反常积分的概念

1、第一节 反常积分的概念第二节 无穷积分的性质与收敛判别第三节 瑕积分的性质与收敛判别第十一章 反常积分第一节 反常积分的概念一、问题提出例1 （第二宇宙速度） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度至少要多大？例2 圆柱形桶的内壁高为h，内半径为R，桶底有一半径为r的小孔，试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间？定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在区间在区间), a上连续，取上连续，取ab ，如果极限，如果极限 babdxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间), a上的广义积上的广义积分，记作分

2、，记作 adxxf)(. . adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在时，称广义积分发散时，称广义积分发散. .二、两类反常积分的定义类似地，设函数类似地，设函数)(xf在区间在区间,(b上连续，取上连续，取ba ，如果极限，如果极限 baadxxf)(lim存在，则称此极存在，则称此极限为函数限为函数)(xf在无穷区间在无穷区间,(b上的广义积上的广义积分，记作分，记作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在

3、在时时，称称广广义义积积分分发发散散. . 设函数设函数)(xf在区间在区间),(上连续上连续, ,如果如果广义积分广义积分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收敛，则都收敛，则称上述两广义积分之和为函数称上述两广义积分之和为函数)(xf在无穷区间在无穷区间),(上的广义积分，记作上的广义积分，记作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散. .例例1 1 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021x

4、dx 0211limaadxx bbdxx0211lim 0arctanlimaax bbx0arctanlim aaarctanlim bbarctanlim .22 例例2 2 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 例例 3 3 证证明明广广义义积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛，当当1 p时时发发散散.证证, 1)1( p 11dxxp 11dxx 1ln x, , 1)2( p 11dxxp 111pxp 1,111,ppp因

5、此当因此当1 p时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为11 p；当当1 p时广义积分发散时广义积分发散.定义定义 2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,(ba上连续，而在上连续，而在点点a的右邻域内无界取的右邻域内无界取0 ，如果极限，如果极限 badxxf )(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间,(ba上的广义积分，记作上的广义积分，记作 badxxf)(. . badxxf)( badxxf )(lim0当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .类似地，设函数类似地

6、，设函数)(xf在区间在区间),ba上连续，上连续，而在点而在点b的左邻域内无界的左邻域内无界. .取取0 ，如果极限，如果极限 badxxf)(lim0存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数)(xf在区间在区间),ba上的广义积分，上的广义积分，记作记作 badxxf)( badxxf)(lim0. .当当极极限限存存在在时时，称称广广义义积积分分收收敛敛；当当极极限限不不存存在在时时，称称广广义义积积分分发发散散. .设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上除除点点)(bcac 外外连连续续，而而在在点点c的的邻邻域域内内无无界界. .如如果果两两个个广广义义积积分分 cadxxf

7、)(和和 bcdxxf)(都都收收敛敛，则则定定义义 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0否否则则，就就称称广广义义积积分分 badxxf)(发发散散. .定义中定义中C为为瑕点瑕点，以上积分称为，以上积分称为瑕积分瑕积分.例例 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022 axadx0220lim aax00arcsinlim 0arcsinlim0aa .2 证证, 1)1( q 101dxx 10ln x , ,

8、 1)2( q 101dxxq1011 qxq 1,111,qqq因此当因此当1 q时广义积分收敛，其值为时广义积分收敛，其值为q 11；当当1 q时广义积分发散时广义积分发散. 101dxxq 例例 证明广义积分证明广义积分 101dxxq当当1 q时收敛，当时收敛，当1 q时发散时发散.例例 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx 21ln xxdx 210lnlim xxdx 210ln)(lnlim xxd 210)ln(lnlim x )1ln(ln()2ln(lnlim0 . 故原广义积分发散故原广义积分发散.例例 计算广义积分计算广义积分解解.)1(3032 xdx1

9、x瑕点瑕点 3032)1(xdx 103132)1()(xdx 1032)1(xdx 10032)1(limxdx3 3132)1(xdx 31032)1(lim xdx, 233 3032)1(xdx).21(33 无界函数的广义积分（瑕积分）无界函数的广义积分（瑕积分）无穷限的广义积分无穷限的广义积分 dxxf)( bdxxf)( adxxf)( cabcbadxxfdxxfdxxf)()()(（注意：不能忽略内部的瑕点）（注意：不能忽略内部的瑕点） badxxf)(三、小结第二节无穷积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质定理11.1 （柯西准则）无穷积分 adxxf)(收敛的充要条件是：

10、任给, 0aG只要,21Guu便有2121)()()(uuuauadxxfdxxfdxxf性质1 若adxxf)(1adxxf)(2与都收敛，21,kk为任意常数，则adxxfkxfk)()(2211也收敛，且adxxfkxfk)()(2211adxxfk)(11adxxfk)(22性质2 若f在任何有限区间,ua上可积，, ba 则adxxf)(与bdxxf)(同敛态，且有adxxf)(bdxxf)(badxxf)(性质3 若f在任何有限区间,ua上可积，且有adxxf| )(|收敛，则adxxf)(亦收敛，并有adxxf| )(|adxxf|)(|定义：当adxxf| )(|收敛时，称ad

11、xxf)(为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。但逆命题一般不成立。二、比较判别法 不通过被积函数的原函数判定广义积分收不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛性的判定方法敛性的判定方法.由定理，对于非负函数的无穷限的广义积分由定理，对于非负函数的无穷限的广义积分有以下比较收敛原理有以下比较收敛原理收敛收敛上有界，则广义积分上有界，则广义积分在在若函数若函数且且上连续，上连续，在区间在区间定理定理 设函数设函数 axadxxfadttfxFxfaxf)(),)()(0)(),)(证证.)()()()()()(0 ababaadxxgdxxgdxxfd

12、xxgxgxfba收敛，得收敛，得及及，由，由设设上有上界上有上界在在即即),)()( adxxfbFba也发散也发散发散，则发散，则且且并并也收敛；如果也收敛；如果收敛，则收敛，则并且并且上连续，如果上连续，如果区间区间在在、设函数设函数 ( (比较法则比较法则) )定理定理 aaaadxxfdxxgxaxfxgdxxfdxxgxaxgxfaxgxf)()(),()()(0)()(),()()(0),)()(11.2由定理知由定理知收敛收敛 adxxf)(.)(,)(),()(0必定发散必定发散则则发散发散且且如果如果 aadxxfdxxgxfxg也收，这与假设矛盾也收，这与假设矛盾收敛，由

13、第一部分知收敛，由第一部分知如果如果 aadxxgdxxf)()(例如，例如， 时发散时发散当当时收敛；时收敛；当当广义积分广义积分11)0(Ppaxdxap例例.1134的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根据比较审敛法，根据比较审敛法，.1134收敛收敛广义积分广义积分 xdx推论1 若f与g都在任何,ua上可积，, 0)(xg且,)(| )(|limcxgxfx则有：（1）当 c0时，adxxf| )(|与adxxg)(同敛态；（2）当0c时，由adxxf| )(|adxxg)(收敛可推知也收敛；（3）当c时，由adxxg)

14、(发散可推知adxxf| )(|也发散。推论2 设f定义于),a且在任何有限区间,ua上可积，则有：（1）当),1| )(|axxxfp且1p时adxxf| )(|收敛；（2）当1p),1| )(|axxxfp且时adxxf| )(|发散。推论3 设f定义于),a且在任何有限区间,ua上可积，且| )(|limxfxpx则有：（1）当0 , 1p时，adxxf| )(|收敛；（2）当0 , 1p时，adxxf| )(|发散。例例.112的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xxdx解解, 111lim22 xxxx所给广义积分收敛所给广义积分收敛例例.1122/3的收敛性的收敛性判别广义积

15、分判别广义积分dxxx 解解2222/31lim1limxxxxxxxx , 故所给广义积分发散故所给广义积分发散例例.arctan1的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分dxxx 解解xxxxxxarctanlimarctanlim ,2 故所给广义积分发散故所给广义积分发散三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理11.3 （狄利克雷判别法）若uadxxfuF)()(在),a上有界，)(xg在), a上当x时单调趋于0，则adxxgxf)()(收敛。定理11.4（阿贝尔判别法）若adxxf)(收敛，)(xg在),a上单调有界，则adxxgxf)()(收敛。例5 讨论) 0(sin1pdxxxp

16、的收敛性。解：（1）当1p时1sindxxxp绝对收敛。这是因为：), 1 ,1|sin|xxxxpp而11dxxp当1p时收敛，故有比较法则推知1|sin|dxxxp收敛。（2）当10 p时1sindxxxp条件收敛。这是因为对任意1u，有uuxdx12|cos1cos|sin|而px1当0p时单调趋于0，故由狄利克雷判别法推知1sindxxxp当0p时总是收敛的。另一方面，由于), 1 ,22cos21sin|sin|2xxxxxxxxp其中12cos2122cosdtttdxxx满足狄利克雷判别法故122cosdxxx收敛，而12xdx是发散的，因此当10 p时该无穷积分不是绝对收敛的，

17、所以它是条件收敛的。例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的：12sindxx12cos,dxx14sin,dxxx证明：分别换元2xt 结合例5即证。第三节瑕积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质定理11.5 （柯西准则）无穷积分 badxxf)(收敛的充要条件是：任给, 0, 0只要),(,21aauu便有2112)()()(uububudxxfdxxfdxxfadxxfkxfk)()(2211adxxfk)(11adxxfk)(22性质2 若f的瑕点为),(,bacax为任一常数。则badxxf)(与cadxxf)(同敛态，且有badxxf)(bcdxxf)(cadxxf)(性质1 设函数b

18、adxxf)(1badxxf)(2与都收敛21,kk为常数，则当瑕积分badxxfkxfk)()(2211也收敛，并有：1f2f的瑕点同为, ax 与时,瑕积分性质3 若f,(ba上可积，则当badxxf| )(|收敛时，badxxf)(亦收敛，并有badxxf| )(|badxxf|)(|定义：当收敛时，称为绝对收敛，称收敛而不绝对收敛为条件收敛。注：绝对收敛的无穷积分，它本身也一定收敛。但逆命题一般不成立。的瑕点为fax,在的任一内闭区间,buadxxf| )(|badxxf)(二、比较判别法定理11.6 （比较法则）设定义在,(ba上的两个函数f与g，瑕点同为, ax 在任何,bu,(ba上都可积，且满足：,(),(| )(|baxxgxf则当badxxg)(收敛时，badxxf| )(|必定收敛。当badxxg)(发散时，badxxf| )(|必定发散。推论1 若, 0)(xg且,)(| )(|limcxgxfax则有：（1）当 c0时，与同敛态；（2）当0c时，由收敛可推知也收敛；（3）当c时，由发散可推知也发散。badxxf| )(|badxxg)(badxxg)(badxxf| )(|badxxf| )