；（2）求一个正交矩阵 P，使PA P 为对角阵，并给出此对角阵；（3）求矩阵 A 。（ b1 = ( 1 , -1 , 0 )T

8、，b2 = ( 1 , 0 , -1 )T ；，； ）22、设三阶实对称矩阵 A 的特征值 l1 = 0，l2 = 1（二重），若 a1 = ( 1, 0, 0 )T ，a2 = ( 0, -1, 1 )T ，a3 = ( 2, -3, 3 )T 都是 A 的属于特征值 l2 =1 的特征向量，求：（1）矩阵 A 的属于特征值 l1 = 0 的特征向量；（2） 矩阵 A3 。（ （1）c ( 0 , 1 , 1 )T ，c 为任意非零实数； ）23、设矩阵A=，（1）已知 A 的一个特征值为 3，求 A 的全部特征值；（2）求 A2 的特征值；（3）求正交矩阵 Q，使 ( AQ )T ( AQ

9、 ) = QT AT AQ 为对角阵，并写出该对角形矩阵。（ l1 = -1，l2 = 1（二重），l3 = 3；m1 = 1（三重），m2 = 9；，或8， 对角形矩阵为： ）24、设 A 为 n 阶实矩阵，A aj = j aj ，且 aj ¹ 0，j = 1，2，s（s ³ 2），设 bj = aj + aj+1 ，j = 1，2，s - 1，bs = as + a1 。试讨论向量组 b1 ，b2 ，bs 的线性相关性与线性无关性。（ s 为奇数时，线性无关；s 为偶数时，线性相关 ）25、证明题（1）设 a、b 分别为 n 阶矩阵 A 的属于不同特征值 l1 、l2

10、 的特征向量，对任意非零实数 k1 、k2 ，求证：k1 a + k2 b 不是 A 的特征向量。（2）设 A 为正交矩阵，且存在实特征值，试证：A 的特征值只能是 1 或 -1 。（3）若 A 可逆，则 A B B A 。（4）试证：如果 bc > 0，则实矩阵 与一个实对角矩阵相似。（5）设 A 、B 为实对称矩阵，若存在正交矩阵 Q，使 Q-1 A Q 和 Q-1 B Q 均是对角阵，则矩阵 A B 也是实对称矩阵。（6）设 l 是 n 阶矩阵 A 的特征值，X 是 A 的属于 l 的特征向量，又设 m 是 AT 的特征值，Y 是 AT 的属于 m 的特征向量，若 l ¹ m，证明：X 与 Y 正交。（7）设 n 阶实对称矩阵 A 与 B 相似，证明：存在正交矩阵 P，使得 P -1AP = B 。（8）设矩阵 A 可相似对角