几种特殊类型行列式及其计算

1、11行列式的定义及性质1.1定义3等于所有取自不同行不同列的个n级行列式a11a12a1na21I-a22aa2naan1an2annn元素的乘积 的屜a% （1）的代数和,这里jjjn是1,2/ ,n的一个排列,每一项（1）都按下列规则带有符号：当jjjn是偶排列时,带正号，当 jlj2jn是奇排列时,（1）带有负号.这一定义可写成ana12a1na21a22a2nI-a=无（-1 F山压）?anjj1 j2jnan1an2ann这里 V表示对所有n级排列求和.j1 j2 jn1.2性质4性质1.2.1行列互换，行列式的值不变.性质1.2.2某行（列）的公因子可以提到行列式的符号外.性质1.

2、2.3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列 式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）与原行 列式相同.性质1.2.4两行（列）对应元素相同,行列式的值为零.性质1.2.5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质1.2.6某行（列）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变.性质1.2.7交换两行（列）的位置,行列式的值变号.2行列式的分类及其计算方法2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均 为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（

3、下）三角形行列式来计算即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零.例1计算n阶行列式将第一列减去第二列的丄倍，第三列的丄倍第n列的a2a3倍，得1ai -a21 1a200a300 ann=''aii =2n*1 ' -i=2丄ai丿a11 .L11a20 0Dn =10a30（&2&3an 式0）100 an2.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看, 这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b二c时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b = c时则用拆行例

4、）法9来计算.例2计算行列式aicc cba2c cDn =bba3cbbban解当b=c时aibbbba2bbDn =b basb.b bban将第2行到第行n都减去第i行,则Dn化为以上所述的爪形:即aibb半bb aa? b00Dn =b _ a0as - b* 0b - a0°an bDna - b i b - a i._1=2 a -bb _ aib _ aiia0°°a2-b°00a3 - b 0< . <. Ji A. < A00an - bb 4 b i iab a. bi =1i d当b=c时，用拆行例）法9,贝uXi

5、aaaXiaaa + 0bX2aabX2aa + 0Dn =bbX3a =bbX3a + 0bbbXnbbbb + 人-b用上述特征1的方法，则有化简得X1aa aXaa0bX2a abX2a0bbX3 a+bbX30bbbbbbb Xn -X1 -a0 ab 一ax? a-a- -a+ ( Xn -b )Dn/b 一ab aXn 4 -a a00 0bbDn = b iX-a 2XiT X_b 1 D而若一开始将Xn拆为a Xn - a ,则得Dn = a ix-2X3i D由 1& -b - 2XnT，得Dn 1-a _b |如(X -b )-bn (Xj a i经有一些行列式虽然

6、不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列 式进行计算例3计算行列式dbb.bcXa - aDn =caXa(n >2)caa-X第一列尼得ca2daaabcbeaXa ' 'aDn =2aaaXaaaa-X解将第一行b，n _2即化为上2 一 1情形，计算得n A.Dn=d x-a i 亠n-1 ad-be x-a而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公 共因子的，则用升阶法来简化.例4计算行列式1 X12X! X2X1Xnx2X21 X2X2XnXnXXnX21Xn2Dn解将行列式升阶，得1X1X2Xn01+x1

7、2X1X2X1XnDn =0X2X11 + x22 X2Xn0XnX1XnX21+Xn2将第i行减去第一行的人i =2,，n倍，得_X1Dn 二 - X2X2015#一 Xn这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得Dnn1 亠一Xii经00X1Xn2.3两条线型行列式这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元 素全为0的，自然也直接展开降阶计算例5计算行列式a2b26#Dn =aian二 aa 2n -4an 亠1 b b 2 bn Dnan Jbn Jbn解按第一行展开可得1

8、 -n+ 0(/)an Jan J#例6计算行列式bnbniaibididn -1dn解方法1直接展开可得an 4+aiCit)di+bn0, i 七n+ 0(")0an/+aCibdi+bnOn 4dzCnXdz0dnCn0D2n - anan A.+4bnan A+bnandna.ba.biGdi+- 001 (-1 $c.d.+01 A.dnAdnandn - bnCnD2 n 二 .D2n = andn _ bncn .1D 2 n J = and n _ b nc .> an J.dn J _ bn Jcn J D2n_2=aid _ bici .方法2 （拉普拉斯定

9、理法）按第一行和第2n行展开得an AD2nanbndn2n+-2n(一1)a.b.G d.7#dnj_(andn -bnCn )D2(nJj其余的同法1.2.4 Hessenberg 型行列式这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素,以便于这一行或列的展开降阶计算例7计算行列式23nTnT0 0002-2 00- -n -22 n0000nTn解将各列加到第一列得n (n +1 )2320-10 Dn =02_2 n _2000 n 1n00002n0n 11n按第一

10、列展开得Dn2n(n +120 n 11 一 nn(n +1 )! 十1)8#2.5三对角型行列式a b cab的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其+形如 Dn = C+*c他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的n-1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法 例8计算行列式a bcab+ +Dn =C+ +bc a解按第一列展开有Dn 二 aDn 4 - bcDn 2解特征方程x2 -ax be =0得a+Ja -4bca _Ja -4bcxi2 ,X22.则n 1 n 1（Xi -X2）Dn, Xi = x2 |.

11、Xr _X2例9计算行列式59匕Dn+ +匕9549解按第一行展开得Dn -9Dn20 = 0.解特征方程得Xi 4, x 5.则ndnDn 二 a4 b5 .分别使 n =1,2得 a - -16,b =25,则Dn =5n 1 4n 1 .2.6各行（列）元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行（列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行（列）加到第一行（列）或第n行例），提取公因式后，再把每一行都减去第一行 例），即可使行列式中 出现大量的零元素.例10计算行列式1 a1 a1a21a2ana1a21 an10#解将第2行到第n行都加到第1行，得#Dn1a1 - - ana21

12、 a- an1 a2a2anan1 an=1a1 ana21 -1a2a2anan1 - an=1 ai - an=1 aan .2.7相邻两行（列）对应元素相差1的行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行（列）元素相差1的行列式，对这类行11#列式，自第一行（列）开始，前行例）减去后行（列），或自第行n（列）开始，后行例）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式,再进一步化简即出现大量的零元素#若相邻两行（列）元素相差倍数则前（后）行（列）减去后（前）行（列）的-k倍，可使行列式出现大量的零元素.例11计算行列式012n _2n 1014n _3n-210 n _4 n

13、 Dn=aan 2n - 3n_ 401n Tn - 23 10依次用前行减去后行，可得-111 11-1-11 11-1-1-111Dn-1Sa.-1-1-1-11n Tn 2n_310解123现将第1列加到第2列至第n列，得-100 00-1-20 00-1a-2-_2a0-0-1-2_2-20n 12n -32n_4 nn -1n-12nDn例11计算阶n行列式1a2 an1aan_2nA1Dn =aaaa234aaa23aaan_2n Aaan n _2 a an _4n _3a and a解这是相邻两行（列）相差倍数a ,可采用前行减去后行的-a倍的方法化简得Dnn1 - a000n1-a000n1a12#