高中数列知识汇总

1、数列本章重点：数列的概念，等差数列，等比数列的定义，通项公式和前项和公式及运用，等差数列、等比数列的有关性质。注重提炼一些重要的思想和方法，如：观察法、累加法、累乘法、待定系数法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、函数与方程思想、分类与讨论思想、化归与转化思想等。知识网络数列与正整数集关系 等差数列等比数列特殊数列求和方法公式法倒序相加法错位相减法裂项相消法 递推公式通项公式 数列 （一） 数列一、数列通项与前项和的关系12题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式（1）7，77，777，7777，（2）1，3，3，5，5，7，7，9，

2、9点拨：本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。题型二 应用求数列通项【例2】已知数列的前项和，求其通项公式.题型三 利用递推关系求数列的通项【例3】根据下列各个数列的首项和递推关系，求其通项公式点拨：在递推关系中若求用累加法，若求用累乘法，若，求用待定系数法或迭代法。课外练习1.设，()，则的大小关系是( )A B CD不能确定2已知数列的前项和则 3已知数列的通项（），则数列的前30项中最大项和最小项分别是（二）等差数列知识要点1递推关系与通项公式是数列成等差数列的充要条件。2等差中项：；成等差数列是的充要条件。3前项和公式 ； 是数列成等差数

3、列的充要条件。4等差数列的基本性质反之，不成立。仍成等差数列。5判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：是等差数列中项法：是等差数列通项公式法：是等差数列前项和公式法：是等差数列练习（一）1等差数列中，A14B15C16D172等差数列中，则前 项的和最大。3已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为 提示：成等差数列，公差为D其首项为4设等差数列的前项和为，已知 求出公差的范围，指出中哪一个值最大，并说明理由。【课后作业】时间：35分钟1 已知数列是等差数列，其前10项的和，则其公差等于( )2 已知等差数列中，等于（ ）3 设为等差数列的前项和，= 4 已知

4、等差数列的前项和为，若5 等差数列的前项和记为，已知 求通项；若=242，求6 甲、乙两物体分别从相距70的两处同时相向运动，甲第一分钟走2，以后每分钟比前一分钟多走1，乙每分钟走5，甲、乙开始运动后几分钟相遇？如果甲乙到对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前一分钟多走1，乙继续每分钟走5，那么，开始运动几分钟后第二次相遇？7已知数列中，前和求证：数列是等差数列； 求数列的通项公式；设数列的前项和为，是否存在实数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值，若不存在，试说明理由。（三）等比数列知识要点：定义1 递推关系与通项公式2 等比中项：若三个数成等比数列，则称为的等比中项，且为是成等比数列

5、的必要而不充分条件。3 前项和公式4 等比数列的基本性质， 反之不真！ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。 仍成等比数列。5 等比数列与等比数列的转化 是等差数列是等比数列； 是正项等比数列是等差数列； 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。6 等比数列的判定法定义法：为等比数列；中项法：为等比数列； 通项公式法：为等比数列；前项和法：为等比数列。练习（一）1 2 已知数列是等比数列，且 性质运用例1 在等比数列中，求； 若 在等比数列中，若，则有等式：成立，类比上述性质，相应的在等比数列中，若则有等式 成立。点拨：历年高考对性质考查较多，主要是利用“等积性”，题目“小而

6、巧”且背景不断更新，要熟练掌握。例析一、 错位相减法求和例1：求和：点拨：若数列是等差数列，是等比数列，则求数列的前项和时，可采用错位相减法； 当等比数列公比为字母时，应对字母是否为1进行讨论； 当将与相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。二、 裂项相消法求和例2：数列满足=8， （），求数列的通项公式；点拨：若数列的通项能转化为的形式，常采用裂项相消法求和。三、 奇偶分析法求和例3：设二次函数 在等差数列中，=1，前项和满足 求数列的通项公式 记，求数列的前项和。【课后作业】时间：25分钟1数列的前项和为，若等于（ ）2的定义域为，且是以2为周期的周期函数，数列是首项为，公差为1的等

7、差数列，那么的值为（ ）A1 B1 C0 D103设等比数列的公比与前项和分别为和，且1，4数列满足，求数列的前项和 例析一、 函数与数列的综合问题 设是常数，求证：成等差数列； 若，的前项和是，当时，求点拨：本例是数列与函数综合的基本题型之一，特征是以函数为载体构建数列的递推关系，通过由函数的解析式获知数列的通项公式，从而问题得到求解。1已知正项数列的前项和为，的等比中项， 求证：数列是等差数列；若，数列的前项和为，求在的条件下，是否存在常数，使得数列为等比数列？若存在，试求出；若不存在，说明理由。3 已知在正项数列中，=2，且在双曲线上，数列中，点（，）在直线上，其中是数列的前项和，求数列

8、的通项公式；求证：数列是等比数列。若。练习（高考链接）1.已知等比数列满足，且，则当时， A. B. C. D. 2.设等比数列 的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = A. 2 B. C. D.33.已知数列满足：（m为正整数）， 若，则m所有可能的取值为_。 4.设等差数列的前n项和为,若,则 . 5.设等差数列的前n项和为,若,则 .6.在数列中，（I）设，求数列的通项公式（II）求数列的前项和7.已知数集具有性质；对任意的，与两数中至少有一个属于.（）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（）证明：，且；（）证明：当时，成等比数列.8.对于正整数2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。（1）求和；（2）求证：对任意正整数2，有.9.各项均为正数的数列，且对满足的正整数都有（1）当时，求通项 （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有10. 已知数列的前n项和（n为正整数）。（）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；(）令