第十二章 微分方程与差分方程简介

1、第十二章 微分方程与差分方程简介学习测试题答案1. 选择题（1）由题书P454一阶线性微分方程的通解讨论知的通解为。（2），所以方程应为齐次方程。（3）为可分离变量的方程，分离变量得，其通解为，因为，所以，即特解为。（4）对微分方程两边同时积分得，再积分一次得，再积分一次可得微分方程通解。（5）由题对应的特征方程为，所以对应的特征根为或，所以方程的通解为。（6）由二阶齐次线性方程解的结构可知仍为微分方程的解，但只有当和线性无关时，才为微分方程的通解。且由于它含有至少一个任意常数，所以它不是微分方程的特解。（7）由题微分方程方程中只出现和的导数，没有出现，由高阶导数的降阶方法知可令，则。（8）此

2、题为欧拉方程，由欧拉方程解法知做变换，方程可化为，对应的特征方程为，所以，则通解为，作反变换，原微分方程通解为。（9）本题是常微分方程中关于阶线性齐次方程的刘维尔（Liouville）公式得推论，由Liouville公式知，所以，。（10）由题对应的特征方程为，特征根为或，因此不是特征根，所以所设的特解形式为。2. 填空题（1）为方程的解，并且不含有任意常数，则它为微分方程特解。（2），求导的最高阶数为，因此它为阶微分方程。（3），求导的最高阶数为，因此它为阶微分方程。（4），求导的最高阶数为，因此它为阶微分方程。（5）有通解定义解微分方程的通解应含有个任意函数。（6）对方程两边同时求导得，所

3、以，即方程为齐次方程。（7）由题，所以微分方程式全微分方程。3. 计算题（1）微分方程可化为，为一阶线性非齐次方程，则，其中为任意常数。（2）由题为伯努利方程，转化为，令，则方程化为，即为一阶线性非齐次方程。（3）由题，所以方程为全微分方程，其解为。（4）由题微分方程只出现和的导数，没有出现，由高阶导数的降阶方法知可令，则，所以方程可化为，即，所以，即，所以，所以，即。（5）由题微分方程只出现和的导数，没有出现，由高阶导数的降阶方法知可令，则，方程可化为，对应齐次方程的特征方程为，特征根为和，齐次方程通解为，可令非齐次方程的特解为，带入可得，则，所以非齐次方程的通解为，即，两边同时积分可得，即

4、原方程的通解为，其中，和为任意常数。（6）由题方程可化为为伯努利方程，令，所以方程可化为，其通解为，所以原方程的通解为。因为，则，所以满足初值的特解为。（7）由题对应齐次方程的特征方程为，特征根，对应齐次方程的通解为，非齐次方程特解可设为，代入方程可得，所以，所以特解为，所以非齐次方程同解为，由，则，由，则，所以满足初值条件的特解为。（8）由题为可分离变量方程，所以，所以其通解为。（9）由题可建立微分方程，且满足初值条件，微分方程可化为，其方程通解为，满足初值条件的特解为。（10）对积分方程两边求导得到微分方程，即，且满足初值条件，其通解为，则满足初值条件的特解为。（11）由题敌舰的坐标为，鱼

5、雷的坐标为，则，鱼雷速度为，所以，追逐中与鱼雷和敌舰连线相切，所以，即，所以，所以可得微分方程，由于鱼雷初始位置为原点，初始速度为，即满足初值条件，。则鱼雷航行曲线方程为，且有初值，。令，则方程可化为，即，其通解为，即，所以，连理上述两式求解可得，且满足，即，两边同时积分可得通解，但，则，所以所求解为。（12）由题过的法线方程为，与轴交点为由题被轴平分，则，所以满足条件的微分方程为，即。（13）1.分离变量的，两边同时积分得，所以，所以通解为。2.原方程可化为，分离变量并两边同时积分得，所以，所以方程通解为3.分离变量的，两边同时积分得，所以通解为。4.原方程可化为为齐次方程，令，则，所以，两

6、边同时积分得，则，即。5.原方程可化为为齐次方程，令，则，所以，两边同时积分得，则，即，所以，所以方程同解为。6.先求解方程组，得，做变换，则原微分方程可化为，令得如下齐次方程，所以，两边同时积分得，代回得，即，再次代回得。7.先求解方程组，得，做变换，则原微分方程可化为，令得如下齐次方程，所以，两边同时积分得，即，所以，代回得，再次代回得。8.。9.原方程可化为，即，其通解为，即。10.原方程可化为，即，其通解为。11.方程为伯努利方程，令，则方程可化为，则，则方程的通解为。12.原方程可化为，即，则方程为伯努利方程，令，则方程可化为，则。所以方程通解为。13.令，则原方程可化为，其通解为，

7、代回得。14.题目有误，应为，原方程可化为，令，则方程可化为，则，代回得。15.令，则，所以，两边同时积分得，代回得。16.由题方程两边同时积分得，再两边同时积分得，再两边同时积分得方程通解。17.设，则，原方程化为，则，即，则。18.设，则，原方程化为，则或，当时，则是方程的解，但不是方程的通解。当时，则，则，即。19.设，则，原方程化为，则或，当时，则是方程的解，但不是方程的通解。当时，则，则，即。所以通解为。20.特征方程为，特征根为，则方程通解为。21.特征方程为，特征根为，则方程通解为。22.特征方程为，特征根为，则方程通解为。23.特征方程为，所以，即或，特征根为，则方程通解为。2

8、4.特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，因为不是特征根，所以可设非齐次方程的特解为，代入方程可得，所以，特解为，所以通解为。25.特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，因为是单特征根，所以可设非齐次方程的特解为，代入方程可得，所以，所以，则特解为，所以通解为。26.特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，因为不是特征根，所以可设非齐次方程的特解为，代入方程可得，所以，所以，则特解为，所以通解为。27.特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，因为，且，不是特征根，所以可设非齐次方程的特解为，代入方程可得，所以，则特解为，所以通解为。28.方程为欧拉方程，可做变换，即，则，原方程可化为，特征

9、方程为，特征根为，方程的通解为，代回，得原方程的通解为。29.原题有误。方程应为为欧拉方程，可做变换，即，则，原方程可化为，特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，因为，且不是特征根，所以可设非齐次方程的特解为，代入方程得，则，则特解为，通解为，代回，得原方程的通解为。30.方程为欧拉方程，可做变换，即，则，原方程可化为，特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，因为不是特征根，但是二重特征根，所以可设非齐次方程的特解为，代入方程得，则，则特解为，通解为，代回，得原方程的通解为。31.令，则方程可化为，特征方程为，特征根为，齐次方程的通解为，所以原方程的通解为。（14）1.分离变量得，两边同时积

10、分得，所以方程通解为，由初值条件知，所以，则满足方程得特解为。2.分离变量得，两边同时积分得，所以方程通解为，由初值条件知，所以，则满足方程得特解为。3.原方程可化为为齐次方程，令，则，所以，由有理函数形式积分法知，两边同时积分得，所以方程通解为，代回知，由初值条件知，所以，则满足方程得特解为。4.原方程可化为为齐次方程，令，则，所以，由有理函数形式积分法知，两边同时积分得，所以方程通解为，代回知，由初值条件知，所以，则满足方程得特解为。5.由题通解为，由初值条件，所以，则满足方程得特解为。6.由题通解为，由初值条件，所以，则满足方程得特解为。7.由题通解为，因为解连续则，且由初值得，所以，所

11、以满足初值的特解为。8.由题，则，两边积分得，因为当，知，所以，从而，则，两边积分得，由，知，则解为，即为，即。9.题目错误，初值应改为，。设，则，代入方程得，两边积分得，因为当，知，从而，所以，两边积分得，当，时，知，则解为。10.设设，则，代入方程得，两边积分得，因为当，知，从而，所以，因为当，所以排除，所以，即，两边积分得，当，时，知，则解为。11.特征方程为，所以，其通解为，则，由初值条件可得，所以，所以特解为。12.特征方程为，所以，其通解为，则，由初值条件可得，所以，所以特解为。13.特征方程为，所以，齐次方程通解为，则，因为为单特征根，可设特解为，代入方程得，于是，所以通解为，所

12、以由初值条件可得，所以，所以特解为。14.特征方程为，所以，齐次方程通解为，则，因为为重特征根，可设特解为，代入方程得，所以，于是，所以通解为，所以由初值条件可得，所以，所以特解为。15.特征方程为，所以，齐次方程通解为，则，因为为特征根，可设特解为，代入方程得，所以，于是，所以通解为，所以由初值条件可得，所以，所以特解为。（15）以速度为零的点为原点，由牛顿运动规律的，且有初值，则，其通解为，由初值条件知，即满足初值的特解为。（16）由二阶线性齐次微分方程解的结构知和都是齐次方程的特解，并且它们显然是线性无关的，所以齐次方程的通解为。（17）1.因为，所以微分方程为全微分方程，通解为。2.因

13、为，所以微分方程不是全微分方程。3.因为，所以微分方程为全微分方程，通解为。（18）1.积分因子为，则方程可化为全微分方程，其通解为。2.积分因子为，则方程可化为全微分方程，其通解为，即。3.积分因子为，则方程可化为全微分方程，其通解为，即。（19）考虑，则，。则可以推出方程为全微分方程，所以为积分因子。由题这时，所以积分因子为，从而为全微分方程，所以方程通解为。（20）由题，则它的通解为，且满足初值，则，所以满足要求的。（21）由题，则，且，则原来的积分方程转化为二阶线性齐次方程，且满足初值，对应齐次方程的特征方程为，则，则对应齐次方程的通解为，可设非齐次方程的特解为，带入方程得，即其特解为，所以非齐次方程的通解为，则由初值可得，即所求积分方程的解为。（22）1.设所给方程的解为，其中为任意常数。从而，带入方程得，即，所以，从而。2.可先求出方程两个线性无关的特解，从而得出方程的通解，设，从而，代入方程得，即。所以，即，亦即，从