极限与连续辅导材料

1、第二章 极限与连续同步自测题及参考答案1. 填空题(1) .(2) .(3) .(4) 设，则.(5) 函数的连续区间是.2. 单项选择题(1) 设，则是( ). A 1 B C 0 D 不存在(2) 设时，与是同阶无穷小，则正整数( ). A 2 B 3 C 4 D 5(3) ( ). A 1 B C D 不存在，但不是(4) 设函数在处连续，则( ). A B C D (5) 函数( ). A 不存在间断点 B 存在间断点C 存在间断点 D 存在间断点3. 计算题(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) 已知，求常数和. 使得当时，函数. (8)4. 设，求的间断点，并指出其类

2、型.5. 设函数在内连续，且，证明至少存在一点使参考答案1. (1) (2) 0 (3) 原式 (4) 由知，. (5) 2. (1) D. (2) D. ，当时，(3)A. (4)B. ，. 由知，. (5) B. 3. (1) 原式. (2) 设，则. 原式.(3)原式 (4) 对分子反复用加一项减一项. 并用. 原式(5) 原式其中，同理.(6) 当时，.原式.(7) 由题设知道，当时，于是原式，从而当时，故，.(8) 对一切有而，由夹逼准则，原式.4. 当时，由，得间断点， 当时，由得间断点. 在处，. 在处，. 在处，不存在. 在处，综上所知，是可去间断点，属于第一类间断点，令，则在

3、处连续.是跳跃间断点，属于第一类间断点.是第二类间断点.是无穷间断点，属于第二类.5. 不妨设，则在闭区间上连续，从而在上必有最大值与最小值，即，从而，. 于是有由介值定理知，至少存在一点，使第二章教材习题全解1. 选择题(1)下列数列不存在极限的有( )A10，10，10， BC D答：C. 因为： A，10，10，10，为常数列，通项为，极限为，极限存在，不选A；B，其通项为，所以，极限存在，不选B；C，当为奇数时，当为偶数时，极限不存在，选C. D，当为奇数时，当为偶数时，极限存在，不选D.(2)下列数列收敛的有( )A0.9，0.99，0.999，0.9999， B1，C D答：A.

4、因为A，通项为，极限存在，选A；B，有子列，其极限为，子列，极限为0，所以该数列不收敛，不选B；C，当为奇数时，当为偶数时，该数列发散，不选C；D，当为奇数时，当为偶数时，该数列发散，不选D；(3)数列与的极限分别为与，且，则数列：的极限为( )AA BB CA+B D不存在解：D. 因为数列与均为数列的子列，极限分别为和，而，故选D. (4)下列极限存在的是( )A B C D解：A. 因为A，故选A；B，不选B；C，因此不存在，不选C；D，不选D. (5)下列极限存在的是( )A B C D解：B. 因为A，因，所以，不选A；B，因，所以，极限存在，选B；C，极限不存在，不选C；D不存在，

5、因为令，取，则，（无论多么大），当充分大时，总可以使，故在内无界，又取，则，当，时，而时，故当时，这个函数不是无穷大，极限不存在，不选D.存在不收敛的子列，因此极限不存在.(6)，则当时( )A BC D的极限不存在也不趋于答：D. 因为，其中，所以不存在，因此选D. (7)( )A1 B0 C2 D答：C. 因为，因此选C. (8)在点处有定义，是当时，有极限的( )A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D无关的条件答：D. 当时，有极限，只要求在的去心邻域内有定义即可，极限是否存在与在处是否有定义无关，故选D. (9)下列变量在给定变化过程中是无穷小量的是( )A BC D答：A. ，不

6、存在，因为不存在.(10)当时，是( )，则必有A任意函数 B无穷小量或有界函数 C无穷大量 D无界函数答：B. 根据无穷小的性质，并且若取，是无穷大量，因此不选A、C、D.(11)若，则必有( )A BC D(k为非零常数)答：D. 因为，选D；若取，有，因此不选A、C；若取，不选B.(12)当时，( )与是等价无穷小量A B C D答：B. ，不选A；，选B.，不选C.，则，不选D. (13)当时，都是无穷大量，则当时，下列结论正确的是( )A是无穷大量 BC D答：B. 若取，则，不是无穷大，不选A；，不选C；，不选D.(14)当时，若与是等价无穷小量，则之值一定为( )A B为任意常数

7、C为任意常数 D均为任意常数答：B. 若与是等价无穷小量，则，为任意常数，选B.(15)设时，与是等价的无穷小量，则常数( )A B C D答：C. ，得，故选C.(16)在点处有定义，是在处连续的( )A必要条件 B充分条件 C充分必要条件 D无关的条件答：A. 因为在点处连续，有连续定义可知，在点处有定义，但反之，在点处有定义则未必连续.(17)设，则( )A在点处连续，在点间断B在点处间断，在点连续C在点，都连续D在点，都间断答：B. .，因此不存在，在处间断，不选A、C. 又因为，所以，因此在处连续，选B.2、填空题：(1) ;解：.(2) ;解：.(3) ;解：.(4) ;解：.(5

8、) ;解：.(6) ;解：.(7)已知，则;解：，所以.(8)若，则;解：因为，且，所以，即，得.(9)，则 ， ;解：，即，则，.(10)函数在时是无穷大量，在时是无穷小量;解：由得，因此时，是无穷大量；由得，因此时，是无穷小量.(11) ;解：，故.(12) ;解：，故.(13)要使在处连续，则要补充定义;解：，所以补充定义，可使其在处连续.(14)设，则当 时，在处连续;解：，在处连续，则有，即成立.(15)设，当 时，在其定义域内连续解：在处连续，则其在定义域内连续，在点，故，知时，在处连续，也就在其定义域内连续.3、考察下列数列是否存在极限：(1) (2)(3) (4)(5)解：(1

9、) 通项，该数列极限存在.(2) 通项，(正整数)，该数列发散，极限不存在.(3) 通项，该数列极限不存在.(4) 通项，该数列极限存在.(5) 通项，当时，数列收敛；当时，数列的极限不存在.4、求下列各极限：(1) (2)解：(1) .(2) .5利用极限的夹逼准则，证明：(1)； (2)； (3)证明：(1) 因为，而，且由夹逼准则.(2) 即，而，由夹逼准则，即得证.(3) 因为，而，因此.338图66、设作的图形，并讨论当时，的左右极限解：的图形如图6所示.7、证明：不存在证明：因为，于是，所以不存在.8、设，求：(1)； (2)及解：(1) ，.(2) ，所以.9、求下列各极限：(1

10、) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)解：(1).(2).(3).(4) 因为，. (5).(6). (7). (8). (9).(10). (11). (12). (13).(14).(15) 因为，有无穷小量的性质：有界量乘以无穷小量为无穷小量，可知.(16)，所以.(17)，所以.10设，求. 解：.11计算下列极限：(1) (2) (3) (4) (5) (6)解：(1)；(2); (3). (4). (5). (6).12计算下列极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)解：(

11、1). (2).(3).(4).(5)(6).(7).13若，求a，b的值.解：，所以，. 14、当时，下列变量中哪些是无穷小量？.解：，所以是时的无穷小量；，所以是时的无穷小量；，所以不是时的无穷小量；，所以是时的无穷小量；，所以不是时的无穷小量；，所以是时的无穷小量；，所以是时的无穷小量；，所以是时的无穷小量；15利用等价无穷小的性质求下列极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6) (7) (8)解：(1)，其中，.(2)，其中(3)，其中，.(4)，其中.(5)，其中 (6)，其中，. (7)，其中，(8), 其中，.16求下列函数的间断点，并指出它们的类型：(1) (2) (3)

12、 (4) (5) (6) (7)(1)解：由于在处没有定义，因此是该函数的间断点，且，因此是该函数的第二类间断点（无穷间断点）.(2)解：在，处没有意义，因此和为该函数的间断点. 又因为，所以，为该函数的可去间断点，是该函数的无穷间断点. (3)解：在处没有定义， ，所以，为该函数的可去间断点. (4)解：，因此为该函数的可去间断点. (5)解：由于，即，所以，是该函数的跳跃间断点. 又因，因此，所以函数在处连续. (6)解：由于，但，即，所以，为该函数的可去间断点. (7)解：由于不存在，所以，为该函数的振荡间断点. ，即，所以，为该函数的跳跃间断点.又因，所以，为该函数的可去间断点.17讨

13、论函数的连续性，若有间断点，判断其类型.解：，在分段点处，因为，即,是的跳跃间断点（第一类）. 在分段点处，因为，即,是的跳跃间断点（第一类）.-1图1818函数在点处是否连续，并作出的图形.解：因为，于是，在处不连续.1图1921219函数在闭区间0，2上是否连续？并作出的图形.解：，于是，因此在处连续，且函数在上连续，故在闭区间上连续. 20函数在其定义域内是否连续，并作出的图形.-3图20-112解：的定义域为，易知在连续.在处，于是，因此，在间断.在处，于是，因此，在连续. 所以，在连续，在点间断，在定义域内不连续.21下列函数在给定点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点

14、，则补充或改变函数的定义使它连续.(1)；解：在无定义，因此为可去间断点（第一类），重新定义函数，则在连续.因为，为第二类间断点（无穷间断点）. (2)；解：对于，因为无定义，.所以，为第一类间断点（可去间断点）.对于，因为，所以，为第二类间断点（无穷间断点）.对于，因为，而函数在处无定义，所以，为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数：，则函数在和处连续. (3)；解：对，因为，均不存在，因此为第二类间断点. (4)解：对，因为，左右极限存在但不相等，因此为跳跃间断点（第一类间断点）.22k为何值时，函数(1)，在其定义域内连续；解：的定义域为，易知在内连续，在处，因为，因此当时，在定义域

15、内连续. (2) 在其定义域内连续解：的定义域为，易知在内连续，在处，因为，因此当时，即时，在定义域内连续.23证明方程在1与2之间至少存在一个实数根.证明：令，在连续，由于，由零点存在定理知，至少存在，使得，即. 所以方程在1与2之间至少存在一个实数根.24证明方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过.证明：令，则在区间上连续，由于，.若，则为方程，即为方程的正根；若，则由零点定理知，至少存在一点，使，即，即为方程的根，命题得证25证明曲线在内至少与轴有一个交点.证明：在连续，由于，由零点定理，至少存在一点，使得，即，所以曲线在内至少与x轴有一个交点.26设，求证在区间内至少有一点，使(提示令).解：令，则在上连续，由于，由零点定理知，至少存在一点，使得，即.27证明方程在内必有实根. 证明：令，则在连续，由于，由零点定理知，至少存在一点，使得，即方程在内必有实根.28证明方程在内至少有一个实根.证明：令，则在连续，由于，由零点存在定理知，至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个实根.29某企业计划发行公司债券，规定年利率的连续复利计算利息，10年后每份债券一