“双星”问题及天体的追及相遇问题

1、“双星”问题及天体的追及相遇问题一、双星问题1 .模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。2 .模型条件：(1)两颗星彼此相距较近。(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。3 .模型特点：(1)“向心力等大反向”一一两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。(2)周期、角速度相同”一一两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。(3)三个反比关系：miri=m2r2;mivi=m2V2;miai=m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得

2、，mico2n=m2co2即mic=m2等式mic=m2r2两边同乘以角速度3,得mirico=m2r23,即mivi=m2V2；由miw2ri=m2w2r2直接可得，miai=m2a2。(4)巧妙求质量和：呼Fi/ri呼521由十得：GmiL2m2=o2L.、52G4.解答双星问题应注意“两等”“两不等”“两等”：它们的角速度相等。双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。由mi32门=m232r2知由于m

3、i与m2一般不相等，故ri与r2一般也不相等。二、多星模型(i)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同.(2)三星模型：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示).三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).(3)四星模型：其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙).另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O,外围三颗星绕。做匀速圆周运动(如图丁所示).三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相

4、距最近到再次相距最近遵从的规律:2天的整数倍。2、某星体的两颗卫星从相距最近到相距最远遵从的规律:内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为%的奇数倍。3、对于天体追及问题的处理思路:(1)根据GMMmnmrco2,可判断出谁的角速度大;(2)根据两星追上或相距最近时满足两星运行的角度差等于2元的整数倍，相距最远时，两星运行的角度差等于无的奇数倍。在与地球上物体追及时，要根据地球上物体与同步卫星角速度相同的特点进行判断。题型一双星规律的应用X射线调制望远镜卫星慧【例题】2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙

5、运载火箭成功发射硬填补我国国X射线探测卫星的空白， 实现我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的超越。慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和射线暴等致密天体和爆发现象。在利用 慧眼”观测美丽的银河系时,若发现某双黑洞间的距离为L,只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动,其运动周期为T,引力常量为G,则双黑洞总质量为（）4 2L3A. 7-GT2B.4 2L33GT2C.GL34 2T2D.4 2T3GL2【解析】 对双黑洞中的任一黑洞:mimhGFmi2m21 得 G对另一黑洞：Gmm2L2m22r2得Gmi L2又r1L联立可得:Gm2 Gm1ri2T门"m2m1则

6、GJ 1L2ri2即GML2双黑洞总质量MH3。故A项正确。GT2眼”。慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平,点睛：双星模型与卫星模型是万有引力部分的典型模型，要能熟练应用。【类题训练1】引力波现在终于被人们用实验证实，爱因斯坦的预言成为科学真理.早在70年代有科学家发现高速转动的双星，可能由于辐射引力波而使质量缓慢变小，观测到周期在缓慢减小，则该双星间的距离将（A.变大B.变小C.不变D.可能变大也可能变小【解析】：双星靠相互间的万有引力提供向心力，有:mm2G2-rmimhG2mim2计算得出mim22 34 r一厂，计算得出TGT2.234 rG m1 m2r【类题训练2】

7、因为双星的总质量减小，周期减小，可以知道双星间距离在减小.所以B选项是正确的.若某双星系统A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动。已知A星和B星的质量分别为mi和m2,相距为d,下列说法正确的是（）A. A星的轨道半径为-1d mi m2B. A星和B星的线速度之比为mi: m2C.若A星所受B星的引力可等效为位于3，一 一一 . m2。点处质量为m的星体对它的引力，则 m' 2一2色 m2D.若在。点放一个质点，它受到的合力一定为零【答案】C【解析】试题分析：双星系统是一个稳定的结构，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，角速度相等,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式

8、求解.双星系统中两个星体做圆周运动的周期相同，即角速度相同，过程中，两者之间的引力充当向心力，故Gmm2mi12rlm22r2,又知道rir2d ,解得r1一m2一 d,r1一m一 d , A错误；两者的角速度相dmi m2mi m2同，故有五空，即上五强，B错误；A星受到的引力为 F ri r2v2 r2 miGmm”,放在O点的星体对其的引力为 d2l , mim'mim2 -F G 2，两者等效，则有 G2- Grid1Tlim'2ri，代入rim2d可得m'3m2一2 , C正确；若在圆mim2m1 m2心处放一个质点，合力 F GTiTT G rim2mo2-

9、 2Gm0 m1m2题型二 追及问题原理的理解【例题】太阳系中某行星运行的轨道半径为Ro,轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔d2mi-2m2m2-2 mi0, D错误.周期为To .但科学家在长期观测中发现，其实际运行的轨道与圆to时间发生一次最大的偏离.天文学家认为形成这种现象的原因可能是该行星外侧还存在着一颗未知行星，则这颗未知行星运动轨道半径为A. R Ro3(to)2'to To)B.RRototoTC. RRo(to -To )2toD. RRoI t2 to To【解析】：由题意可知轨道之所以会偏离那是因为受到某颗星体万有引力的作用相距最近时万有引力最大偏离程度最大。设未知

10、行星的周期为T则:ToTR3R3根据开普勒第三定律号R2To2T2得 R Ro /(to )2 选 A toTo【类题训练1】将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径ri_ _ii2.3 I0 m,地球的轨道半径为_ iii.5 I0 m,根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为A. 1年B. 2年C. 3年D. 4年【解析】已知地球绕太阳的公转周期为Ti1年设火星的公转周期为丁2根据开普勒第三定律3 ri Ti23r2-7得T2t2年又根据 一Ti-i化简得tTiT2T2Ti【类题训练2】如图所示,A、B为

11、地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同,A为地球同步卫星,A、B卫星的轨道半径的比值为k,地球自转周期为 To.某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（B.Tok3 1C.D.Tok3 1【答案】C33【解析】由开普勒第三定律得：匕与，设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈,T；Tb2tt1TnBnA,又TaTo,解得：t一二一，故选项C正确。tbta22、k31点睛：本题主要考查了开普勒第三定律的直接应用，注意只有围绕同一个中心天体运动才可以使用开普勒第三定律。【类题训练3】如图所示，A为太阳系中的天王星，它绕太阳。运行的轨道视为圆时，运

12、动的轨道半径为R）,周期为T。，长期观测发现，天王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离，且每隔to时间发生一次最大偏离，即轨道半径出现一次最大.根据万有引力定律，天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知的行星（假设其运动轨道与 A在同一平面内，且与A的绕行方向相同）,它对天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离,由此可推测未知行星的运动轨道半径是（）【解析】设未知的行星的周期为T,依题意有：反S1,则宜工T0,根据开普勒第三定律：2-R2,ToTtoTTR联立解得：RR3t°一，D正确，ABC错误.故选：Do,toTo【类题训练4】如图建筑是厄瓜多尔境内的赤道纪念碑”。设某人造地球卫星在赤道上空飞行，卫星的轨道平面与地球赤道重合，飞行高度低于地球同步卫星。已知卫星轨道半径为r,飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为30地球半径为R地球表面重力加速度为g,某时刻卫星通过这一赤道纪念