直线与圆的动态问题——教师

1、专题25 直线与圆的动态问题【考情分析】直线与圆一直是江苏近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有不少的体现，考察内容如下：年份试题知识点备注201317直线与圆、圆与圆的关系轨迹方程的思想转化为圆与圆有交点问题20149，17直线与圆相交弦长，直线与圆的方程的综合应用代数法解决直线与圆中最值问题201510直线与圆的位置关系函数的思想解决最值问题由上表不难看出，近几年的直线与圆是必考内容，而近三年的直线与圆考察内容相对较易，故在2016届高考中，很可能将会有一定的表现。而直线与圆的知识点难度可以达到中档题，考察重难点之一即为直线与圆有关的动态问题。【备考策略】在2016年的备考中，直线

2、与圆需要重点关注以下几个方面的问题：1、 在求与弦长、弦中点有关的问题时，注意运用韦达定理，其中引进参数，设点而不求点，简化运算，减少计算量是常见的方法。2、在解直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合的数学思想，尽可能运用圆的几何性质使解法更简明快捷。3、利用方程有解、轨迹思想求最值与范围问题，转化与化归的思想，学生比较薄弱，加强这方面的训练。【激活思维】1（必修2 P115练习2）若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 解析：圆心到直线的距离，整理得，即，则点在圆外.2（必修2 P129复习题22改编）设集合，当时，则实数的取值范围是 解析：即圆与圆有公共点或在内部，则有.3（必修2

3、P129复习题26改编）若恰有一个实数根，则实数m的取值范围是 解析：方程恰有一个实数根即为直线和曲线有且只有一个公共点，由图象位置关系可知4.（2015年江苏高考卷第10题）在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 .解析：【典型示例】 设集合, , 若 则实数m的取值范围是_解法探究：1、把问题转化为直线与圆有交点求范围【分析一】本题从从题面上看是圆环与平面区域有交点，但通过对问题分析可以转化为直线与圆有交点的问题，通过对参数的分类讨论求范围【解法一】由A可知m2，解得m0或m.由题意知，若AB，则有(1)当2m1<2，即m<时，圆心(2,

4、0)到直线xy2m1的距离为d1|m|，化简得2m24m10，解得1m1，所以1m<.(2)当2m22m1，即m1时，AB恒成立(3)当2m>2，即m>1时，圆心(2,0)到直线xy2m的距离为d2|m|，化简得m24m20，解得2m2，所以1<m2.综上可知：满足题意的m的取值范围为.【点评】本题先从由A可知m2，解得m0或m.进行分类讨论，考察了学生转化与化归的思想，通过数形结合讨论参数，进而完成m的取值范围。2、把问题转化为圆面与圆环利用几何法求范围【分析二】从问题的结构出发，可以理解为圆面与圆环两种情况，通过和分类讨论，并将解析几何图形间的关系转化为代数中的不等

5、关系求范围【解法二】当时，集合A表示以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，由此舍；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有 【点评】把问题转化为圆面与圆环两种曲线进行分析，联想到解析几何的图形，进而将解析几何图形间的关系转化为代数中的不等关系，在几何法的基础上完成m的取值范围。【分类解析】目标1：利用方程有解、轨迹思想求最值与范围问题（2013年江苏卷第17题（2）例1：如图，在平面直角坐标系中，点，直线。设圆的半径为，圆心在上。若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围。解：圆的圆心在在直线上，所以，设圆心C为（a,2a-4）则

6、圆的方程为：xyAlO又设M为（x,y）则整理得：设为圆D点M应该既在圆C上又在圆D上 即：圆C和圆D有交点由得由得终上所述，的取值范围为：变式1：在平面直角坐标系中，圆C：，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是_解析：圆C的方程可化为：，圆C的圆心为，半径为1.由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点；存在，使得成立，即.即为点到直线的距离，解得.答案：目标2：利用几何性质解决解析几何中相关问题例2：在平面直角坐标系中定义为 之间的折线距离，则圆上一点P与直线上一点Q的折线距离最小值为 .解析： 如图，=APAQ= AP

7、AB=PB=，求PD最小值即可过C作CE垂直l于E点，所以PD最小值为CE2.答案：.变式2：已知以点为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点。（）求证：AOB的面积为定值；（）设直线2x+y4=0与圆C交于点M、N，若，求圆C的方程；（）在（）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求的最小值及此时点P的坐标。答案：（）为定值。（）圆C的方程为  （）的最小值为，直线的方程为，则直线与直线x+y+2=0的交点P的坐标为【解析】解：()由题设知，圆C的方程为，化简得，当y=0时，x=0或2t，则；当x=0时，y=0或，则，为定值。 

8、 （II），则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMN，C、H、O三点共线，则直线OC的斜率，t=2或t=2圆心C(2，1)或C(2，1)圆C的方程为或，由于当圆方程为时，直线2x+y4=0到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去。圆C的方程为                （）点B(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为 ，则，又到圆上点Q的最短距离为。所以的最小值为，直线的方程为，则直线与直

9、线x+y+2=0的交点P的坐标为             目标三：定点、定值与恒成立问题例3：如图，在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：才(1)若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；(2)设动圆同时平分圆的周长、圆的周长证明：动圆圆心C在一条定直线上运动；动圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由解 （1）设直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长为，而圆的半径为1，所以圆心到：的距离为 化简，得，解得或所以直线的方程为或 （2）证明：设圆心，

10、由题意，得，即 化简得，即动圆圆心C在定直线上运动圆过定点，设，则动圆C的半径为于是动圆C的方程为整理，得由得或所以定点的坐标为，Mxyo·变式3：已知和点.(1)过点向引切线，求直线的方程；(2)求以点为圆心，且被直线截得的弦长为4的的方程；(3)设为(2)中上任一点，过点向引切线，切点为Q. 试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 解：(1)设切线方程为 ，易得，解得 切线方程为 (2)圆心到直线的距离为，设圆的半径为，则 的方程为 (3)假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，根据题意可得， 即 （*），又点在

11、圆上，即，代入（*）式得： 若系数对应相等，则等式恒成立，解得，可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；点的坐标为时，比值为 【精要归纳】对于直线与圆中的动态问题：一、常见的命题角度有：（1） 利用方程有解、轨迹思想求最值与范围问题（2）利用几何性质解决解析几何中相关问题（3）定点、定值与恒成立问题2、 常见的求法：（1)代数法若由题设可直接建立目标函数的，则利用函数值域的求法解得其范围若不便建立目标函数的，则可以利用已知或隐含的不等关系建立不等式，进行量与量之间的转化，从而求出参数的取值范围（2）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征意义，则考虑运用圆的几何性质来解决

12、问题。【课后训练】1、在平面直角坐标系O中，已知圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，则实数的取值范围是【答案】（13，13）。【分析】求出圆心和半径，圆心到直线的距离小于半径和1的差即可：由得圆半径为2。由圆心（0，0）到直线的距离小于1，得，的取值范围是（13，13）。2、在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x1)2y24，P为圆C上一点若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得APB恒为60°，则圆M的方程为 答案 (x1)2y21解析 设定圆圆心M，半径为，动点，由题意知，即，由于点P在圆C：(x1)2y24上，所以有对任意

13、都成立，所以，所求圆方程为(x1)2y213、已知A(4，0)，B(1，0)，直线上始终存在两个不同点P满足PA=2PB.求实数b的取值范围.解 法一(方程有解法)设点P(x0,kx0b), 由PA=2PB，(x04)2(kx0b)2=4(x01)24(kx0b)2,整理得(1k2)x022kbx0b23=0，所以0对于kR恒成立，即，所以，即法二(轨迹思想法)设P(x，y)，由PA=2PB，得 ，整理得，则P在圆O：，而P又在l上，所以l与圆O恒有两个交点，圆心O到直线l的距离 对于恒成立，则 而的最小值为2，所以|b|<2，得. 或者直线l过定点B(0，b)，则B点恒在圆O即可，所以.4、在平面直角坐标系xOy中，已知圆经过A（0，2），O（0，0），D（t,0）（t>0）三点，M是线段AD上的动点，是过点B（1,0）且互相垂直的两条直线，其中交y轴于点E，交圆于P、Q两点（I）若，求直线的方程；（II）若t是使AM2BM恒成立的最小正整数，求三角形EPQ的面积的最小值（I）由题意可知，圆C的直径为AD，所以，圆C方程为：设方程为：，则，解得 ，当时，直线与y轴无交点，不合，舍去所以，此时直线的方程为 （II）设，由点M在线段AD上，得，即 由AM2M，得 依题意知，线段AD与圆至多有一个公共点，故，解得