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文档简介

1、第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理 在椭圆(0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则. 证明:设M、N两点的坐标分别为、,则有,得又同理可证,在椭圆(0)中,若直线与椭圆相交于M、N两点,点是弦MN的中点,弦MN所在的直线的斜率为,则.典题妙解例1 设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足,点N的坐标为.当绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)的最大值和最小值.解:(1)设动点P的坐标为.由平行四边形法则可知:点P是弦AB的中点 .焦点在y上, 假设直线的斜率存在.由得:整理,得:当直线的斜率不存在时,弦

2、AB的中点P为坐标原点,也满足方程。所求的轨迹方程为(2)配方,得:当时,;当时,例2 在直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.(1)求的取值范围;(2)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求的取值范围;如果不存在,请说明理由.解:(1)直线的方程为由得:直线与椭圆有两个不同的交点,0.解之得:或.的取值范围是.(2)在椭圆中,焦点在轴上,设弦PQ的中点为,则由平行四边形法则可知:与共线,与共线.,从而由得:,由(1)可知时,直线与椭圆没有两个公共点,不存在符合题意的常数.例3已知椭圆(0)的左、右焦点分别为、,离心率

3、,右准线方程为.() 求椭圆的标准方程;() 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点,且,求直线的方程.解:()根据题意,得.所求的椭圆方程为.()椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.由平行四边形法则知:.由得:.若直线的斜率不存在,则轴,这时点P与重合,与题设相矛盾,故直线的斜率存在.由得: 代入,得整理,得:.解之得:,或.由可知,不合题意.,从而.所求的直线方程为,或.例4 已知椭圆(0)的离心率为,过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时,坐标原点O到的距离为.(1)求的值;(2)C上是否存在点P,使得当绕F转到某一位置时,有成立?若存在,求出所有点P的坐标与

4、的方程;若不存在,说明理由.解:(1)椭圆的右焦点为,直线的斜率为1时,则其方程为,即. 原点O到的距离:,.又,. 从而., .(2)椭圆的方程为. 设弦AB的中点为. 由可知,点Q是线段OP的中点,点P的坐标为.若直线的斜率不存在,则轴,这时点Q与重合,点P不在椭圆上,故直线的斜率存在.由得:.由和解得:.当时,点P的坐标为,直线的方程为;当时,点P的坐标为,直线的方程为.金指点睛1. 已知椭圆,则以为中点的弦的长度为( ) A. B. C. D. 2.(06江西)椭圆(0)的右焦点为,过点F的一动直线m绕点F转动,并且交椭圆于A、B两点,P为线段AB的中点.(1)求点P的轨迹H的方程;(

5、2)略.3(05上海)(1)求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆C的方程为(0).设斜率为的直线,交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M. 证明:当直线平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上;(3)略.4. (05湖北)设A、B是椭圆上的两点,点是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.(1)确定的取值范围,并求直线AB的方程;(2)略.5. 椭圆C的中心在原点,并以双曲线的焦点为焦点,以抛物线的准线为其中一条准线.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C相交于A、B两点,使A、B两点关于直线对称,求的值.参考答案1. 解:由得,.弦MN的中点,由得,直线

6、MN的方程为.即. 由得:.设,则.故答案选C.2. 解:(1)设点P的坐标为,由得:,整理,得:.点P的轨迹H的方程为.3解:(1)右焦点坐标是,左焦点坐标是. .由椭圆的第一定义知,. . 所求椭圆的标准方程为. (2)设点M的坐标为,由得:,整理得:.a、b、k为定值,当直线平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上.4. 解:(1)点在椭圆内,即12.的取值范围是.由得,焦点在y轴上.若直线AB的斜率不存在,则直线AB轴,根据椭圆的对称性,线段AB的中点N在x轴上,不合题意,故直线AB的斜率存在.由得:,.所求直线AB的方程为,即.从而线段AB的垂直平分线CD的方程为,即.5. 解:(1)在双曲线中,焦点为.在抛物线中,准线为.在椭圆中,. 从而所求椭圆C的方程为.

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