1导数的几何意义

1、导数的几何意义教学目标1、知识与技能: 通过实验探求和理解导数的几何意义； 体会导数在刻画函数性质中的作用；体会“以直代曲”的数学思想方法。2、过程与方法： 培养学生分析、抽象、概括等思维能力； 通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。3、情感态度与价值观：渗透逼近和“以直代曲”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力学生学数学，用数学的意识。教学重难点及关键教学重点：理解和掌握切

2、线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数“形结合、以直代曲”的思想方法。教学难点：1)发现和理解导数的几何意义； 2)运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。关键：师生一同探究和理解导数的几何意义主要教学方法及学法教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性研究教学、互动式讨论、反馈式评论和启发式小结；2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持，同时也为了培养学生的动手操作能力，所以采用计算机辅助教学，以突出重点和突破难点；学法：自主、合作、探究教具通过多媒体（几何画板、幻灯片）直观的呈

3、现出函数的图像，使学生对其有丰富的感性认识，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。教 学 过 程 预 设教学环节教 师 活 动（教学内容的呈现）学 生 活 动（学习活动的设计）设计意图一、创设情境、导入新课1.回顾旧知、引出研究的问题：前面我们学习了函数在处的导数就是函数在该点处的瞬时变化率。那么：问：(1) 求导数的步骤有哪几步? (2)观察函数的图象，平均变化率 在图形中表示什么？这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时变化率()在图中又表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。 生：第一步：求平均变化率；第二步：求瞬时变化率.（即，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）生

4、：平均变化率表示的是割线的斜率.提出问题，老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，承上启下，复习旧知，引入新课。教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题导数的几何意义是什么？二、类比探讨、获得新知1.动画类比，得到切线的新定义要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究，割线的变化趋势，看下面的动画。多媒体显示【动画1】：圆上点A处的切线AT和割线AB，演示点B从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即，割线AB的变化趋势。（教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？）把割线逼近切线

5、的结论从圆推广到一般曲线，可得：多媒体显示【动画2】：动态演示（或投影）教材上点（P7）沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势图。图3.1-2师：类比【动画1】，当点沿着曲线趋近于点时，即，研究割线的变化趋势。突破研究的难点：，割线点P处的切线，那么：，割线的斜率？与导数又有何关系呢？ 生：先感知后发现，当，随着点B沿着圆逼近点A，割线AB无限趋近于点A处的切线。学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：当点沿着曲线逼近点时，即，割线趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。生：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数。以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意

6、义入手探索导数的几何意义，抓住的联系，在图形上从割线入手来研究问题。带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当，割线的变化趋势。用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感。肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫2.数形结合，探究导数的几何意义结合【动画2】的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义。探究一1.已知曲线上两点：(1)根据切线定义可知：，割线趋近于切线PT 。那么割线的斜率与切线PT的斜率又有何关系？ (2)对比“时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化

7、率”，又割线的斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？2.结合上面的研究过程，你能指出导数的几何意义吗？ PQoxyy=f(x)割线切线T 函数在处的导数就是曲线在该点处的切线斜率，即： 当 即生：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数。生：函数在处的导数就是曲线在该点处的切线斜率，即：类比两个动画，探索一般曲线中的切线定义，让不同程度的学生都能借助直观的图象感知和发现，得出：，割线逼近该点处的切线通过两个思考问题：（1）先解决割线斜率与切线斜率的关系，（2）再对照平均变化率与瞬时变化率的关系，得出切线的斜率即对应该点处的瞬时变化率即导数。探究一要求学生结合图形直观感知，找到联系

8、得出导数的几何意义。三、探索小结、重点讲评1.获得导数的几何意义活动后，展示学生探究成果，教师重点讲评：割线的斜率是,当点沿着曲线无限接近点P时，无限趋近于切线PT的斜率，即 ，切线PT的斜率即为函数在处的导数。导数的几何意义：切线的斜率。所以，函数在处的导数的几何意义就是函数的图像在处的切线AD的斜率。师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？2.了解以直代曲思想把点P附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？

9、如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？生：求切线方程。生：点P附近，曲线和该点处的切线的增减变化情况一致。如果切线的斜率为正，则该点附近曲线呈上升趋势。借助实物投影仪，展示学习成果，学生经历了完整的探究过程后，教师的讲评就可以有针对性和详略，学生也可以结合自己探究的体会更好地建构知识。突破导数的几何意义这个学习重点通过将曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想。渗透用导数的几何意义研究函数的增减性四、知识应用、巩固理解1.导数几何意义的应用例1：如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图象。探究二1用图形来体现导数，的几何意义，并用数学

10、语言表述出来。2变式（如图）：请描述、比较曲线在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？分析：附近：瞬时、增减、变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。生：作出曲线在这些点处的切线，在处切线平行于轴，即，说明在时刻附近变化率为0，函数几乎没有增减；在作出切线，切线呈下降趋势，即，函数在点附近单调递减。曲线在附近比在附近下降得更快，则是因为。要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法。问题1由具体的导数入手，熟悉导数的几何

11、意义，帮助学生感知导数与函数单调性之间的联系。 问题2引导学生感知导数反映变化率的本质。运用导数的几何意义，借由切线的变化趋势，得出切线的斜率即该点处的导数的情况，进而判断函数的单调性。小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。例题变式1：函数上有一点，求该点处的导数，并由此解释函数的增减情况函数在定义

12、域上任意点处的瞬时变化率都是3，函数在定义域内单调递增。(此时任意点处的切线就是直线本身，斜率就是变化率)例题变式2：下图是函数的图象，请回答下面的问题：探究三1.请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明。生：单调区间有：作出区间内一系列的曲线的切线，发现切线呈现一致的上升或下降的趋势，即切线的斜率一致为正或负，所以导数值在单调区间内恒正或恒负，对应函数单调递增或递减。引导优生进一步体会导数用来刻画变化情况的应用和拓展研究导数与函数增减的关系。变式题复习了导数的求法，加深学生对导数研究函数增减情况应用的认识，也是例题结论的进一步验证。结合导数的几何意义说明单调性，学生进一步感知导数在研究函

13、数变化情况中的应用2.根据上题的结论，研究某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？例1 如图表示人体血管中的药物浓度（单位：）随时间（单位：）变化的函数图像，根据图像，估计（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率小结：导数反映了函数的变化率，从图形上来看，表现为切线的斜率，如果导数为正，则切线的斜率为正，切线呈上升趋势，曲线在该点附近也是上升趋势，函数单调增；如果导数为负，则切线的斜率为负，切线呈现为下降趋势，曲线在该点附近也是下降趋势，函数单调减。例3、求抛物线 过点（1，1）的切线方程。解：

14、因为 所以抛物线 过点（1，1）的切线的斜率为2 由直线方程的点斜式，得切线方程为。练习:求双曲线过点（2，）的切线方程。生：从数的角度：导数正负对应函数的增减， 从形的角度反映为切线斜率的正负对应函数的增减。 函数的增减导数的正负切线的斜率的正负学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。学生练习，归纳球切线方程的步骤进一步体会用导数的几何意义解决问题，通过小结，加深对导数本质的理解。五五、练习巩固、提升能力1、课堂导用P9实践探究：第一部分实践探究都是典型基础题，它包含选择题、解答题，题

15、目编排由浅入深，增加了铺垫的设问，为基础较薄弱的学生引导思路。这部分题目的完成与否，标志着这节课新知识是否基本掌握。2、课堂导用P9达标测评：第二部分达标测评是基础题与综合题相结合，学生在掌握新知识应用及规范表达的基础上初步接触变式训练和综合训练。这组题的完成标志着学生已达到良好的学习水平。学生根据自己的情况选作一部分或全部习题独立完成练习学生自选和老师指导相结合，学生根据自己的学习情况可以选择适合自己发展的题进行训练，以得到更好地发展。提倡跳跃式选题训练和抓住关键部分进行局部训练，使学生可以避免重复、无效的练习。通过练习及时发现学生的问题，及时纠正，能够对学生情况给予及时评价。六六、归纳总结、深化认识这节课我们学习了哪些知识和方法？学生进行开放式小结：（回顾学习的两个知识和数学思想方法）(1) 是确定的数（静态），是的函数（动态）由（特殊一般） （静态动态）(2)函数在处的导数的几何意义就是函数的图象在处的切线的斜率。(3)曲线切线方程的求法与步骤数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、“以直代曲”的思想方法。体验从静态到动态的变化过程，领