2018清华附中高三12月月考数学试卷理试卷及答案

1、清华附中高三2018年12月月考试卷数学（理） （清华附中高16级） 2018.12一 选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1. 抛物线的焦点到准线的距离为(B) (A) (B) 1 (C) 2 (D)32. 在定义域内单调递增，且为奇函数的为（A） (A) (B) (C)(D)3. 开始结束 甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（B） (A) 6 (B) 12(C) 18(D) 244. 右侧程序框图所示的算法来自于九章算术.若输入的值为，的值为，则执行该程序框图输出的结果为（C）(A)6(B) 7(C) 8(D) 95.数列是无穷项等比数列，则“单调递增”是“”的（C）

2、(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充分且必要条件(D) 既不充分又不必要条件6. 设实数满足，那么的最大值是 D(A) (B) (C) (D) 7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是(C)（A）（B）（C）（D）8. 在棱长为2正方体中，为棱CD的中点，点P是侧面 上一动点，且CP，则线段的取值范围为(B) (A) (B) (C) (D) 二填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）9. . 已知双曲线:，则双曲线的渐近线的方程为_.10. 在二项式的展开式中，常数项为_.(15)11. 函数在上的图象连续不断，能说明命题“若函数在(0,2)

3、存在唯一零点，则”为假命题的一个函数为=_.12. 在ABC中，B=60°，且c=8，b-a=4，则b=_7_.13.实数满足若的最大值为，最小值为，则的取值范围是_. 14. 已知两个集合，满足若对任意的，存在，使得 （），则称为的一个基集若 ，则其基集元素个数的最小值是 4 三解答题：（共6小题，17、20题每题14分，其余每题13分，共80分）15已知函数的最小正周期为（）求的值；（）求在区间上的最大值和最小值解：（）因为 ， 所以的最小正周期 , 解得 （）由（）得 因为 ，所以 所以，当，即时，取得最大值为1； 当，即时，取得最小值为 16. 手机完全充满电量，在开机不使用

4、的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间（h）120125122124124123123B型待机时间（h）118123127120124 ab其中，a，b是正整数，且（）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号

5、被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明） 解：（）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时 （）X可能的取值为 ； ； 所以，X 的分布列为：X0123P （）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时， 17. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，平面PAC底面ABCD，PA=PC=. () 求证：PB=PD； 证明：记ACBD=O，连结PO， 底面ABCD为正方形， OA=OC=OB=OD=2. PA=PC， POAC， 平面PA

6、C底面ABCD=AC，POÌ平面PAC， PO底面ABCD. BDÌ底面ABCD， POBD. PB=PD.() 点M，N分别在棱PA，PC上，PM=AM，PN=CN，求直线PB与平面DMN所成角的正弦值；解：以O为坐标原点，射线OB，OC，OP的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，由()可知 OP=2.可得P(0,0,2)，A(0,-2,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(-2,0,0),可得，M(0,-1,1), N(0,1, 1).，.设平面的法向量n=， ， 令，可得n=., cos<,n>=. 直线PB与平面DMN所

7、成角的正弦值为.()在()的条件下，平面DMN与直线PB的交点为Q，在线段BC上，是否存在一点H，使得DQPH，若存在，求BH的长，若不存在，请说明理由.解：记，可得， ，=0， 可得，解得. 可得，. 记，可得， ，若DQPH，则， ，解得. 故.另：取的中点，说明均在平面PBD与平面DMN的交线上.18. 抛物线上的点到其准线的距离为5. () 求抛物线的标准方程； 解：在抛物线中，其准线方程为， 解得，. 故抛物线的标准方程为. ()过点作直线交抛物线C于A，B两点，Q是y轴上一点，且Q,A,B三点不共线)，直线与直线交于点N，判断直线PQ与BN的位置关系，并说明理由. 解：设直线的方程

8、为， 联立方程， 消元得， 恒成立. 设， 由韦达定理可得，； 设， ，直线AQ的方程为，令，解得， . ，又, 显然PQ与AN不在同一条直线上，故直线PQ与AN平行.19.已知函数. ()求函数的图象在处的切线在轴上的截距；解： ， ， ， 又， 可得，函数的图象在处的切线方程为， . 故的图象在处的切线在轴上的截距为.() 若函数的最小值为，求实数的值. 解：(1) 当时，恒成立，在上单调递增，则在上的最小值为, 不符合题意. (2) 当时，且在单调递增，可得存在唯一实数，使得. 函数随x的变化而变化如下表：0(0,t)t(t,+)-0+ 所以函数的最小值为，其中， 因此，即，显然是该方程

9、的一个解. 设，可得在上单调递增， 可知，是方程的唯一解. .且符合题意.20.已知n是给定的不小于3正整数，如果数列满足：对于任意的，均有，其中，那么称数列A为“紧密数列”.() 若“紧密数列”为等差数列，求数列A的公差的取值范围;解：当时，数列中的最大项为， 则，即，解得； 又 ，可得. 当时，数列中的最大项为， 则，即，解得； 又 ，可得. 综上所述，数列A的公差的取值范围为.() 数列 为“紧密数列”，求证：对于任意互不相等的，均有；证明：假设存在不相等的，有， 在数列中，除为，其他所有数之和， 因此： . 矛盾，假设不成立. 因此对于任意互不相等的，均有.() 数列 为“紧密数列”，对于任意的，且成立，求的最小值.解：数列 为“紧密数列”， 对于任意的，均有， 又