初中数学常见辅助线的添加方法

1、中考数学复习专题几何论证题中辅助线的添加方法例1:如图：等腰梯形 ADBC中AB / CD,底角/ ABC=45 对角线AC、BD交于点0,且/ BOC=120求:ADBC的值分析：在已知条件中，底角/ ABC=450,有的同学想到延长两腰，出现一个 等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 / BOC=1200的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D （或A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为120的等AD 腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求ADBC 的比值。证明：过D点作DF / AC交BC的延长线

2、于F,作DE丄BC于EAD / BC AC / DFn平行四边形ACFD二AD=CF Lac=dfi等腰梯形 ABCD 二DB=ACJ 二 BD=DFAC / DFn / BDF= / BOC=120DE 丄 BF/ BDE=60、二 J BE=EF I n BE=EF=V3a/ BED=90l设DE =a丿DE =CE = a -EF= 3aCF =AD=&3-1)a厂BC 二 BE CE 二(一3 1)aAD2 3BC ( .3 1)a2例2:求证：CM丄AD增添中点（或添平行线）的方法，故取AOD s如图：已知直线PQ是线段AB的中垂线，C是0Q上的任意一点，若0D丄BC于D, M是0D

3、的中点分析：在已知条件中，PQ是线段AB的中垂线，同学们肯定想到连结 AC 运用线段中垂线性质，但证明此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关 系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形”，使我们想到能否运用 三角形相似及线段成比例来解本题。而要证CM丄AD，从图中观察到如能证得/仁/A，那么CM丄AD即可成立；而/ A除了在Rt AON中，它还在 AOD 中，若把/ 1也放到与厶AOD相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个 与厶AOD相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件 M是0D的中点，想到32CG =筑=?=少， AOD CGM .OD b OD CGM。通过基本图形分析

4、，发现/2= / 3,故/ AOD= / CGM。因此证:AO 是本题又一关键。OD GM证明：取OC的中点为G,连GM, PQ是AB的中垂线,/ BOC=9O 设 OA=OB=a，OD=b .OD 丄 BC,/ CDO= / ODB=9O0 vZ 4+Z 3=900，Z 3+Z B=90 ./4=Z B， COD s OBD .=a，G、M 为 OC、OD 的中点.CD OD bOC=2CG, CD=2GM.Z 1 = Z A.vZ A+ Z ANO=90.Z 1 + Z CNH=900 即Z NHC=900，CM 丄AD.例3:如图：正方形 ABCD中，E、F分别AB、BC的中点,AF和D

5、E交于点P求证：CP=CD5#分析：要证明CP=CD，因为CP、CD在同一三角形中，一般三种思路可证： 思路（1）:只要证对角相等，即证/ 仁/2。如图（1）分别寻找/ 1、/ 2的等 量ABCD 是正方形，二 AB / CD，/ 2=/AEP，/ 1 = ?，延长 CP 交 AB 于 G，a/ 1 = / EPG。要证/ 1、/ 2只要证/ AEP=EPG，由已知可知，E、F为 AB、BC的中点可证： AEDBFA，可得AF丄DE，P为垂足。假设/ AEP=/ EPG，G可能为AE的中点，因此证PG为AE的中线是本思路证题的关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得 些 J =胆，设P

6、E为a，PAAD 2 PA为2a, PD为4a,因为AE / CD，可推得PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得 G为 AE的中点，PG是AE的中线，/ AEP=/ EPG成立。从分析的过程中得到思路（2），匹=电=匹=丄二 PG =丄 AE =丄 AB，” AB = PC =CDPD CD PC 424思路（3）:要证CP=CD，只要证：C在线段PD的中垂线上，取AD的中点，连 CH、PH,证：四边形 AFCH为平行四边形，由思路（1）可知，AF丄DE，故 CH丄DE，再证：CH平分PD,通过Rt APO易证CH平分PD。证明方法（1）： E、F 为 AB、BC 的中点，ABCD 是正方

7、形，二 AB=AD , / B=/ DAE , BF=AE ADEBAF ,二/ ADE= / EAP/ EAP+/ DAP=90,：/ ADE+ / DAP=90,：/ APD= / APE=90,/ ADE= / EAP,.APE DPA,AEAD常：设PE为a#.AP =2a, AP2 二 PE 卩D, PD = 4a, AB / CDEG _ PECD PD1 丁 AE4, AB= 1:2,#G为AE的中点，PG=EG / GEP=/ GPE,/ GPE=/ 1,/ GEP=/ 2/ 仁/2, CP=CD证明方法（2）（如图2）:取AD的中点为H，连CH、PH. ABCD 是正方形，二

8、 BC / AD , BC=AD , F、H 为 BC、AD 的中点, CF/ AH，CF=AH , AFCH为平行四边形. CH / AF，由证明方法（1）可知AP丄DE，故CH丄P. 在RtAAPO中，PH为斜边中线， PH 二丄 AD 二 DH , CH 垂直平分 PD,A CP=CD.2例4:0 Oi与。02相交于点A , P是O1O2的中点（1）如图（1）如果AC切O O2于点A，交O Oi于点C, D是AC的中点 求证：PA=PD（2）如图（2）如果过点A作两圆的一条割线交O O1于点C,交O O2于点B, 点D是BC的中点，那么PA与PD是否相等？如果相等，请给出证明；如 果不相

9、等，请说明理由。分析（1）:由已知可知，P为O1O2的中点，D为AC的中点，AC切于O O2于点 A。想到常用辅助线，连 O1D、O2A，由O1D丄AC , O2A丄AC ,得O1D / O2A , 作PG / O2A可证得G为AD中点，PG垂直平分AD，可证得PA=PD分析（2）:通过观察发现PA=PD,理由是什么？由已知条件，分别作O1E丄AC ,PH丄BC , O2F丄AB , P为O1O2的中点，所以H为EF中点，要证：PD=PA,只要证：DH=AH，现在只要证 DE=AF，因为 DE=CD CE, AF=EF AE，因为11CE=AE，所以证CD=EF是本题的关键，而CD二BC，所以

10、只要证EF二BC22即可。证明（1）:在图（1）中连 O1D、O2A，作 PG/ O2A. D 为 AC 中点， O1D 丄AC. AC切于O O2于点A , O2A 丄 AC. O2A / O1D/ PG. P为O1O2的中点, G为AD的中点，且 PG丄AD. PA=PD.证明(2):作OiE丄BC于E, PH丄BC于H , O2F丄BC于F,OiE/ PH/ O2. P为O1O2的中点, H为EF的中点，E为AC的中点，F为AB的中点.1111EF =AE AF AC AB (AC AB) BC ,22221v CD BC ,2 CD=EF, AF=EF AE , DE=CD CE. AF=DE.v EH=PH, DH=AH , PH 丄AD. PA=PD.从以上四例中，你是否有所收益，拿到几何题以后，应认真分析已知条件找 出证题中有用的