《实变函数》第一章 集合

1、第一章 集合 （总授课时数 8学时） 由德国数学家Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括 实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识§1、集合及其运算教学目的 引入集的概念与集的运算, 使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点 De Morgan 公式是常用的公式. 证明两个

2、集相等和包含关系是经常要遇到的论证, 通过例子使学生掌握其基本方法.集列的极限是一种新型的运算, 学生应理解其概念.本节难点 对集列极限的理解.授课时数 2学时一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类以后常用大写字母表示集合，用小写

3、字母表示集合中的元素如果是集合的元素，则说属于，记作，或说A含有a如果不是集的元素，则说不属于，记作，或说A不含有a有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素的集合称为单元素集或独点集，可表示为由个元素所组成的集合，可表示为由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为当集是具有某性质的元素之全体时，我们用下面的形式表示：例如，方程 的解x的全体组成的数集是，实际上就是.有时我们也把集具有性质改写成具有性质例如，设是定义在集合上的一实函数，是一个实数，我们把集写成或不含任何元素的集合称为空集，记作设，是两个集，若 和的元素完全相同，就称和相等，记作= (或=).若集合的元素都是集合

4、的元素，就称为是的子集，记作B (或B)，读作 包含于 (或B 包含A)若A且,就称A是的真子集，规定空集是任何集的子集由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理1 对任何集合，C，均有（1）；（2）若，则；（3）且二 集合的运算设，是两个集合，集合与的并集或并集合与的交集或交特别地，若，称与不相交；反之，则称与相交集合减的差集或差:当时，称差集为关于的余集记作()当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集的子集时，就称为基本集或全集，并把的子集关于的余集 简称为B 的余集，记为或.并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合,此时我们

5、称是以为指标集的集族，集族的并与交分别定义为:例 设则,关于集合的并和交显然有下面的性质：(见课本P9-P10)更一般地有: De Morgan公式,证明（略）注：通过取余集，使与，与互相转换.三、集列极限 设是一个集合序列，其上限集和下限集分别定义为上极限集： 下极限集： 或除去有限个集外，有当充分大时，有 注： 例：设，则上极限集为,下极限集为.极限集如果集列的上极限集与下极限集相等，即则称集列收敛，称其共同的极限为集列的极限集，记为：单调增集列极限定理2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列单调增加，则2) 如果集列单调减少，则例1：设则，例2：设则，小 结 本节介绍了集的基本概念, 集的运

6、算和运算性质. 这些知识是本课程的基础.证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要, 以后会经常用到. 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念. 作业：P30 5, 7, 8练习题1. 设为一集列：（1）作，证明为一列互不相交的集列，且（2）若是单调减少的集列，证明并且其中各项互不相交.2. 证明:(1) ,(2) (3) 单调递增时，有(4) 单调递减时，有3. 已知，求和，并问是否存在？§2 对等与基数教学目的 介绍映射, 基数,等概念和它们的属性.本节要点 一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心.基数的概念，讨论都要用一

7、一对应的方法.证明两个集对等或具有相同的基数,有时需要一定的技巧, 因而具有一定难度, 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握其中的技巧.本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数 2学时1 映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是的子集, 值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念. 定义：设,是两个非空集合，若依照对应法则，对X中的每个，均存在中唯一的与之对应，则称这个对应法则是从到的一个映射，记作或：设,是两个非空集合，是的子集，且对任意，存在唯一的使，则是从 到的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：

8、像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外, 我们还经常会遇到许多其它的映射. 例如, 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2 集合运算关于映射的性质（像集）定理1 ：设是的子集，称为的像集，记作，则有：一般地有一般地有 证明的过程略注： 一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理2：设是的子集，称为的原像集，记作不一定有逆映射），则有：一般地有：一般地有：证明略.注：6），

9、7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当为单射，7）等号成立当且仅当为满射.3 对等与势1）定义设，是两非空集合，若存在着到的一一映射（既单又满），则称与对等,记作. 约定.注：（1）称与对等的集合为与A有相同的势（基数），记作.（2）势是对有限集元素个数概念的推广.2）性质自反性：对称性：传递性：例：证明：令，则是到的一一映射.故注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较若 则称 若则称相当于：到有一个单射，也相当于到有一个满射.若且则称.注：不能用与的一个真子集对等描述. 如：4 Bernstein

10、定理引理：设是两个集族，是一个指标集，又而且中的集合两两不交，中的集合两两不交，那么：证明略定理3:（Bernstein定理）若有的子集，使及的子集，使则 即：若则证明：根据题设，存在到上的一一映射，以及到上的一一映射.令，由知而故与不交. 从而在的像不交，在下的像不交.由知与不交，故两两不交.从而在的像也两两不交，从而两两不交，也两两不交且所以另外由可知又所以， 证毕注：要证需要在与间找一个既单又满的映射；而要证，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例：证明：由可知，作业：P30 9, 10 练习题1. 上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一

11、一对应？ 2证明:若则.3. 证明：若，则有.4.设是上的全体实函数所成的集合，而是的全体子集所成的集合，则.§3、可数集合教学目的 介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点 可数集是具有最小基数的无限集.可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来, 可数集证明技巧较强 通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握.本节难点证明集合可数.授课时数 2学时 可数集的定义与自然数集对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为或注：可数当且仅当可以写成无穷序列的形式例：1）2）中的有理数全体 可数集的性质（子集）定理1 任何无限集合均含有可数子集.证明：设是一个无限集，取出其中的一个元素

12、从中任取一元素，记为.则,在中取一元素,显然.设从中已取出个互异元素,由于是无限集，故,于是又可以从中取出一元素,它自然不同于.所以，由归纳法，我们就找到M 的一个无限子集它显然是一个可数集证毕这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集，假设两两不交，则 （当集合有公共元素时，不重复排）关于可数个可数集的并仍为可数集的证明 当互不相交时，按箭头所示，我们得到一个无穷序列;当有公共元时，在排列的过程中除去公共元素；因此是可数集。说明: 与Hilbert旅馆问题比较; 如何把无限集分

13、解成无限个无限集合的并?例 全体有理数之集Q是可数集首先0,1中的有理数全体=0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, 是可数集，所以Q是可数集（可数个可数集的并）说明：有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).3 可数集的性质（卡氏积）定理：有限个可数集的卡氏积是可数集只须证：设是可数集，则也是可数集（利用数学归纳法即得有限个乘积的情形）固定，在变变从而也是可数集（可数个可数集的并）例1 平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体为可数集证明：平面上的圆由其圆心 和半径唯一决定,从而例2 代数数全体是可数集整系数多项式方程的实根称

14、为代数数；不是代数数的实数成为超越数。设是整系数多项式全体所成之集, 是次整系数多项式全体首先 ，（有限个可数集的卡氏积）故 为可数集（可数个可数集的并）由代数基本定理知任意次整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.例3 设是一个无限集，则必有，使 ，而 可数证明：由是一个无限集，则包含可数子集，令，则，且是可数集，证毕.小 结 本节利用一一对应的思想, 给出了集的基数和可数集的定义. 集的基数是有限集元素的个数在无限集的推广. 可数集是具有最小基数的无限集. 可数集经过有限或可数并运算后仍是可数集. 有理数集是一个重要的可数集作业：P30 12, 15练习题1、 设中的元素是直线上两两不

15、交的开区间，则为至多可数集.2、 怎样建立无限集与它的一个真子集的一一对应关系？3、 证明任一可数集的所有有限子集全集是可数集.4、 证明递增函数的不连续点的全体为至多可数集.§4、 不可数集合教学目的 介绍不可数集概念及其属性.本节要点 区间是典型不可数集，注意比较可数集与不可数集性质的异同，利用集证明相关问题具有重要意义 ，相应的证明技巧较强，通过较多的例题和习题,使学生逐步掌握.本节难点证明集合不可数.授课时数 2学时不是可数集的无限集称为不可数集1 不可数集的存在性定理1 区间是一个不可数集证明： 假设可数，则上的点可以排成一个无穷序列：记为，把 三等分于其中取一不含的闭区间

16、，记为，则的长度.再把三等分，取其中不含的闭区间，记为，则，这样下去，可以得到一列闭区间满足：故形成闭区间套，因此存在唯一点，而由假设，使得，这与矛盾，故是不可数集.2 连续势集的定义定义1：与区间对等的集的基数称为连续基数（连续势），这个基数记作推论1 证明： 由定理1.4.1 知，但，故.证毕推论2 开区间的基数也是定理2 全体实数所成之集的基数是证明 令 ，则是到上的一一映射，所以的基数是.推论1 全体无理数所成之集的基数是3 连续势集的性质（卡氏积）（1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集定理3 设，则（证明略）推论 维Euclid空间的势为（2） 连续势集的性质（并集）连续势集的（有限个，可数个，连续势个）并仍为连续势集定理4 实数列全体所成之集的基数是（证明略）4 无最大势定理定理5（Cantor）：设是一个任意给定的非空集合，则.证明：首先与的一个子集对等是显然的，只考虑即可。假设，则存在到上的一一映射，令，由于是的子集，即，因此存在，使得（1） 若，则由的定义，有（2） 若，则由的定义，有这是矛盾的.故.5 可数势与连续势定理6：或（即）证明：由于N的子集全体与特征函数全体存在一一对应关系，故与对等；下证：对任意的令易知是单射，所以. 另一方面，对，设 （有无穷多1）（即：将写成二进制小数且要求不以0为循环节）.作；，其中（即将小数对应到序列）易