理论力学1234

1、 奠基时期奠基时期牛顿牛顿的的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理一书可一书可看作是理论力学的第一部著作。从牛顿三定律出发可看作是理论力学的第一部著作。从牛顿三定律出发可演绎出力学运动的全部主要性质。另一位理论力学先演绎出力学运动的全部主要性质。另一位理论力学先驱是驱是瑞士的雅各布瑞士的雅各布伯努利伯努利，他最早从事变形体力学，他最早从事变形体力学的研究，推导出沿长度受任意载荷的弦的平衡方程。的研究，推导出沿长度受任意载荷的弦的平衡方程。通过实验，他发现弦的伸长和张力并不满足线性的胡通过实验，他发现弦的伸长和张力并不满足线性的胡克定律，并且认为线性关系不能作为物性的普遍规克定律，并且认为线性关

2、系不能作为物性的普遍规律。律。 一、发展简史一、发展简史 绪绪 论论 法国科学家达朗贝尔于法国科学家达朗贝尔于1743年提出：理论力学年提出：理论力学首先必须象几何学那样建立在显然正确的公理上；首先必须象几何学那样建立在显然正确的公理上；其次，力学的结论都应有数学证明。这便是理论力其次，力学的结论都应有数学证明。这便是理论力学的框架。学的框架。 17881788年法国科学家拉格朗日年法国科学家拉格朗日创立了分析力学，创立了分析力学，其中许多内容是符合达朗贝尔框架的；此后经过哈其中许多内容是符合达朗贝尔框架的；此后经过哈密顿、欧拉、泊松、雅可比等人的研究，使得经典密顿、欧拉、泊松、雅可比等人的研

3、究，使得经典力学最早成为一门理论严谨、体系完整的学科。力学最早成为一门理论严谨、体系完整的学科。二、研究对象二、研究对象 研究物体机械运动普遍遵循的基本规律的一研究物体机械运动普遍遵循的基本规律的一门学科。门学科。一矢量力学：一矢量力学：主要从力的观点以牛顿三定主要从力的观点以牛顿三定 律为基础，以力和加速度为基本量，用矢量律为基础，以力和加速度为基本量，用矢量 法分析问题。法分析问题。二分析力学：二分析力学： 从能量的观点，以功和能作为基本从能量的观点，以功和能作为基本量，用广义坐标作为运动的独立变量，量，用广义坐标作为运动的独立变量，应用比较系统的数学分析方法，得到了应用比较系统的数学分析

4、方法，得到了很多有用的表达式，建立起力学系统所很多有用的表达式，建立起力学系统所服从的规律。服从的规律。1 1、虚功原理、虚功原理2 2、哈密顿原理、哈密顿原理3 3、拉格朗日方程、拉格朗日方程三、研究方法三、研究方法 （a a）运动学：）运动学：只只涉及运动的几何性质。涉及运动的几何性质。（b b）动力学：）动力学：涉及运动的物理原因。涉及运动的物理原因。（c c）静力学：）静力学：物体处于静止状态下所遵循的物体处于静止状态下所遵循的 条件。条件。分类：分类：按研究对象分为按研究对象分为质点力学、质点力学、 质点组质点组 力学、刚体力学力学、刚体力学数学知识：数学知识：微积分、常微分方程、矢

5、量分析微积分、常微分方程、矢量分析 四、适用范围四、适用范围 n适用于：适用于：宏观、低速的运动物体。宏观、低速的运动物体。 理论力学属于经典力学范畴，经典理论力学属于经典力学范畴，经典 力学体系是以三个力学体系是以三个“独立独立”的基本概念的基本概念为基础，即不受物体运动状态影响或与为基础，即不受物体运动状态影响或与物体运动无关的所谓物体运动无关的所谓“绝对化绝对化”质量、质量、空间与时间。空间与时间。五、课程地位：五、课程地位：承上启下。承上启下。 为基础物理课程（力学、热学、电磁学、为基础物理课程（力学、热学、电磁学、光学和近代物理学）与理论物理课程（理论力光学和近代物理学）与理论物理课

6、程（理论力学、热力学与统计物理学、电动力学、量子力学、热力学与统计物理学、电动力学、量子力学等）的桥梁。学等）的桥梁。六、学习方法：六、学习方法：1.做好笔记；做好笔记；2.利用好参考书；利用好参考书； 3.亲自完成一些公式、定理、方程的推导；亲自完成一些公式、定理、方程的推导； 4.认真完成必要的作业。认真完成必要的作业。参考书：参考书：1.朱照宣（北大）、胡慧玲（清华）、肖士珣（东北朱照宣（北大）、胡慧玲（清华）、肖士珣（东北师大）、金尚年（复旦）等编理论力学；师大）、金尚年（复旦）等编理论力学；2.管靖等编：理论力学教程（第三版）学习指导书。管靖等编：理论力学教程（第三版）学习指导书。第

7、一章第一章 质点力学质点力学 1.1 运动的描述方法运动的描述方法一、参考系和坐标系一、参考系和坐标系 1、参考系：、参考系：依据依据 准则准则，确定参考系后，讨论物体确定参考系后，讨论物体 运动才有意义；参考系不同，运动规律则不同。运动才有意义；参考系不同，运动规律则不同。 2、坐标系：、坐标系：数学工具，数学工具，用于定量讨论物体的运动，用于定量讨论物体的运动， 它与参考系相固连，是参考系的数学抽象（代表它与参考系相固连，是参考系的数学抽象（代表 与参考系相固连的整个空间）；同一参考系可建与参考系相固连的整个空间）；同一参考系可建 立不同的坐标系，对同一参考系不管选用什么坐立不同的坐标系，

8、对同一参考系不管选用什么坐 标系，运动规律都相同。标系，运动规律都相同。3、质点、质点定义：定义：具有质量而不计其大小和形状的合具有质量而不计其大小和形状的合 理的抽象模型理的抽象模型如何可以把物体看作质点？如何可以把物体看作质点？ 一个物体如果其大小远小于研究问题中的一个物体如果其大小远小于研究问题中的 有关距离而问题又不涉及物体的转动。有关距离而问题又不涉及物体的转动。1.1 运动的描述方法运动的描述方法二、运动学方程与轨道二、运动学方程与轨道性质：性质：1 1、不能有两个或两个以上的物、不能有两个或两个以上的物 体同时占据同一空间。体同时占据同一空间。2 2、不能从空间某一位置突然改、不

9、能从空间某一位置突然改变到另一位置。变到另一位置。轨道：轨道：运动质点在空间一连串所占据运动质点在空间一连串所占据的点形成。的点形成。 1.1 运动的描述方法运动的描述方法三、位矢、位移、速度和加速度三、位矢、位移、速度和加速度位矢：位矢：由选定的原点指向质点的有向线段。由选定的原点指向质点的有向线段。位移：位移：质点相对于参照系运动时，位置质点相对于参照系运动时，位置 连续变化，在给定时间内，初位连续变化，在给定时间内，初位 置指向末位置的矢量。置指向末位置的矢量。速度：速度：位矢的时间变化率叫做质点在时位矢的时间变化率叫做质点在时 刻刻t t的瞬时速度。的瞬时速度。加速度：加速度：速度的时

10、间变化率叫做加速度。速度的时间变化率叫做加速度。（1 1）位矢）位矢por(t)(t)(t)(t)rxiyjzkkji、是坐标轴的固定单位矢量。是坐标轴的固定单位矢量。)(tr)(trr是单值、连续、二次可微函数。运动学方程：运动学方程：xx(t)yy(t)zz(t) 参数方程：参数方程：（2 2）速度）速度质点从质点从ttt位置：位置：PQ 位矢：位矢：( )()r tr tt位移：位移：起点指向终点起点指向终点PQ()( )rr ttr t 平均速度平均速度:*rtv = 表示质点在表示质点在 内位置变化快慢内位置变化快慢的平均值和方向。的平均值和方向。t速度：速度：)(limlim0)(

11、)(0trvdtrdtrtttrttrt kzj yi xkvjvivvzyx 222222zyxvvvvzyx 矢量矢量：方向沿轨道切线方向和运动方向一致。：方向沿轨道切线方向和运动方向一致。大小：大小：yxzvvvcoscoscosvvv，=，=方向余弦：方向余弦：， ，分别为v与x、y、z轴正方向之间的夹角（3）加速度）加速度vv( ) tt时刻:速度增量：平均加速度：瞬时加速度：) t (v) tt (vv) tt (v时刻:tttva22dtrdvdtvdtvlimakzjyixkajaiaazyx aa)k, acos(,aa) j, acos(,aa) i , acos(zyx方

12、向：方向：zyxvvvaaaazyxzyx 222222大小：大小：xvaxx yvayy zvazz 其中：其中： 一、直角坐标系一、直角坐标系 其中其中 是恒单位矢量是恒单位矢量 1 1、速度、速度 分量表示式分量表示式 的方向余弦的方向余弦 kzj yi xrkji,0kjikvjvivkzj yi xrvzyxzvyvxvzyx222222zyxvvvvzyx 速率速率 vvzvvkvvyvvjvvxvvivzyx),cos(),cos(),cos(1.2 1.2 速度、加速度的分量表示式速度、加速度的分量表示式kzj yi xva kajaiazyxzayaxazyx 222222z

13、yxaaaazyx aazaakaayaajaaxaaiazyx ),cos(),cos(),cos(的方向余弦的方向余弦 2 2、加速度、加速度 运动学方程式是质点运动学的核心运动学方程式是质点运动学的核心 若已知若已知 ，即，即 ，则可通过求导数求出，则可通过求导数求出 若已知若已知 ，即，即 则可通过求导数求出则可通过求导数求出 ，即，即 )(trr)()()(tzztyytxxr)()()(tzztyytxxvvzyxvvv,azzyyxxvavava 其中其中 为积分常数，由为积分常数，由 时质点的初始位置时质点的初始位置 确定确定 若已知若已知 ，即，即 ，可通过两次积分求得，可通

14、过两次积分求得 ，存在，存在 六个积分常数，由六个积分常数，由 时的时的 ； 确定确定 例如：例如： r321cdtvzcdtvycdtvxzyx321,ccc0t000,zyxazyxaaa,r0t000,zyxzyxvvv000,dtxdxax dtaxdx1cdtaxxdtdxx 2cdtxx 通过积分求出通过积分求出 ，即，即二、平面极坐标系二、平面极坐标系 （1 1）方法一）方法一 质点沿平面曲线质点沿平面曲线c运动将运动将 分解分解 为为 则则 亦可将亦可将 分解为分解为 ,其中其中 垂直矢径垂直矢径 ，沿，沿 增加方向，增加方向，则则 ，其中，其中 、 ， 分别为径向、横向单位矢

15、分别为径向、横向单位矢vyxvv,jvivvyxvvvr,vrvrvvr00r0cosrx sinry sincosrrxvxcossinrrvy0cossinyxvvvsin)sincos(rrrrrcos)cossin(同理同理: sin)2(cos)(cossinsinsincos22 rrrrrrrrrxaxyay cos)2(sin)(2 rrrrsincosyxraaa2 rr rraaayx2cossin)(12rdtdr（径向加速度）（径向加速度） （横向加速度）（横向加速度） 横向速度横向速度径向速度径向速度sincosyxrvvvcos)sincos(rrrrrsin)co

16、ssin( 在平面极坐标系中，在平面极坐标系中， 径向单位矢，径向单位矢， 横向单位横向单位矢（指向矢（指向 增加方向），均非恒矢量增加方向），均非恒矢量0r00r rrr rdtdrv()0r0rr0r质点速度质点速度 0rjisincos0jicossin 0r)cossin(cossinjiji000rrv0rr000vrvr速度方向变化引起的）横向（速度大小变化引起的）径向rrvrrvr(（2 2）方法二）方法二 在极坐标系中，虽然加速度的表达式较直角坐标系复杂，但对某些问题的处理较直角坐标系更为方便！ 横向加速度径向加速度_)(12_22 rdtdrrrarrar向速度方向改变引起是

17、因横向速度大小和径向速度方向改变引起是因径向速度大小和横:注意注意: :加速度加速度raa 质点沿已知平面轨道曲线运动质点沿已知平面轨道曲线运动, ,速度速度 沿轨道切线沿轨道切线方向方向, ,则则 将加速度将加速度 分解为切向分量和法向分分解为切向分量和法向分量量 其中其中 分别为切线方向和法线方向的单位矢分别为切线方向和法线方向的单位矢, , 与与X X轴夹角为轴夹角为 ，在轨道曲线上选一定点作为弧坐，在轨道曲线上选一定点作为弧坐标的原点，则标的原点，则 规定规定 的正方向指向的正方向指向 增加方向。增加方向。 vvv anaaann,)(tss svdsrddtdsdtrdvnvdtdv

18、ndsddtdsvvnvvvvvdtddtvda2)(三、自然坐标系三、自然坐标系vsdtdva naaannvdtdva222svan22222)(vvaaanana（切向加速度）（切向加速度）（法向加速度）（法向加速度）大小大小是由于速度的量值改变所引起是由于速度的量值改变所引起是由于速度的方向改变所引起是由于速度的方向改变所引起ynnOxPQ补充例题：补充例题： 在铅垂面内，质点以速度在铅垂面内，质点以速度 作平抛运动，求任意作平抛运动，求任意时刻时刻 质点的法向加速度和轨道的曲率半径。质点的法向加速度和轨道的曲率半径。0vtggvtgvvggay2sinvgvvvggaxn0cosgv

19、vavn032解：解：由于质点的加速度恒为 ，因而可将 向切向和法向分解，得：xyanagon式中：2220tgvv一、经典假设：一、经典假设： 各种坐标系中的时钟和尺子是完全相同,参考系不同,对同一物体其运动规律不同,有何联系? 令 是静止参考系, 是运动参考系,两观测者分别处于其中,二者对时间和长度进行测量,结果有无差异? 宏观物体 低速 测量结果相同 伽利略（伽利略（GalileanGalilean）变换）变换 经典力学（经典力学（NewtonNewton） 宏观物体 高速 测量结果不同 洛伦兹（洛伦兹（lorentzlorentz）变换）变换 相对论力学（相对论力学（EinsteinE

20、instein）SS1.3 1.3 平动参照系平动参照系结论：结论： 在经典假设下，在经典假设下，vcvc 绝对速度绝对速度 相对速度相对速度 牵连速度牵连速度（1 1）若）若 （恒矢量），即（恒矢量），即 相对于相对于 作匀速直线运动作匀速直线运动（1 1）若）若 ，假定二者相对作匀加速直线运动，假定二者相对作匀加速直线运动 rrr0vvrrrv00vv0v分量式分量式 zzzyyyxxx000zzzyyyxxx000cv0SSaaGalileanGalilean相对性（力学）原理相对性（力学）原理 cv0aaa0绝对加速度等于牵连加速度加相对加速度绝对加速度等于牵连加速度加相对加速度 二、

21、平动参考系中速度与加速度的合成二、平动参考系中速度与加速度的合成1.4 1.4 质点运动定律质点运动定律 一、牛顿运动定律（动力学基础）一、牛顿运动定律（动力学基础） 1 1、简述简述 （1 1）牛顿第一定律）牛顿第一定律 不受其他物体作用不受其他物体作用 惯性运动；惯性运动； （2 2）牛顿第二定律）牛顿第二定律 （ ， 不变）不变） （3 3）牛顿第三定律）牛顿第三定律)( vmdtdPFavm21FF （1 1）牛顿定律是经典力学的基础，核心是牛顿第二定）牛顿定律是经典力学的基础，核心是牛顿第二定 律，以简洁明了的数学式子表明质点机械运动的律，以简洁明了的数学式子表明质点机械运动的 变化

22、规律；变化规律； （2 2）三个定律相互独立，牛顿第一定律是牛顿第二定）三个定律相互独立，牛顿第一定律是牛顿第二定 律的前提，牛顿第一定律定义了惯性系，对力给律的前提，牛顿第一定律定义了惯性系，对力给 出了定性定义（力是改变运动状态的原因），牛出了定性定义（力是改变运动状态的原因），牛 顿第三定律与参考系选择无关；顿第三定律与参考系选择无关； （3 3）质量）质量 引力质量惯性质量引力质量惯性质量2 2、重点加深理解的几个问题、重点加深理解的几个问题 在运动学中，参考系可以任意选取，在动力学中则不然！在运动学中，参考系可以任意选取，在动力学中则不然！ （1）惯性系与非惯性系 可近似视地球为惯性

23、系 （2）伽利略变换式 二、经典力学的相对性原理二、经典力学的相对性原理定性定性：匀速直线运动船中力学现象（力学规 律）与在地面上相同。定量：定量： 令 时，两参考系中的坐标系原点重合，则伽利略变换式为： （3）相对性原理0 ttttzzyyvtxxzzyyvxxaa 伽利略变换下加速度为不变量伽利略变换下加速度为不变量 vcvc时时 与与 无关无关 若若 力学规律相同力学规律相同 不能借助任何力学实验判断参考系是静止的或匀速不能借助任何力学实验判断参考系是静止的或匀速 直线运动直线运动 力学相对性原理（伽利略相对性原理）力学相对性原理（伽利略相对性原理） 结论结论: : （1）相对惯性系作匀

24、速直线运动的参考系是惯性系； （2）vc时，牛顿第二定律是伽利略变换下的不变式 （力学相对性原理是以伽利略变换为基础的）； （3）判断一个参考系是否是惯性系的准则为在该参考 系中牛顿第二定律是否成立； （4）伽利略相对性原理 Einstein相对性原理mF,vFFmmamFamF1.5 1.5 质点运动微分方程质点运动微分方程质点动力学内容质点动力学内容amF),(trrFF）已知力求运动规律（）已知运动规律求力（21或二者兼而有之或二者兼而有之 1 1、自由质点运动微分方程、自由质点运动微分方程 自由质点自由质点 不受任何约束不受任何约束 三个自由度三个自由度 三个三个 独立变量由独立变量由

25、 得得 （）是二阶微分方程组，给出是二阶微分方程组，给出所有可能所有可能的运动，经两的运动，经两次积分，存在六个积分常数，满足次积分，存在六个积分常数，满足（） 式的解有若干式的解有若干个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置个；任何质点的实际运动，在任意时刻都有确定的位置和速度，通过和速度，通过 时的时的 确定积分常数，确定积分常数，定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动定出唯一解（满足初始条件），给出特定条件下的运动规律。规律。rmF ),;,(),;,(),;,(tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx （） 一、运动微分方程的建立一、运动微分

26、方程的建立0t000000,;,zyxzyx 直线运动直线运动 平面运动平面运动 ),(txxFxm ),;,(),;,(tyxyxFymtyxyxFxmyx ),;,()2(),;,()(2trrFrrmtrrFrrmr （1 1）约束约束 质点运动所受的限制质点运动所受的限制 受约束质点为非自由质点受约束质点为非自由质点 约束的数学表达式约束的数学表达式 约束方程约束方程 ，如；，如； 质点受到约束后自由度减少，一般一个约束减少一个自由质点受到约束后自由度减少，一般一个约束减少一个自由度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反度；约束的数学意义是几何曲线或曲面，物理意义为约束反作

27、用力；约束作用力；约束 约束反作用力约束反作用力 非自由质点非自由质点 自由质点自由质点 约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受约束反作用力为未知量，不完全由约束而定，与质点所受 的其它力和运动状态有关。的其它力和运动状态有关。 例如例如 曲面约束曲面约束 ( (约束方程约束方程) ) 0),(tzyxfzzyyxxRtzyxzyxFzmRtzyxzyxFymRtzyxzyxFxm),;,(),;,(),;,( 0),(tzyxf(两个自由度, 四个方程 )2 2、非自由质点的运动微分方程、非自由质点的运动微分方程（2 2）内禀方程）内禀方程 约束力处于法向平面内（约束力处于法向平

28、面内（ 图图1.5.11.5.1），这时），这时 在密切平面内在密切平面内 选用自然坐标系选用自然坐标系 对理想约束对理想约束注意：注意：在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分在理想约束情况下，运动规律和约束反作用力可以分开求！由（开求！由（1 1）式求出运动规律）式求出运动规律（ 将将 代入（代入（2 2）式，）式， 利用利用 ；由（；由（3 3） ,p210baa0R)3(0)2() 1 (2bbnnRFRFvmFdtdvm),zyxvv232)1 (1yy nRbR运动规律和约运动规律和约束反作用力全束反作用力全部求出！部求出！ 理论力学中，常见变力，理论力学中，常见变力， 形式

29、复杂；形式复杂； 求解二阶微分方程组，则求解二阶微分方程组，则 （1 1）隔离物体，具体分析受力，（已知，未知）；）隔离物体，具体分析受力，（已知，未知）； （2 2）选取坐标系，建立微分方程组）选取坐标系，建立微分方程组 （力学问题（力学问题 数学问题）；数学问题）； （3 3）根据初始条件求解方程组；）根据初始条件求解方程组； （4 4）分析结果，阐明物理意义。）分析结果，阐明物理意义。 以一维为例以一维为例 讨论几种特殊情况讨论几种特殊情况 ),(trrF二、运动微分方程的解二、运动微分方程的解 分别为分别为 时的速度时的速度 和位置坐标和位置坐标（2 2）力）力 仅为坐标的函数仅为坐标

30、的函数 ttcttcdttmdx0201)()(121,cc0tt 0v0 x（物理意义） F)(xFF )(xFxm dxdvvdxxdxdxxddtdxdtxdx dxxFmvdv)(xxcxcdxxFmv0112)()(21dtdxv )(txx （1 1）力）力 仅是时间仅是时间 的函数的函数 Ft)(tFxm dttFmxd)(1ttctmcdttFmx011)(1)(1)(tFF （3 3） 力力 仅是速度的函数仅是速度的函数 F)()(vFxFF)(xFxm dxxdxx xxxxFxdxmx00)(dtxdx )(xFdtxdm)(xFxmddtxxtxFxmdt00)(或或

31、历史上已解决的问题历史上已解决的问题达朗伯）伯努利）牛顿、欧拉）()()()(2nnbvavfcvvfbvavvf 1.6 1.6 非惯性系动力学非惯性系动力学一、在加速平动参照系中的运动一、在加速平动参照系中的运动 动参照系动参照系SS相对于惯性参照系作加速直相对于惯性参照系作加速直线运动时，绝对加速度线运动时，绝对加速度 、牵连加速度、牵连加速度 、相对、相对加速度加速度 。aa0aaaa0在非惯性参照系中在非惯性参照系中0)(amamF二、惯性力二、惯性力 参照系本身相对于惯性参照系作加参照系本身相对于惯性参照系作加速运动所引起的。速运动所引起的。大小：大小： 等于质点的质量等于质点的质

32、量m m和牵连加速度和牵连加速度 的乘积。的乘积。方向：方向： 和和 的方向相反。的方向相反。0a0a惯性力的理解惯性力的理解（1 1）他没有施力者；）他没有施力者；（2 2）惯性力没有反作用力；）惯性力没有反作用力； 总之，惯性力是一种假想力，总之，惯性力是一种假想力，大小为大小为 。)(0am 1.7 1.7 功与能功与能一、功和功率一、功和功率 元功元功 一般为变力一般为变力 功率功率 物体对外做功本领大小的量度，它是状态量；物体对外做功本领大小的量度，它是状态量； 能量变化的量度，它是过程量能量变化的量度，它是过程量 rdFdWFBABABABAzyxdzFdyFdxFdsFrdFWc

33、osvFdtrdFdtdWP由由 总功总功 若若 稳定力场稳定力场 一般是一般是 的单值、有限、可微函数的单值、有限、可微函数 保守力场：对一稳定力场，若积分（场力的功）与实保守力场：对一稳定力场，若积分（场力的功）与实 际路径无关，仅与始末位置有关际路径无关，仅与始末位置有关 保守力场，场力为保保守力场，场力为保守力。守力。 由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函 数数 满足满足 （保守力定义之一）（保守力定义之一）: : )(rFFFrBABAzyxdzFdyFdxFrdFW线积分线积分 一般与路径有关一般与路径有关 ),(zyxV)(kzVj

34、yVixVVgradVFxVFxyVFyzVFz 二、保守力、非保守力与耗散力二、保守力、非保守力与耗散力 为一恰当微分，即全微分，这时为一恰当微分，即全微分，这时 积分（场力的功）与实际路径无关积分（场力的功）与实际路径无关 （保守力定义之二）（保守力定义之二） 这时这时 闭合路径积分等于零闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）（保守力定义之三） 假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运假若场力的功与中间路径无关，或沿任何闭合路径运 动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。动一周时，场力做的功为零，则该场力即为保守力。 dVdzzVdyyVdxxVdzFdyFdxFrdFdWzy

35、x)(BAABBABAzyxVVdVdzFdyFdxFrdFW)(Ll dFrdF0 保守力的判据：保守力的判据： 由场论知由场论知 为任意的为任意的 无旋力场无旋力场 这时这时 为保守力，必然存在势能函数：为保守力，必然存在势能函数：LSsdFl dF0L0FF),(zyxV1.8 1.8 质点动力学的基本定理与基本守恒律质点动力学的基本定理与基本守恒律 通过求解通过求解 可得运动规律可得运动规律 这是研究质点动力学问题的基本方法！这是研究质点动力学问题的基本方法！存在问题：存在问题：由于由于 形式复杂，求解十分困难；形式复杂，求解十分困难； 有时并不需要全部解。有时并不需要全部解。关于质点

36、动力学的问题有其他研究及求解方法吗关于质点动力学的问题有其他研究及求解方法吗? ?amFFFvmdtdP)( 动量定理动量定理 具有普遍性具有普遍性 ：（1）牛二律原始形式）牛二律原始形式 （2）相对论中亦适用）相对论中亦适用 一、动量定理及动量守恒定律、动量定理及动量守恒定律 微分形式（又称微分形式（又称“冲量定理冲量定理” ” ）积分形式：力对时间的积累积分形式：力对时间的积累 若若 则则 （恒矢量）（恒矢量） 动量守恒动量守恒 若若 但但 则则dtFPd1212vmvmPP21ttdtF0FcvmP0F0 xF1cmvx二、动量矩定理及守恒定律二、动量矩定理及守恒定律F)()()(xyz

37、xyzzyxyFxFkxFzFjzFyFiFFFzyxkjiFrM1、力矩、力矩 力力 对对O点的矩点的矩对对O点点 vmrJ)()()(xyyxmkzxxzmjyzzymizmymxmzyxkji)()(xyyxmJzxxzmJyzzymJzyx 2 2、动量矩（角动量、动量矩（角动量 ） 动量矩定理动量矩定理 若若 则则 （恒矢量）（恒矢量） 动量矩守恒动量矩守恒 Frm Frrrm rrrrdtdrr )()(vrdtd)(vmrdtdFr MdtJddtMJddtMJd 0FrMvmrJcPrJr质点作平面曲线运动，有心运动即为一例质点作平面曲线运动，有心运动即为一例 3 3、动量矩定

38、理、动量矩定理 质点动能的微分等于力质点动能的微分等于力 对质点做的元功对质点做的元功 动能定理的微分形式动能定理的微分形式 Fvmrm dtvrdrdFdtvvm rdFvdvmdtvdtvdmrdFmvd)21(2FrrzyxzyxzyxdzFdyFdxFrdFmvmv0000,2022121动能定理的积分形式动能定理的积分形式 为保守力，为保守力，FVF三、动能定理与机械能守恒定律三、动能定理与机械能守恒定律rrrrrrzyxVzyxVdVrdVrdVmvmv000),(),(2121000202机械能守恒机械能守恒能量转化与守恒定律 物理学基本原理 宇宙的基本定律三个守恒定律为运动方程的初积分（第一积分） 如 能量积分 ),(21),(21000202zyxVmvzyxVmvEVT