导数在研究函数中的应用

1、导数在研究函数中的应导数在研究函数中的应用用 淄博十中 李金凤yx0abc( )0f x ( )0f x 4、函数的极值定义、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. (极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点 f (x)0 yxOx1aby= =f(

2、x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2注意注意1:f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点,只能说是只能说是可疑点可疑点2:只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点. 3:求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0) =0的点，的点，再再列表判断单调性列表判断单调性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =02.求极值的步骤求极值的步骤确定定义域确定定义域求求f(x)=0的根的根并列成表格并列成表格用方程用方程f(x)=0的

3、根，顺次将函数的定义域分成若干的根，顺次将函数的定义域分成若干个开个开 区间，并列成表格由区间，并列成表格由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左的根左右的符号，来判断右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况注注：极值点不一定是最值点，极值点不一定是最值点，最值点若在区间内部必是极最值点若在区间内部必是极值点值点. .二，课前热身二，课前热身1.下列求导数运算正确的是x121x2ln1xA.（x+)=1+ B.(log2x)=C.(3x)=3xlog3e D.(x2cosx)=2xsinx32x2231xx 32222xxx32222xxx2.函数y=ln(32xx

4、2)的导数为. B. C. D. A xxay3sin31sin=3=x4函数在处有极值，则a=_344=xxy2,35 函数在区间上的最小值为_ 233.( )2fxxx- 的单调减区间为_ =Bc4(,0)( ,)3和20导导数数的的运运算算求单调区间求单调区间求极值最值求极值最值三，问题驱动，自主学习2(1)( )369xxfx= 解:32( )39(1)( )( )2 23( )2 27( )2 2f xxaf xf xf xf xxx= 已知函数求函数的单调减区间（2）求函数在，的极值（ ）若函数在，的最小值是，求在，的最大值( )013xxxf 令 解得或1f x 函数 （）的减区

5、间为（，（3，和）求导求导( )0 xf 得减区间注意表示方法注意表示方法( )xf( )0 xf=令f x（ ）得x=-1或x=3（舍）X,的变化情况如下表X,-2（-2，-1） -1（-1，2）202+a-5+a22+a( )xff x（ ）f x（ ）的最小值为-5+a所以-5+a=-7 a =-2 f x（ ）由上表知当x=-1时f x（ ）有极小值-5+a，无极大值的最大值为22+a=20（2.）（3.）由上表知求求 的根的根( )0 xf=列表列表求极值求极值求最值求最值题型一，函数单调性与导数典例精析，深化提高1ln(1) 12xx例1.求函数f(x)=的单调区间解解:函数的定义

6、域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf = = = = 由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( xxxf由由0)( xf解得解得-1x0 (B)10 (B)1a1 (C)1 (D) 01 (D) 0a1 6或a0( ) 0(xxaxaf=令则有或舍）1a001a 四，拓展提高 l试讨论方程试讨论方程x3-3ax+2=0（）解的个数。（）解的个数。l提示：提示：l1. 的零点就是x3-3ax+2=0（）的根。）的根。 2.找出函数的单调区间和极值画出找出函数的单调区间和极值画出的简图。（数形结合）3( )32f xaxx=分析：令f(x) x3-3ax+

7、2，讨论方程的解的个数，也就是看函数f(x)的图象与x轴的交点的个数，由此可得，函数在，处取得极大值 在，处取得极小值- 草图如图a3aa3aaaxy解：设f(x) x3-3ax+2， 列表讨论如下：可得由导函数axaax=,332f(x) x xf aa，显然极大值必为正，a,aa,a极小值极大值00故只要看极小值的正负即可。 通过讨论函数f(x)的单调性及极大值与极小值，结合图形可得方程解的个数.,10, 022) 1 (23时即当极小值aa,1, 022)2(23时即当极小值=aa,1, 022)3(23时即当极小值aaaaxyaaxyaaxy方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根（其中有一个为二重根）；方程x3-3ax+2=0有三个不同的实根。课堂小结课堂小结l方法小结：l1.导数法求单调区间的步骤l2.导数法求极值的步骤l3