分块乘法的初等变换

1、E分块成分块成 ，作，作1次次“初等变换初等变换”可得可得 00mnEE0,0nmEE,0mnEPE0,0nPE0.mnEPE0;0mEP0;0mnEE一、分块乘法的初等变换一、分块乘法的初等变换且有且有 0.mnEA BABPEC DCPA DPB 0,0nmEA BC DEC DA B 0,0nPA BPA PBEC DCD 若若A可逆，令可逆，令 上式变为：上式变为：1PCA 1100mnEABA BC DCAEDCA B 特别地特别地,二、应用举例二、应用举例例例1 A，D可逆，求可逆，求 1T 0,ATC D 解：解：及及 1110000AADD 10000mnEAAC DDCAE

2、由由 111100mnEATC DCAE 有有11110AD CAD 111000mnEACAED 例例2 ，求，求 1 11111 111 111111 1A 1A 把把A分块成分块成1111,AAAAA 11 1,11A 111111 12A 则则解：解：11.2A 又又 111100AAE EEEAAE E 1120,0AA 111200AEAAE E 11111120000AE EEAEAE E 1111100200AEE EE EEA 1110041002AEE EE EEA 111120000AE EEAEAE E 111111441144AAAA 11110411042AE EE

3、AA 1.4A 例例3证明：证明： ( (A、B为为n级方阵级方阵) ) ABA B 作作 00,0nnEAAABEE BEB 证：证：再作再作 2n 级消法矩阵级消法矩阵 这里这里 ,0nijijnEEPE 中除中除 的元素为的元素为 外，其余元素皆为外，其余元素皆为0 ijaijEi j（ ,）,）由初等矩阵与初等变换的关系由初等矩阵与初等变换的关系 , 得得 ,0nnEAE 11111111nnnnaaaa 111100nnnnnnEPPPPE而消法变换不改变行列式的值而消法变换不改变行列式的值, , 1111000nnnnnnEAAAPPPPEE BE B0AE B ,A B ABA

4、B.0ABEB 0( 1)nABBE ( 1)nABE AB 又又 例例4. 设设 ,且且 ，()ijn nAa 11110kkkkaaaa 1kn证明：存在下三角矩阵证明：存在下三角矩阵 ，使，使 为上三角形为上三角形 n nB BA证：对证：对 作归纳法作归纳法n当当 =1时，时， 为上三角形为上三角形n111111 11(),(),()AaBbBAa b1n 假设对假设对 级矩阵命题成立，即对级矩阵命题成立，即对1(1) (1)()ijnnAa 结论成立，于是存在结论成立，于是存在 矩阵矩阵 ，满足，满足: :(1)(1)nn 1B 为上三角形为上三角形11B A 为上三角形为上三角形 对对A作分块作分块 1112,12,1,(,)nnnn nnnnnnnaAAaaaaaa 则则 111111010nnnnAEAaAaA 11111111100 100nnnnAB ABBaAaA n