【高考数学秘籍】等差数列的概念及基本运算

1、设自上至下各节的容积依次为a1, a2,，an.a1+ a2+ a3+ a4= 3,依题意有叫、a7+ a8+ ag= 4,3故由得 a2+ a3= 2，由得 a8=故 a2+ a3+ a8= 2+ 443.9+8 =场升)6+66(升)4. (2015 北京卷)设an是等差数列.下列结论中正确的是(C)A .若 a1+ a20，贝 U a2+ a30B .若 a1+ a30，贝 y a1+ a20C.若 0a1 . a1a3D .若 a10因为an是等差数列，所以 2a2= a1+ a3,当 a2a10 时，得公差 d0，所以 a30, 所以 a1+ a32 , a1a3, 所以 2a22

2、. a1a3.5.(2018 华大新高考联盟教学质量测评)设等差数列an的前 n 项和 Si 满足 S2016 S1= 1,贝VS2017=20172015第 36 讲等差数列的概念及基本运算丼圾1.(2016 福州市毕业班质量检查)已知数列an是等差数列，且 a7 2a4= 6,出=2,则 公差d= (B)A . 2 2 B . 4C. 8 D. 16因为 a7 2a4= a7 (ai+ a7)= ai= 6，所以 ai= 6.a3一 ai2 f 6 又 a3= 2，所以公差 d= 4.3 122.已知正项数列 an中，a1= 1, a2= 2,2a= a*+1+ a：*n2)，则 a6等于

3、(D)A. 16 B. 8C. 2 2 D. 433 由 2ai；= a：+1+ a21可知数列a是等差数列，且首项为 ai= 1,公差 d= a； af= 41 = 3.所以a：的通项 an= 1 + 3(n 1) = 3n 2,所以 an= ”3n 2.所以 a6=寸 3X6 2 = 4.3. (2017 湖南长沙高三模拟一)九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差 数列，上面四节容积之和为3 升，下面少？”该问题中的第 2 节、第 3 节和第A.”升 B.7 升6 2。罟升333 节的容积之和为 4

4、 升，求中间两节的容积各为多8 节竹子的容积之和为(A)C.12015，a1+a2017_2017从而 S2017= 2017(2) = 2017a1009=亦石6.(2015 新课标卷n)设 Sn是数列a*的前 n 项和，且 a1= 1 a*+1= SnSn+1,则 Sh=1n显由已知得 an+1=Sn+1Sn= 5+1Sn,1 1两边同除以 Sri+1Sn,得 W = 1 , Sn+1Sn11所以 1 = 1 (n 1) = n,所以 Sn= -.Sin7. (2013 新课标卷n)已知等差数列an的公差不为零, 数列.(1) 求an的通项公式；(2) 求 a1+ a4+ a7+ a3n2

5、.S3 (1)设an的公差为 d,由题意得 a?1= a1a13,2即(a1+ 10d) = a1(a1+ 12d)，于是 d(2a1+ 25d) = 0,又 a1= 25,所以 d = 0（舍去）或 d= 2.a2+ a2oi6因为S2016 Si= a2+ a3+ + a2oi6= 2015()=2O15a1oo9= 1,所以a1009=1 为首项，一 1 为公差的等差数列,a1= 25,且 a1, an, 成等比故数列故 an= 2n+ 27.(2)令 Sn= a1+ a4+ a7+ + a3n2, 由(1)知 a3n2= 6n+ 31,故a3n2是首项为 25,公差为6 的等差数列.n

6、n从而 Sn= 2(a1+ a3n2) = 2( 6n + 56)2=3n + 28n.客级8. (2016 郑州市二模)设数列an满足：a1=1,a2= 3,且2nan=(n1)an-1+(n+1)an+1, 则 a20的值是(D)12A.45 B.4534C.45 D.45由 2nan= (n 1)an1+ (n+ 1)an+1,得 nan (n 1)an1= (n+ 1)an+1 nan,又因为 1xa1= 1,2xa2 1xa1= 5,所以数列nan为首项为 1,公差为 5 的等差数列，24则 20a20= 1 + 19x5= 96,解得 a2o=.59.数列an是等差数列，且 a1+

7、 a2+ aw= 10, an + a12+ + a2o= 20,贝 V a41+ a42+ + a5o=50因为 Ai= S10,A= S20 Sio, A3= S30 S20,，数列An构成等差数列，其中Al=S10= 10,公差 d= 10,所以 a4i+ a42+ a50= A5= Ai+ (5 1)xd=10+4X10=50.10.已知数列an中，a1= 5 且 an= 2环-1+ 2n 1(n2 且 n N). an 11(1)求证数列一厂 为等差数列；求数列an的通项公式.區3(1)(方法一：构造法)因为 a1= 5 且 an= 2an1+2 1,所以当 n2 时，an 1 = 2(an1 1) + 2 ,an 1 an1 1所以= 7T + 1,所以 v22- 2（方法二：代入法）因为 a1= 5, n 2 时,an 1 |a1 1所以 r 是以 =2 为首项，以 1 为公差的等差数列. I. 2 .2an1(2)由(1)知一 = 2 + (n 1)