反三角函数的概念和性质

1、反三角函数的概念和性质一基本知识：1正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2掌握反三角函数的定义域和值域，yarcsinx, x1, 1, y，, yarccosx, x1, 1, y0, , 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3符号arcsinx可以理解为，上的一个角或弧，也可以理解为区间，上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为0，上的一个角或弧，也可以理解为区间0，上的一个实数；4yarcsinx等价于sinyx, y，, yarccosx等价于cosyx, x0, , 这两个等价关系是解反三角函

2、数问题的主要依据；5注意恒等式sin(arcsinx)x, x1, 1 , cos(arccosx)x, x1, 1, arcsin(sinx)x, x，, arccos(cosx)x, x0, 的运用的条件；6掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7注意恒等式arcsinxarccosx, arctgxarcctgx的应用。例一下列各式中成立的是（C）。（A）arcctg(1) （B）arccos() C）sinarcsin() （D）arctg(tg)解：(A)(B)中都是值域出现了问题，即arcctg(1)(0, ), a

3、rccos()0, ,(D)中，arctg(tg), , 而，, (A)(B)(D)都不正确。例二下列函数中，存在反函数的是（D）。（A）ysinx, x, 0 （B）ysinx, x, （C）ysinx, x, （D）ysinx, x,解：本题是判断函数ysinx在哪个区间上是单调函数，由于ysinx在区间,上是单调递减函数， 所以选D。例三 arcsin(sin10)等于（C）。（A）210 （B）102 （C）310 （D）103解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相等，且该角度在, 上。由于sin(310)sin(10)sin10, 且310, , 所以选C。（例四求出下列函数的

4、反函数，并求其定义域和值域。（1）f (x)2sin2x, x, ;（2）f (x)arccos2x.解：(1) x, , 2x, , 2x, , 2y2由y2sin2x, 得sin2x, sin(2x)sin2x, 2xarcsin(), xarcsin, f 1(x)arcsin, 2x2, y, .(2) f (x)arccos2x, x, , y, arccos2xy, 2xcos(y), xcos(y)siny,f 1(x)sinx , x, y, .例五求下列函数的定义域和值域：(1) yarccos; (2) yarcsin(x2x); (3) yarcctg(2x1),解：(1

5、) yarccos, 0<1, x1, y0, ).(2) yarcsin(x2x), 1x2x1, x, 由于x21(x)2, 1x2x, yarcsin.(3) yarcctg(2x1), 由于2x1>1, 0< arcctg(2x1)<, xR, y(0, ).例六求下列函数的值域：(1) yarccos(sinx), x(, ); (2) yarcsinxarctgx.解：(1) x(, ), sinx(, 1, y0, ).(2) yarcsinxarctgx., x1, 1, 且arcsinx与arctgx都是增函数, arcsinx, arctgx, y,

6、.例七判断下列函数的奇偶性：(1) f (x)xarcsin(sinx); (2) f (x)arcctgx.解：(1) f (x)的定义域是R， f (x)(x)arcsinsin(x)xarcsin(sinx)f (x), f (x)是偶函数;(2) f (x)的定义域是R, f (x)arcctg(x)(arcctgx)arcctgxf (x), f (x)是奇函数.例八作函数yarcsin(sinx), x, 的图象.解：yarcsin(sinx), x, , 得, 图象略。例九比较arcsin, arctg, arccos()的大小。解：arcsin<, arctg<,

7、arccos()>, arccos()最大,设arcsin，sin, 设arctg, tg, sin<sin, <, arctg< arcsin< arccos().例十解不等式：(1) arcsinx<arccosx; (2) 3arcsinxarccosx>.解：(1) x1, 1, 当x时, arcsinxarccosx, 又arcsinx是增函数,arccosx是减函数， 当x1, )时, arcsinx<arccosx.(2) arccosxarcsinx, 原式化简得4arcsinx>, arcsinx>arcsin, a

8、rcsinx是增函数, <x1.二基础知识自测题：1函数yarcsinx的定义域是 1, 1 ，值域是.2函数yarccosx的定义域是 1, 1 ，值域是 0, .3函数yarctgx的定义域是 R ，值域是.4函数yarcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) .5arcsin(); arccos(); arctg(1); arcctg().6sin(arccos); ctgarcsin(); tg(arctg); cos(arcctg).7若cosx, x(, )，则x.8若sinx, x(, 0)，则x.9若3ctgx10, x(0, )，则x.三基本技能训练题：1下列关系式总成立的是（B）。（A）arccosx>0 （B）arcctgx>0 （C）arcsi