《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

1、学习好资料欢迎下载电动力学知识点归纳及典型试题分析一、试题结构总共四个大题：1 .单选题（10M2'）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，及对它们的理解。2 .填空题（10M2）：主要考察基本概念和基本公式。3 .简答题（5父3）：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意义的理解。4 .证明题（8'+7'）和计算题（9'+8'+6'+7'）：考察能进行简单的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率

2、、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。二、知识点归纳'8E一些-AD-知识点1:一般情况下，电磁场的基本方程为：VxH=十J;（此为麦克斯V,D=P；V,B=0.韦方程组）；在没有电荷和电流分布（P=0,J=0的情形）的自由空间（或均匀学习好资料欢迎下载L二汨WME=dt介质）的电磁场方程为:Em4=巫；（齐次的麦克斯韦方程组）V，D=0;vB=o.知识点2:位移电流及与传导电流的区别。答：我们知道恒定电流是闭合的：VJ=0.（恒定电流）在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有、J=-二0.ft现在我们考虑电流激发

3、磁场的规律：VmB=%J.（）取两边散度，由于引用XB三0,因此上式只有当VJ=0时才能成立。在非恒定情形下，一般有VJO0,因而（）式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改（）式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。把（成推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量Jd,它和电流J合起来构成闭合的量（J+Jd）=0,（*）并假设位移电流Jd与电流J一样产生磁效应，即把（）修改为Vxb=0（J+Jd）。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律FPPJ+二=0.电荷密度P与电场散度有关系式E=.两式合起来；。_fcE一-.八，,得：J十%一=。.与

4、（*）式比较可得Jd的一个可能表小式JD=，0.二t位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。知识点3:电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。学习好资料欢迎下载答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为:-cP; J *ds= - dVSV Ct*JcPft恒定电流的连续性方程为：.J=0知识点4:在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p和磁化强度矢量M各的定义方法；P与PP;M与j;E、D与p以及B、H与M的关系。答：极化弓S度矢量p：由于存

5、在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P描述，它等于物理小体积AV内的pi总电偶极矩与AV之比，P=-.pi为第i个分子的电偶极矩，求和符号表示V对AV内所有分子求和。磁化强度矢量M:介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布

6、。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度Jm0分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为a,则与分子电流相应的磁矩为：m=ia.介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积AV内的总磁偶极矩与AV之比，:pP,jM='、M,D=oEP,H=丁-MJ0知识点5:导体表面的边界条件。一.一一，nxE=0,n*D=0-、.一,答：理想导体表面的边界条件为：nE0，,。它们可以形象地nxH=.1n,B=0.j表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。知识点6:在球坐标系中，若电势中不依赖于方位角巾，这

7、种情形下拉氏方程的通解。答：拉氏方程在球坐标中的一般解为：:Rm .八n,mRn , bnm nrRpnm(cos0 rosm©十 £ fcnmR nn,m1n-dnml Pm cosi sinmRn 1式中anm,bnm,Cnm和dnm为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。Pnm（COS日）为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势邛不依赖于方位角弧这球形下通解为:中=£nan和bn是任意常数，由边界条件确定知识点7:研究磁场时引入矢势A的根据；矢势A的意义。答：引入矢势A的根据是：磁场的无源性。矢势A的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表

8、通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）值没有直接的物理意义。知识点8:平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。平面时谐电磁波的性质：（1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；（2） E和B同相，振幅比为v;（3E和B互相垂直，EXB沿波矢k方向。知识点9:电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。答：区别：（1）在真空和理想绝缘介

9、质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在导体中）。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。知识点10:电磁场用矢势和标势表示的关系式。B="A答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：匚=_中_当,ft(r、Px,tIc'':x,t二dv答：推迟势为:4二；0r/'+Jx,t-iAx,t=-0-dv4二r.2.2A-t

10、-=-%Jc2ft2达朗贝尔方程为:2c2；t2；0、11”' A F c ft知识点12:爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c,并与光源运动无关。知识点13:相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）洛伦兹反变换式:

11、x vt学习好资料欢迎下载速度变换公式:Ux 7Ux 二uy7yVUx,-2c21 v1 c7VUx2cUzUz1v22cvux知识点14:导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系。答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。基本假设为：光速不变原理(狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c作为基本假设，这就是光速不变原理)、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。当惯性系

12、S'(即物体)运动的速度V«c时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。知识点15:四维力学矢量及其形式。答：四维力学矢量为：(1)能量一动量四维矢量(或简称四维动量)：pN=p,W(2)速度矢量：Un=-=+-(3)动量矢量：p(i=m°U卜(4)<cJdTdt四维电流密度矢量：J1=P0U(1,J口=(J,icP)(5)四维空间矢量：x(i=(x,ict)(6)四维势矢量：An=(A中|(7)反对称电磁场四维张量：F因-二'(8)cx.l四维波矢量：k=,.w k,i- c知识点16:事

13、件的间隔：答：以第一事件P为空时原点(0,0,0,0);第二事件Q的空时坐标为:(x,y,z,t),这两事件的间隔为：22,22222,22s=ct-xyz=ctt式中的r=%-,x2+y2+z2为两事件的空间距离。两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况：(1)若两事件可以用光波联系，有r=ct,因而s2=0(类光间隔)；(2)若两事件可用低于光速的作用来联系，有r<ct,因而有s2>0(类时间隔)；(a)绝对未来；(b)绝对过去。(3)若两事件的空间距离超过光波在时间t所能传播的距离，有rct,因而有s2<0(类空间隔)。知识点17:导体的静电平衡条件及导体静电平衡时

14、导体表面的边界条件。答：导体的静电平衡条件：(1)导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上；(2)导体内部电场为零；(3)导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。导体静电平衡时导体表面的边界条件：o(=常量；!.=-CT.n:n知识点18:势方程的简化。答：米用两种应用最广的规范条件：(1)库仑规范：辅助条件为1*A=0.(2)洛伦兹规范：1辅助条件为：'一A4=0.c2ft？)=iJ例如：对于方程组:(适用于c二tcCt(2、*A=A般规范的方程组)若采用库仑规范，可得:若采用洛伦兹规范，可得:52A -2, 2c ;=t；0（'、 A=0）.

15、2 .v2A_ = _°jc2 ft2 2约二二二，（此为达朗贝尔方程）。c Ft；0（ i人、V A +二=0 II c ct）知识点i9：引入磁标势的条件。答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所环绕，或者说，该区域是没有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为:=0%H *dL =0L知识点20:动钟变慢:S系中同地异时的两事件的时间问隔，即''S系中同一地点X2 =Xi ,先后（t2#3）发生的两事件的时间问隔t2 一 ti在S系的观测:X2一 ti二Xi v （t； -ti ） X； -Xici ct2 - ti卜-cAt2（：二t2i-v2cl称为固有时

16、，它是最短的时间间隔，囱三知识点2i：长度收缩（动尺缩短）.'一一、4'一.一.一“、置同时测定' X2 -X1X2 - X1i-v；cl =lofi -vrM -Xi =lo,X2 - Xi = l）尺相对于S系静止，在S系中观测1'=X2-Xi在S系中观测t2=ti即两端位lo称为固有长度，固有长度最长，即loAl。知识点22:电磁场边值关系（也称边界上的场方程）n（E2-Ei）=0,n（H2-H1）=:,n“D2-Di）-；一，n“B2-B1）=0.知识点23:AB效应1959年Aharonov和Bohm提出一种后来被试验所证实的新效应（这简称A-B效应）

17、，同时AB效应的存在说明磁场的物理效应不能完全用B描述。知识点24:电磁波的能量和能流平面电磁波的能量为：w=E2=-B2P.J竟_J£平面电磁波的能流密度为：S-EH/二E（nE）：-E2n.能量密度和能流密度的平均值为：B02日0-1*1；2SRe（EH）=.E0n.22口知识点25:波导中传播的波的特点：电场E和磁场H不同时为横波。通常选一种波模为Ez=。的波，称为横电波（TE）;另一种波模为Hz=0的波，称为横磁波（TM）。知识点26:截止频率定义:能够在波导内传播的波的最低频率Wc称为该波模的截止频率。nI+I计算公式：（m,n）型的截止频率为：Wc,mn=、=laJlbJ

18、;若a>b,则TE1011波有最低截止频率，Wc,10=二.若管内为真空，此最低截止频率为c2a,2二2a口；相应的截止波长为：4,10=2a.（在波导中能够通过的最大波长为2a）知识点27:相对论的实验基础：横向多普勒（Doppler）效应实验（证实相对论的运动时钟延缓效应）；高速运动粒子寿命的测定（证实时钟延缓效应）；携带原子钟的环球飞行实验（证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效应）；相对论质能关系和运动学的实验检验（对狭义相对论的实验验证）.P.,E二;知识点28:静电场是有源无旋场：qo（此为微分表达式）、E=0.稳恒磁场是无源有旋场：B=0;_（此为微分表达式）'u

19、1-V22dyycu二二ydt1-vuxc2x知识点29:相对论速度变换式:Uxdx=2二v 其反变换式根据此式dtVUxUzJ1-vI. cdzUz=',2.dt1-vUxcUxUy。Uz知识点30:麦克斯韦方程组积分式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。FBEdl=-*dssFt111E寸B,dl=%|j+%*ds答：麦克斯韦方程组积分式为：LS-史一-1，Eds二一-dVS-0V、Bds=0空.:tfE麦克斯韦方程组微分式为：,B=0j一0；0三-PE=；0B=0依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。三、典型试题

20、分析1、证明题:1、试由毕奥沙伐尔定律证明VB=0证明：由式：B=-fJx:rdv=生J(xA)dv又知：4二r4二r m J(x,)1JEmj&'), 一 r . r因此B=£MJx-dv'A式中4二r-0JxdvA=-4二rB=(><A)=0所以原式得证A2、试由电磁场万程证明一般情况下电场的表小式e=-平-一ft证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接

21、联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。B=VxA式代入VmE=-四得：VMfE+2)=0,该式表示矢量E+空是无旋a<ci)ctA场，因此它可以用标势中描述，E+空=-中。因此，在一般情况下电场的表：:t一.；:A小式为：E=-V<P-A.0即得证。ft3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式l=lojlv2。c答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物.*-、-=、一一-'变换式得 2=2-？2体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为工o若物体后端经过P1点（第一事件）与前端经过P2点（第二事件）相对于工同时，则P1P2定义为工上测得的物体

22、长度。物体两端在工上的坐标设为X；和X2。在工上Pi点的坐标为Xi,P2点的坐标为X2,两端分别经过Pi和P2的时刻为ti=t2。对这两事件分别应用洛伦兹X2-vt2,两式相减，计及ti=t2,有2i<2X2-X；=爷马（*）式中X2-Xi为工上测得的物体长度l（因为坐标Xi和X2是在工,1-C2上同时测得的），X2-Xi,为工上测得的物体静止长度I。由于物体对工静止,所以对测量时刻ti和t2没有任何限制。由（*）式得l=I。J-v2c4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系E=-VQ答：由于静电场的无旋性，得：qEdI=。设Ci和C2为由R点到P2点的两条不同路径。Ci与C2合成闭

23、合回路，因此E,dl-E,dl=。CiC2即fE,dl=1Edl因止匕，电荷由CiC2P,点移至P2点时电场与对路它淘共和两端点有觉勺把单位正电P2荷由Pi点移至P2,电场E对它所作的功为：EdI,这功定义为Pi点和P2点的电PiP2势差。若电场对电荷作了正功，则电势中下降。由此，穴P2中（Pj=-E,dI由Pi这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。相距为dl的两点的电势差为d=-E*dl.由于d5=Jdx+Jdy+Jdz=*dl,因此，电场强度E等于电势中的负梯度一二xfy；zE-.5、 试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程V2A=-kj。答：已知恒定

24、磁场方程:父B=%J(1)(在均匀线性介质内)，把B=VxA(2)代入。得矢势A的微分方程VmUmAANJ.由矢量分析公式mRxA产A)-V2A.若取A满足规范条件VA=0，得矢势A的微分方32A-J.'、*A=06、试由电场的边值关系证明势的边值关系%-2J=-2f:1；:n证：电场的边值关系为：TELEA0,('Ll*)式可写为D2n-Dm=a()nD2-D1=c.*式中n为由介质1指向介质2的法线。利用D=sE及E=-平，可用标势将()表为：势的边值关系即得证。7、试由静电场方程证明泊松方程沏=-。fvXE=0.(1)答：已知静电场方程为：L八并知道E=-VQ(3)在均匀

25、各向同性线D=P.(2)p性介质中，D=&E,将(3)式代入(2)得V2cP=,P为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。.E(x)=-(x)；0Bx答：麦克斯韦方程组E(x)=一ZT表明，变化的磁场可以激发4Bxj>0Bx-Ojx；0%iEA电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到一V2E(x)=空三电)，再把第四个方程对时间

26、求ft导，得到户Bx=即一垂”从上面两个方程消去"B(x”,得到ftftFt2E(x)-比之巨孚)=0。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是1-c.;0-09、 试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件nE2-E1)=0;nD2-D1=、.；nB2-B1=0.D，ds=:dVSV解：即：ASnD2-ASnD1nD2-D1=、fD2n-Din=、对于磁场B,把BdS=0应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以S上推导可得：B2n-B1n即：nB2-B1=0作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为N,短边边长为因为，JEd=0,作沿狭长矩

27、形的E的路径积分。由于四比3小得多，当Alt0时，E沿包积分为二级小量，忽略沿的路径积分，沿界面切线方向积分为：E2t3-EiCl=0即：E2t-Eit-0,(*卜(*)可以用矢量形式表小为：(E2-Ei)'t=。()式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。令矩形面法线万向单包矢量为t,它与界面相切，显然有t=nxt(#)将#K代入(2，则(E2-E1)(nmT')=0,($),利用混合积公式AdBmC"C<AmB),改写(#)式为：1E2-E1an】=。此式对任意t都成立,因此(工-e1hn=0,此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的10、试由麦克斯韦方

28、程组推导出亥姆霍兹方程V2E+k2E=0答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有Ext=ExeJwt一D=eE,B=NH,把时谐电磁波的电场和磁场方程：,后.代入麦氏Bx,t=Bxewt.cl 8B mE =,a方程组VmHm贮，消去共同因子e&tctD D = 0,-B =0.V x E = iwRH ,S m H = iw wE后得,在此注意一点。-E =0,、H =0.在w#0的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于(Vxe)=0,因而H=0,即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由

29、以上两式导出。取第一式旋度并用第二式得E)=w2E由22V2E+k2E=0一、V x(Vx eE )-2E = V2E ,上式变为Ek,J”此为亥姆霍兹方k=wJRe.11、 试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。证明：(1)导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内£=0,而：n"E2-E1)=0,二:父E2=0,故E0垂直于导体表面。(2)导体中通过恒定的电流时，导体表面仃f=0.二导体外E2=0，即：D2=0而：nD2D1）=<if=0,即：n.D1=n

30、.8E1=o,-nE1=0。导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。12、 设A和中是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z（X,t）（赫兹矢量）,若令邛=?,证明A=Z.c2ft证明：A和邛满足洛伦兹规范，故有、11:cA5=0.c2Ft1 ；Zc2 ct:=，.Z代入洛伦兹规范，有:1V.AZ)=05A=Vc2；:tA1；ZA=c二t2、计算题:1、真空中有一半径为R0接地导体球，距球心为a（aAR°）处有一点电荷Q,求空间各点的电势。解：假设可以用球内一个假想点电荷Q'来代替球面上感应电荷对空间电场的作-一->»'.一-'一一

31、一用。由对称性，Q应在OQ连线上。关键是能否选择Q的大小和位置使得球面上邛=0的条件使得满足?考虑到球面上任一点P。边界条件要求Q+耳=0.式中r为Q到P的距离，rrr'为Q'到P的距离。因此对球面上任一点，应有匚=Q=常数。（1）由图可看rQ出，只要选Q'的位置使AOQ,P&OPQ,则'匚='=常数。（2）设Q'距球心为b,两三角形相似的条件为ra上"="0，或b="0".（3）由（1）和（2）式求出Q=-0Q.（4）（3）和（4）式确R0aaa定假想电荷Q'的位置和大小。由Q和镜象电荷Q

32、激发的总电场能够满足在导体面上邛=0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点p的电势是：4二；o ILr arQ：2 a2 -2Racos1R0Qa.R2 b2 -2Rbcosu式中r为由Q到P点的距离,'、»'一，>一一、,、»一、一，,一一、.r为由Q到P点的距离，R为由球心。到P点的距离,a为op与oq的夹角。2、两金属小球分别带电荷8和一日，它们之间的距离为I,求小球的电荷（数值和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。Bz'lRPeikRsinw,解：可知赫兹振子激发的电磁场：_0二（取

33、球坐标原点在E=2PeikRsina.4二；0c2R电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡,赫兹振子辐射的 i.S Re E H =22。Re Lb* n b L2%流1 2PE沿径线上振荡。）0 密 度为：s232 s320c R2 口n. n因子sin29表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。在H=90°的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向（9=0和冗）没有辐射。3、已知海水的Nr=1,<T=1sm/试计算频率v为50、106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度12二=a'r=1-r=0，1

34、>v=50Hz时:二72m3>v=109Hz时:：16mm:0.5m2>v=106Hz时:4、电荷Q均匀分布于半径为a的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。解：作半径为r的球(与电荷球体同心)。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E,并沿径向。当ra时，球面所围的总电荷为Q,由高斯定理得2QEds=4二rE=；0因而e=34二；0r,写成矢量式得E=-Q,3仃>a1)4二；0r若r<a,则球面所围电荷为:3Q43a3Qr33-a应用高斯定理得：:Eds=4：r2E=-Qr-y.3a由此得E=J.r：二a*4二；0a现在计算电场的散度。当r&

35、gt;a时E应取()式，在这区域r#0,由直接计算可得''''。=0,r=03r因而E=4二；0r3=0.ra3r当r<2时£应取(*取，由直接计算得E=Q-，=3=£。<24二；°a4二；°a；。5、解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把n 黑(H 2 _ H1 )=",n D2 -D1（* ）应用于下半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为P,球内有一不带电的球形空腔,其半径为R,偏心距离为a,（a+R<R）求腔内的电场。解：这个带电系统可视为带正电（+P）的R球与带负电的（-P）的R1球的

36、迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点M之电场强度为:3；o3；or-ra3；06、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为主仃f求电场和束缚电荷分布。"父亿2-Ei)=0,nB2-Bi=0.板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得D1 =仃同样把（* ）式应用到上板与介质2界面上得D2 =仃由这两式得E1；二f 一 ，一一.束缚电何分布于；2介质表面上。在两介质界面处，0 f，由编任2口 一 Eg尸。f +bp得；p = ；0 E2 - E1)=；0；0_- I Ji I在介质下板分界处由 %任20 一 Em )=bf +bp 得'' ap容易验

37、证,仃 +<J +CTP P P=0,介质整体是电中性的。.；oE1f在介质2与上板分界处,1-7、截面为S,长为l的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为b,若极化强度为kx,沿X轴（P=kxi）0求:（1）求每端的束缚电荷面密度仃；（2）求棒内的束缚电荷体密度Po（3）总束缚电荷。解：（1）求b在棍端P2n-Pin=T!P2=P2n=0,Pin=仃，P=kx'二A=PinA=-P/x=b=-kb二B=RnB-P/x=b1=k（bl）:、-'、P,P=kxi(2)求P'由,dpP=-上=-kdx（3）求qq=（oB+仃AS+PSI=（k（b+l）kbSksl=

38、08、两块接地的导体板间的夹角为a,当板间放一点电荷q时，试用镜像法就=900、600的情形分别求其电势。解：设点电荷q处于两导体面间（R,0L点，两导体面间夹角为a,各象电荷处在以R为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量R表示，设q及其各个象电荷的位置矢为R。、Ri、，则有Ro=ReR=R0ei2（a_9）=Rei（2a*）,R2=R0e,2H=Re皿，=晨"2（2"3）=Re，"中），=康2M）=Rei软阳）=R3ei2fa-)=Rei(4a3)R7R8;百个"用)=ReY2"即,3=Re«=R6ei22»=Rei4&#

39、187;.a=-1R1uRe®R2=Re',21)R3=Re平由)，R4=Re<"),丫2+9=2n-5-日)eW)=eT叫二R4=R3,象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为:x1-Rcos1,x2=Rcos1,x3-Rcos,y1=Rsin6,y2=Rsin仇y3=RsinB.小q11111甲=+一4位0/123+空间任意一点的电势式中r=%；(xRcos62十(yRsin02十z2,r1=虱x+Rcos62+(y-RsinO)2+z2,r2=<(x-RcosOf+(y+Rsin92+z2,r3=、/(x+RcosQf+(y+Rsin02+z2.

40、2)R5=Rei号时,R6=Re，*希)&=R5,象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为:XiX2=Rcos1一3=Rcos3-6i=Rcos+6【3yi=Rsin-R-Rsin+6y2=-Rsin仇X3=Rcos-R=-Rcosi二33X4=RcosB=-Rcos3y3=-Rsin一日=-Rsin二十8Iy，=Rsin3+0i=Rsin-0【3X5=Rcosi一,3ji-9I=-Rcos-0313y5=Rsin13一日=-Rsin一一日313.:二4二；0r121+十3各个r由相应的象电荷坐标确定。9、在一平行板电容器的两板上加U=v°coswt的电压，若平板为圆形，半

41、径为a,板间距离为d,试求(1)、两板间的位移电流jD；(2)、(3)、电容器内离轴r处的磁场强度;电容器内的能流密度。jD.E解：（1）.:t.:t.:E.:td<d)dctinwtdjD.八VoW、j=JdSz=Sinwtez22二rH=jD二rjDv0w-H=-r=rSinwt22dv0w-H=一一0-rSinwte-2dr=a时，九;一SaSinwte.2d22一二1usnaVnW-一(3)J(EmH)ds=2nadHa=2nauHa=SinwtCoswt薪dd10、静止长度为10的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁

42、到前壁的运动时间。解：S系的观察者看到长度为10J12的车厢以V（V=v）运动，又看到小球以u=ui追赶车厢。二小球从后壁到前壁所需的时间为：t =u - Vu _V =1 Vu0 2u/l-V2,"ot2 -tl = j 2 Mt? t； )+(X2 - X； »y'1v c 工c一心。11、求无限长理想的螺线管的矢势A（设螺线管的半径为a,线圈匝数为n,通电电流为I）'解：分析：A=，Jdv',j&'dv,T。4二Vr：qA,dl=B,dJ,又对于理想的无限长螺线管来说，它的B为：R0nI1s（1）当r<a时，可得：24A=

43、nr2B一生物nIT2MA=叼*0川t庆=上创3丫2(2)当 ra 时，同理可得：2nrA = na2BT 2nrA = Jia2R0nI t A =,2.二 0nIa 1ey2 r y12、在大气中沿+Z轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式=J2M10"5cos107nt+-k0zi'A(1)求k0 。 (2)写出E的瞬时值表达式解:1 k0w 107 二 二-8 ，v 3 1030=v串H一 一 4=24 二 10一cos 10 7nt +一 k0z i1一 一 ,_4,_7 JL .E = i 24n x 10 cos 107M + k0z i13、内外半

44、径分别为a和b的球形电容器，加上v=Vocoswt的电压，且编不大,故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度jD及穿过半径R(a<R<bW勺球面的总位移电流Jd。解：位移电流密度为:jD =% 与，又E =二 tv0 coswt一 ；ov0w穿过半径-b -a R sin wtR (a <R <b)的球的总位移电流JD为：- 2Jd =Jd4二R24 R v0w ；0 sin wtr*14、证明均匀介质内部的体极化电荷密度Pp总是等于体自由电荷密度的-1-1倍证：p=P-七；-*E-十即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度Pp总是等于体自由电荷密度15、一根长为l

45、的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H,方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？解：金属棒倒下接触桌面时的角速度w由下式给出1cl1-Iw=mg-式中为棒的质重，I为棒绕环点的转动惯重（-ml）,g为重1,22,一 ml w = m g l ,w =223力加速度，代入得棒接触桌面时的感生电动势为:；=E dl = v B dl = owxJ0Hdx=w-0H I xdx = . Sg 0H - = g .gl3 -0H此时棒的A点电动势高。16、点电荷q放在无限大的导体板前，相距为a,若q所在的半空间充满

46、均匀的电介质，介质常数为名，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。解：设象电荷q'位于（-a',0,0）尝试解为：邛=13+雪，x>0qR4n（圆rj设在导体板上,当R,R'；,=0,c=0.'99二0二一且RRRRR=aq2 2-=a q ,a = a.故 中= 值 lrr )y2z2,R''a'2y2z22a2y2z2q2=b2y2z2q2即:又'2'2 22 2=a q , ； a此式对任何V、z都成立，故等式两边v、z的对应项系数应相等,2222'222r=x-ayz,r=xaj+yz.(2)求 EE_湃q：a1产(11)抑,xex4m|_V_crr)ex<cxrJex(3)求二D2n-Din=二,Dm=0.；-= Dx/x卫=;Ex / xz0=qa2 二 R317、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为1。，它们以相同速率v相对于某一参考系运动，但运动方向