二、平面上曲线积分与路径 无关的条件

1、二、二、平面上曲线积分与路径平面上曲线积分与路径 无关的条件无关的条件一、一、格林格林( (Green) )公式公式第五节格林公式第五节格林公式 平面上曲线积分与路径无平面上曲线积分与路径无 关的条件关的条件第五模块第五模块二二重积分与曲线积分重积分与曲线积分定理定理( (格林定理格林定理) ) 设设 D 是以分段光滑曲线是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域为边界的平面有界闭区域，函数函数 P(x, y) 及及 Q(x, y) 在在 D 上具有一阶连续的偏导数上具有一阶连续的偏导数，则则 ,ddd LDyQxPyPxQ 一、一、格林格林( (Green) )公式公式其中曲线积分是按沿其

2、中曲线积分是按沿的正向计算的的正向计算的，公式公式 称为称为格林公式格林公式. y x a b O A B CDLEy = 2(x)y = 1(x)证明证明假定穿过区域假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴内部且平行于坐标轴的直线与的直线与 D 的边界曲线的交点不超过两个的边界曲线的交点不超过两个.例如区例如区域域 D 为图所示，于是根据二重积分的计算法，有为图所示，于是根据二重积分的计算法，有xyyPyPbaxxDddd)()(21 .d)(,)(,12xxxPxxPba 另一方面另一方面.由曲线积分计算，有由曲线积分计算，有xxxPxxxPabbad)(,d)(,21 .)d(,)(,21x

3、xxPxxPba BCAAEBLxyxPxyxPxPd),(d),(d所以所以.dd DLxPyP 同理可证同理可证 DLyQxQ.dd 两式相加，即得两式相加，即得 DLyQxPyPxQ.ddd 取取 P(x, y) = - - y，Q(x, y) = x，由格林公式得，由格林公式得.dddd2 DLyxxyyx上式左端是区域上式左端是区域 D 的面积的面积 A 的两倍，因此有的两倍，因此有.dd21 LxyyxA例例 1 求椭圆求椭圆 x = acos t, y = bsin t 所围成的面积所围成的面积 A .解解 LxyyxAdd21 20)cos(dsin)sin(dcos21tat

4、btbta.d)sin(cos212022 abtttab例例 2计算计算， Lxyxyxy dd22 其中其中 L 为为正向圆周正向圆周 x2 + y2 = R2.解解因为因为 P(x, y) = - - x2y，Q(x, y) = xy2，,22yxQxyP 所以，由格林公式有所以，由格林公式有 d)(dd2222 DLyxxyxyxy.2dd42003RrrR 例例 3计算曲线积分计算曲线积分 AnOxxymyxmyy.d)cose (d)sine (其中其中AnO为由点为由点 A(a, 0) 至点至点 O(0, 0) 的上半圆周的上半圆周 x2 + y2 = ax(a 0).解解如果添

5、加有向线段如果添加有向线段 OA，则，则 AnO + OA = L是一条正向的封闭曲线是一条正向的封闭曲线.我们设由它围成的区域为我们设由它围成的区域为 D.因为因为 P(x, y) = exsin y my, Q(x, y) = excos y - - m，所以所以,cosecosemmyyyPxQxx yxODnA(a, 0)则由格林公式得则由格林公式得 Lxxymyxmyyd)cose (d)sine (.822d22amammD 而而ymyxmyyxAnOxd)cose (d)sine ( Lxxymyxmyyd)cose (d)sine ( OAxxymyxmyyd)cose (d)

6、sine (.80d08202amxama 二、二、平面上曲线积分与路径平面上曲线积分与路径无关的条件无关的条件设设 D 是一个开区域是一个开区域， 如果对如果对 D 内任意指内任意指定的两点定的两点 A 与与 B， 以及以及 D 内从点内从点 A 到点到点 B 的任意两条不相同的分段光滑曲线的任意两条不相同的分段光滑曲线 L1、L2，等式等式 21ddddLLyQxPyQxP yQxPLdd.dd BAyQxP恒成立，则称曲线积分恒成立，则称曲线积分 在在 D 内与路内与路径无关径无关.这时，我们可将曲线积分记为这时，我们可将曲线积分记为 y x OL1L2DBA 它也它也不是单连通域不是单

7、连通域.如果区域如果区域 D 内的任意一条简单闭曲线所围成内的任意一条简单闭曲线所围成的区域完全属于的区域完全属于 D， 则则 D 称为单连通域称为单连通域. 直观地直观地说，单连通域就是没有空洞的区域说，单连通域就是没有空洞的区域. ( (a) )图中的区域图中的区域是单连通域，是单连通域，( (b) )图中的两个区域都不是单连通域图中的两个区域都不是单连通域.( (b) )图中右边的区域，图中右边的区域， 仅在区域中挖去一个点，仅在区域中挖去一个点，( (a) )( (b) )定理定理 1在区域在区域 D 中，曲线积分中，曲线积分 与路径无关的充要条件是：对与路径无关的充要条件是：对 D

8、内任意一条闭曲内任意一条闭曲线线 C，有，有 LyQxPdd CyQxP. 0dd证证先证必要性先证必要性.设设 AnBmA 是是 D 内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线. 因为曲线积因为曲线积分分 在在 D 内与路径无关，所以内与路径无关，所以 LyQxPdd AnByQxPdd,dd AmByQxP因此因此 AnBmAyQxPdd BmAAnByQxPyQxPdddd AmBAnByQxPyQxPdddd. 0 y x OBDmnA再证充分性再证充分性.设设 A、B 是是 D 内的任意两点，内的任意两点， AnB 与与 AmB 是是 D 内的任意两条路径内的任意两条路径. . 因为对因为对

9、D 内任意一条内任意一条闭曲线闭曲线 C， 所以由题设有所以由题设有恒有恒有, 0dd LyQxP, 0dd AnBmAyQxP因此因此 AnByQxPdd.dd AmByQxP y x OBDmnA这就说明了曲线积分这就说明了曲线积分 与路径无关与路径无关. LyQxPdd定理定理 2设函数设函数 P(x, y)、Q (x, y) 在单连通域在单连通域 D 内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数，则曲线积分则曲线积分 与路径无关的充要条件是与路径无关的充要条件是 LyQxPddyPxQ Dyx ),(证证先证充分性先证充分性. (x, y) D，所以对，所以对 D 内任内任意一条正向封闭曲线意

10、一条正向封闭曲线 L1 及其围成的区域及其围成的区域 D1，因为因为 D1 D ， 所以所以 D1是单连域是单连域，由格林公式有由格林公式有因为因为,yPxQ 1ddLyQxP. 0d1 DyPxQ 于是由定理于是由定理 1 知，曲线积分知，曲线积分 在在 D 内内与路径无关与路径无关. LyQxPdd必要性证明从略必要性证明从略.例例 4计算计算,dsin31d)e3(32yyyxxxyxILx 其中其中 L 是摆线是摆线 x = t sin t, y = 1- - cos t，从点，从点 A(2 , 0) 到点到点 O(0, 0) 的一段弧的一段弧.解解显然，用这段路径来计算是很复杂且困难

11、显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.能否换一条路径呢？能否换一条路径呢？.,xQyP 为此计算为此计算 其中其中 P(x, y) = x2y + 3xex,得得yyxyxQsin31),(3 .2xQxyP 再选一条路径再选一条路径 L1：由由 A(2 , 0) 沿沿 x 轴到原点轴到原点.审查一下：审查一下： 由由 L 与与 L1 所围的平面域是否单连通所围的平面域是否单连通域域. P(x, y) 与与 Q(x, y) 偏导数是否连续，偏导数是否连续， 现在是连现在是连续的续的.所围的域是单连通域，所围的域是单连通域， 这样可以换为在这样可以换为在 L1 上求曲线积分，上求曲线积分，即即x

12、yOL1LAyyyxxxyxLxd )sin31(d)e3(32 ,d)sin31(d)e3(132yyyxxxyxLx 因为因为 L1 上上 dy = 0，y = 0 所以上式为所以上式为yyyxxxyxLxd)sin31(d)e3(132 , 3)21(e3de3202 xxx即即 yyyxxxyxLxdsin31d)e3(32 . 3)21(e32 例例 5计算计算解解如果不换路径，计算非常困难，为了换如果不换路径，计算非常困难，为了换路径，先要计算路径，先要计算 P、Q 的偏导数的偏导数.,dd22 Lyxxyyx 其中其中 L 由点由点 A(- - , , - - ) 经曲线经曲线

13、y = cos x 到点到点 B(, , - - ) ( (如图如图) ).,),(22yxyyxP 22),(yxxyxQ 则则.)(22222xQyxxyyP yxLOAxycos B再考虑换一条路径再考虑换一条路径. 以以 为半径的圆为半径的圆周，由周，由 A 经大半圆到经大半圆到 B 为为 L1，2 如果换成由如果换成由 A 经直线到经直线到 B 为为 L1，则，则 L 与与 L1 所围的平面域内函数所围的平面域内函数 P(x, y) 与与 Q(x, y) 在原点处偏导数不存在在原点处偏导数不存在. 这就是说它们这就是说它们所围的域不是单连通域所围的域不是单连通域.所以不满足将所以不满足将 L 换为换为 L1 的条件，的条件，作一个以原点为圆心，作一个以原点为圆心， 则此时，则此时，L 与与 L1 所围的平面域内函数所围的平面域内函数 P(x, y) ， Q(x, y) 的偏导就的偏导就连续了连续了.即即 L 与与 L1 所围的平面域为单连通域所围的平面域为单连通域.这这就可以将就可以将 L 换为换为 L1. L1 的参数方程为的参数方程为代入，得代入，得 Lyxxyyx22dd 122ddLyxxyyx.23d445 t ,in2,cos2:1tsytxL从例从例 4，例，例 5 中我们可以归纳一下换积分路径中我们可以归纳一下换积分路径的步骤：的