数值分析考题

1、精品一、单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1. 3.142和 3.141 分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字 .A4和3B3和2C3和 4D4 和 4f x dx1f 1Af ( 2 )1f (2)22. 已知求积公式1636，则 A（ ）1112A 6B 3C 2D 33.通过点x0 , y0 , x1 , y1 的拉格朗日插值基函数 l0 x ,l1 x 满足（）A l0 x0 0 ， l1 x10Bl0x0 0， l1 x11C l0 x0 1， l1 x11Dl0 x0 1， l1 x114. 设求方程fx0 的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。A 超线性B平方C线性D三次

2、x12x2x302x12x23x33x13x22作第一次消元后得到的第3 个方5. 用列主元消元法解线性方程组程（） .Ax2x32B2x21.5 x33.5感谢下载载精品C2x2 x3 3D x2 0.5x31.5单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B得评卷分人二、填空题（每小题3 分，共 15 分）1.设 X(2,3,4)T,则|X|1， |X |2.2.一阶均差 fx0 , x13.已知 nC031 ,C13C23 333时，科茨系数88 ，那么 C34.因为方程 fxx4 2x0 在区间1,2 上满足，所以 f x0 在区间内有根。yyy2x5. 取步长 h0.1y 11的计算公

3、式.，用欧拉法解初值问题填空题答案1.9和29f x0f x12.x0x1感谢下载载精品13. 84.f 1 f 2 00.1yk 1yk1.110.1k 2 ,k 0,1,2L5. y01得评卷分人三、计算题（每题15 分，共 60 分）1y21. 已知函数1 x的一组数据：求分f 1.5段线性插值函数，并计算的近似值 .计算题 1. 答案%x1x01.解 x0,1L x10.5 1 0.5x，0110感谢下载载精品%x2x10.3x 0.8x 1,2Lx20.50.2，121所以分段线性插值函数为%1 0.5xx0,1Lxx1,20.8 0.3x%1.50.80.31.50.35L10x1

4、x22 x37.2x110x22x38.32. 已知线性方程组x1x25x34.2（ 1）写出雅可比迭代公式、高斯塞德尔迭代公式；对于初始值 X0（ 2）0,0,0 ，应用雅可比迭代公式、 高斯塞德尔迭代公式分别计算 X 1（保留小数点后五位数字） .计算题 2. 答案1. 解 原方程组同解变形为x10.1x20.2 x30.72x20.1x10.2 x30.83x30.2x10.2 x20.84感谢下载载精品雅可比迭代公式为x1m 10.1x2m0.2 x3m0.72x2m 10.1x1m0.2 x3m0.83x3m 10.2 x1m0.2x2m0.84 ( m 0,1.)高斯塞德尔迭代法公

5、式x1m 10.1x2m0.2x3m0.72x2m 1m 1m0.830.1x10.2 x3x3m 10.2 x1m 10.2x2m 10.84 (m 0,1.)X 10.720 00,0.830 00,0.840 00用雅可比迭代公式得用高斯塞德尔迭代公式得1X0.720 00,0.902 00,1.164 403. 用牛顿法求方程x33x10 在 1,2 之间的近似根（ 1）请指出为什么初值应取 2 ？（ 2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题 3. 答案33. 解fxx3x1 ， f130 ， f210感谢下载载精品fx3x23 ， f x 12x ， f 2 24 0 ，

6、故取 x 2 作初始值迭代公式为fx331xn 13xn 112 xn 1xn xn 1n 1(或)xn 1fxn 13xn2133 xn211， n 1,2,.233121.8888931x12211.88889 x21.8888921.87945x0 2331，x2x10.009440.000121.87945311.87939x31.8794521x3 x2 0.00006 0.00013，方程的根 x1.8793911dx4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分0 1x .计算题 4. 答案bb a f a f bf x dx4 解 梯形公式a2111110 1dx20 0.

7、75应用梯形公式得x11 1bbaa bf x dx f a 4 f () f b a辛卜生公式为62111010dx f 0 4 f () f 1 应用辛卜生公式得0 1x62感谢下载载精品1 14111256 10111362得评卷分人四、证明题（本题10 分）确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3 次代数精确度hA0 f 0 A1 f hf x dx A 1 f hh证明题答案证明：求积公式中含有三个待定系数，即 A 1 , A0 , A1 ，将 f x1,x, x2分别代入求积公式，并令其左右相等，得A1 A0A12hh( A 1A1)0h2 ( A 1A1 )2

8、h33A1 A11h4h3A0得，3 。所求公式至少有两次代数精确度。又由于感谢下载载精品hhhx3 dxh3hhhx4 dxh 334h h33h h43f x dxh fh4 f 0h f hh故h333具有三次代数精确度。一、填空（共20 分，每题2 分）1. 设x2.3149541. ，取 5 位有效数字，则所得的近似值x=.ffx2fx1 143x1, x2x2x1212.设一阶差商，f x2, x3f x3f x2615x3x2422则二阶差商fx1, x2, x3_T3.设X(2,3, 1) , 则|X|2，|X|。4求方程 x2x 1.250的近似根，用迭代公式xx 1.25

9、，取初始值x01，那么 x1_ 。y 'f ( x, y)5解初始值问题y( x0 )y0近似解的梯形公式是yk 1_ 。感谢下载载精品11A16、5，则A的谱半径。7、设f ( x)3x25, xk kh, k 0,1,2,. , ，则f xn , xn 1 , xn 2和f xn, xn 1, xn 2, xn 3。8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为。y12310(x 1)2( x 1)310 、为了使计算x 1的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。填

10、空题答案1、 2.31505f x2 , x3f x1, x2311f x1 ,x22, x3x14 162、x33、6 和144、 1.55ykhf xk , ykf xk 1, yk 1、26、(A)6感谢下载载精品7、fxn , xn 1 , xn 2 3, f xn , xn 1 , xn 2 , xn 308、 收敛9、h113y 101210 、x 1(x 1)( x 1)二、计算题 （共 75分，每题 15 分）31 , x1 1, x291 设f ( x) x 2 , x044fx1 , 9x 使满足（1 ）试求在4 4上的三次 Hermite插值多项式H (x j )f (

11、xj), j0,1,2,.H ' ( x1 )f ' (x1)x 以升幂形式给出。（2 ）写出余项R( x)f (x)H (x) 的表达式计算题 1. 答案x14 x3263 x2233 x11、（ 1）225450450251 951 )(x 1)2 ( x9),( x) ( 1 , 9 )R x2 (x（ 2）4!16444 42已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的感谢下载载精品简单迭代函数，使0，1 收敛？计算题 2. 答案2、由 x(x) ，可得x 3x( x) 3xx1 ( ( x) 3x)(x)，2因13) ，故11(x)(x)( x)2（x） -3122故xk

12、1( xk )1( xk ) 3xk, k=0,1,. 收敛。23 试确定常数A， B， C 和 a，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss型的？计算题 3. 答案A C10, B16 , a123、995 ，该数值求积公式具有5 次代数精确度，它是Gauss 型的y ' f ( x, y)4 推导常微分方程的初值问题y( x0 ) y0的数值解公式：yn 1yn 1h ( yn'1 4yn'yn'1 )3感谢下载载精品（提示：利用 Simpson求积公式。）计算题 4. 答案4、 数值积分方法构造该数值解

13、公式：对方程yf ( x)xn 1, xn 1上积分，在区间xn1y( xn 1 )y( xn 1 )得xn 1xn1f ( x, y( x)dx，记步长为h,f ( x, y( x) dx对积分xn 1用 Simpson求积公式得xn 12h f ( xn 1 )h ( yn 1 4 yn ynf (x, y( x)dx4 f ( xn )f ( xn 1 )1)xn 163yn 1 yn 1h ( yn 14 ynyn 1 )所以得数值解公式：3x12x23x3142 x15x22x3185 利用矩阵的 LU 分解法解方程组3x1x25x320计算题 5. 答案1123ALU2114351

14、245、解：令 Lyb 得 y(14, 10, 72)T ,Uxy 得 x(1,2,3) T .三、证明题（5 分）感谢下载载精品1设，证明解的 Newton迭代公式是线性收敛的。证明题答案1、证明：因f ( x)( x3a)2,故f6x2( x3由迭达公式:( x)a),Newtonxn 1xnf (xn ), n0,1,. 得f ( xn )xn 1xn( xn3a)25xna, n0,1,.6xn2 (xn3a)66 xn25a5a3因迭达函数( x)6x6x2,而(x)63 x,又 x3 a ,则( 3 a )5a ( 3 a) 3 5 1 10,63632故此迭达公式是线性收敛的。一

15、、填空题（ 20 分）(1). 设 x*2.40315 是真值 x 2.40194 的近似值，则 x* 有位有效数字。(2). 对 f ( x)x3x1 , 差商 f 0,1,2,3()。(3). 设 X (2, 3,7)T , 则 | X |。nCk( n)(4). 牛顿 柯特斯求积公式的系数和k 0。填空题答案（1）3（2）1（3）7（ 4） 1感谢下载载精品二、计算题1).（15 分）用二次拉格朗日插值多项式L2 ( x)计算 sin 0.34 的值。插值节点和相应的函数值是（0 ，0），（ 0.30 ，0.2955 ），（ 0.40 ，0.3894 ）。计算题 1. 答案L2 ( x)

16、( xx1)( xx2 ) f0( xx0 )( xx2 ) f1( xx0 )( xx1 ) f2( x0x1)( x0 x2 )( x1x0 )( x1 x2 )( x2x0 )( x2 x1 )1）=0.3333362).（15 分）用二分法求方程 f ( x)x3x 1 0在 1.0,1.5 区间内的一个根，误差限10 2。计算题2. 答案N6x1 1.25x21.375x31.31252) x41.34375x51.328125x61.32031253).（15 分）用高斯 - 塞德尔方法解方程组4x12x2x311x14 x22 x3182x1x2 5x3 22 ，取x( 0)(0

17、,0,0)T ，迭代三次 (要求按五位有效数字计算).。感谢下载载精品计算题 3. 答案3）迭代公式x1( k1)1(112x2(k )x3(k ) )4x2(k1)1 (18x1( k 1)2x3(k ) )4x3(k1)1(222x1( k 1)x2(k 1) )54).（15分）求系数 A1 , A2 和 A3 ,使求积公式11)A3 f (1)对于次数2的一切多项式都精确成立f ( x) dx A1 f ( 1) A2 f (133。计算题 4. 答案11112A1 A2A32A13 A23 A30 A19 A29 A33A11A20A33224）3x1 2 x210x31510x14

18、x2x355). (10 分)对方程组2x110x24x38感谢下载载精品试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由计算题 5. 答案5) 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x14x2x352x110x24x383x12x210x315故对应的高斯 塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x1( k 1)1 (4 x2( k )x3( k )5)10x2( k 1)1 ( 2x1( k 1)4x3(k )8)10x3(k 1)1 ( 3x1( k 1)2x2( k 1)15)10取x (0)( 0,0,0)T,经 7 步迭代可得：x*x( 7)(0.999 991 459, 0.999

19、 950 326, 1.000 010)T .三、简答题1)（5 分）在你学过的线性方程组的解法中, 你最喜欢那一种方法 ,为什么 ?2) （5 分）先叙述 Gauss 求积公式 , 再阐述为什么要引入它。简答题答案感谢下载载精品1）凭你的理解去叙述。2）参看书本99 页。一、填空题（ 20 分）1.若 a=2.42315是 2.42247 的近似值，则 a 有()位有效数字 .2.l0 (x), l1 ( x), ln ( x)是以0,1, , n为插值节点的 Lagrange 插值基函数，则nil i (x)i 0().3.设 f (x)可微，则求方程 xf ( x) 的牛顿迭代格式是 (

20、).4.迭代公式 X ( k 1)BX (k)f 收敛的充要条件是。5. 解线性方程组 Ax = b (其中 A 非奇异， b 不为 0 ) 的迭代格式9x1x28x( k 1)Bx ( k)f 中的 B 称为 (). 给定方程组x15x24 ，解此方程组的雅可比迭代格式为 ()。填空题答案1 32.xxn 1xnxnf ( xn )13.f ( xn )4.(B) 1感谢下载载精品x1k 11 (8 x2(k ) )9x2k 11 (4 x1( k) )5.迭代矩阵，5得评卷分人二、判断题（共10 分）1.若 f ( a) f (b)0 ，则 f ( x)0 在 (a, b) 内一定有根。(

21、)2. 区间 a,b上的三次样条函数是一个次数不超过三次的多项式。()3.若方阵 A 的谱半径( A)1，则解方程组 Ax = b 的 Jacobi 迭代法收敛。()4.若 f (x)与 g (x) 都是 n 次多项式，且在n+1 个互异点 xi in0 上f ( xi )g( xi )，则f ( x) g( x)。( )1 x1 x25.用2 近似表示 ex产生舍入误差。( )判断题答案1.× 2.× 3.× 4. 5.×感谢下载载精品得评卷分人三、计算题（ 70 分）1. （10 分）已知 f (0) 1，f (3) 2.4 ，f (4) 5.2，求

22、过这三点的二次插值基函数l1 (x)=()， f 0,3,4=(), 插值多项式P2 (x)=(), 用三点式求得 f ( 4)().计算题 1. 答案由插值公式可求得它们分别为：1 x(x4), 7 ,17 x7 x( x3),和 2031 312151262. （15 分） 已知一元方程x33x1.20 。1 ）求方程的一个含正根的区间；2 ）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式 (判断收敛性 )；3 ）给出在有根区间的 Newton 迭代法公式。计算题 2. 答案2.（ 1） f (0)1.20 , f (2)1.80 又 f ( x) 连续故在 (0,2) 内有一个正根 ,（ 2 ）21

23、x3 3x 1.2, ( x) (3x 1.2) 3 , max ( x)21, xn 13 3xn 1.2收敛x (0 ,2 )1.2 3感谢下载载精品f '(x) 3x23, xn 1xnxn33x1.2（3 ）3xn233. （ 15 分）确定求积公式11f ( x)dx Af ( 0.5) Bf ( x1) Cf (0.5)的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.计算题 3. 答案3. 假设公式对 f ( x) 1,x, x2 , x3精确成立则有ABC20.5 A Bx10.5C00.25ABx120.25C20.125A Bx1330.125C0解此方程组得AC4

24、 , B233求积公式为114 f (0.5), 当 f ( x) x4时,f ( x) dx4 f (0.5)2 f (0)1321右边代数精度为 3。左边右边左边56y3x 2 y0 x 1y( 0)14. （15 分）设初值问题.(1)写出用 Euler 方法、步长 h=0.1 解上述初值问题数值解的公式；感谢下载载精品(2) 写出用改进的 Euler 法（梯形法）、步长 h=0.2 解上述初值问题数值解的公式，并求解y1, y2 ，保留两位小数。计算题 4. 答案4. (1) yn 1yn0.1(3xn2 yn )0.3xn1.2 yn(2) yn 1yn0.22yn )3(xn0.2

25、)2 yn 12(3 xn=yn0.1(6xn2 yn2 yn 10.6)yn 13yn3xn32440迭达得y1333633321.575, y2404 0.22.585402405. （15 分）取节点 x0 0, x1 0.5, x2 1 ，求函数 y e x 在区间 0,1 上的二次插值多项式 P2 ( x) ，并估计误差。计算题 5. 答案e 0.51e 1e 0. 5e 0.51p 2 ( x) e 010.50.50 ( x 0)( x 0.5)0.5( x 0)0105=1+2(e 0.51) x2( e 12e 0.51) x( x0.5)y' 'e x ,

26、M 3max y''1, exp2 ( x)f ( ) x( x 0.5)( x 1)x 0 ,13!0 x 1时exp2 ( x)1 x( x 0.5)( x 1)，3!感谢下载载精品一、填空题 ( 每题 4 分，共 20 分)1、数值计算中主要研究的误差有和。2、设 l j (x)( j0,1,2L n) 是 n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则nl j ( xi )(i , j 0,1,2 L n) ； j 0l j ( x)。3、设 l j ( x)( j0,1,2Ln) 是区间 a, b 上的一组 n 次插值基函数。 则插值型求积公式的代数精度为；插值型求积公式中

27、求积系数Aj；且nAjj 0。4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为。5、 f (x)x21, 则 f 1,2,3_, f 1,2,3,4_ 。感谢下载载精品填空题答案1.相对误差绝对误差1,ij ,2.0,ij1blk ( x)dx3.至少是 nab-aba ( ba )4 f (4) ( ),(a,b)4.318025.10二、计算题1、已知函数yf (x) 的相关数据P3 ( x) ，并计算3 P(1)由牛顿插值公式求三次插值多项式2 的近似值。计算题 1. 答案解：差商表感谢下载载精品由牛顿插值公式：p3 ( x) N3 ( x)4 x32x28 x 1,333 p3 ( 1)4(1)32(1)