同济高等数学1归纳

1、高等数学归纳(第一章第三章) 2010126137 彭伟奕第一章 函数与极限第一节 映射与函数 一 、 集合集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。(a属于A,记作aA； a不属于A，记作aA。)表示集合的方法：（1） 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A=（2） 描述法：集合M=，例：M=集合间关系：A包含于B（AB），A不包含于B（AB） A是B的真子集（），A等于B（A=B）,空集是任何非空集合的真子集。集合的运算：并，交，差AB=IA为A的余集或补集，亦记集合运算法则：交换律：AB=BA,AB=BA结合律：（A

2、B）C=A(BC) A(BC)=(AB) C分配律：（AB）C=(AC) (BC) (AB) C=(AC) (BC)对偶律： 直积（笛卡尔乘积）：AB=（x,y）|xA且xB，例：RR=(x,y)|xR,yB为XOY面上全体点的集合，RR记作。 区间与邻域：（1）区间开区间：（a,b）,a,b为开区间（a,b）的端点。闭区间：a,b 半开区间：a,b, a,b（2）邻域：以a为中心的任何开区间称以点a为邻域，记作U（a）点a的邻域，记U(a, )，其中为任一正数，U(a, )=x|a-xa+=x| |x-a|点a为邻域的中心，为邻域半径。1 / 30点a的去心邻域，为把邻域中心去掉，=x|0|

3、x-a|点a的左邻域：a-，a，点a的右邻域：a,a+二、映射定义：X，Y两非空集合，如有一对应法则f使X中每一个元素x，按f，Y中有唯一确定的元素y一之对应，则称f为从X到Y的映射，f：X，其中y为元素x（在映射f下）的像。构成映射的三要素：（1）定义域,=X;(2)值域，Y；（3）对应法则f，对于每个xX,有唯一确定的y=f（x）与之对应。满射、单射、双射l 从X到Y上的满射：任一y都是x中某元素的像。l f为x到y的单射：x中任，且l 双射：f为一一映射（或双射）：f既单射，又双射。逆映射与复合映射：1）设f是X到Y的单射，则由定义，对每一个y，有唯一的xX，适合f（x）=y.于是，我们

4、可以定义一个从到X的新映射g，即 g：X对每一个y，规定g（y）=x，这x满足f（x）=y.这个映射g称为f的逆映射，记作，其定义域，值域。*只有单射才有逆映射。复合映射：设两个映射g: X， f：,其中,则由映射g合f可以定义出一个从X到Z的对应法则，他将每一个xX映成fg（x） Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g合f构成的复合函数，记作，即*映射g与f成复合映射的条件：g的值域必须包含在f定义域内，即：三、函数定义：设数集D，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为 y=f（x），xD其中x称为自变量，y因变量，记作，即.值域：或f（D）即 f与f（x

5、）的区别：f表示x与y的对应法则，f（x）表示x与对应的函数值。表示函数的方法：表格法；图形法；解析法（公式法）构成函数的要素：定义域及对应法则f。（如果两个函数定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同的）函数的几种特性（1）函数的有界性：X, 使则f(x)有上界X, 使f(x)则f(x)有下界 X, 使|f(x)|则f(x)有界如这样的M不存在则f(x)无界.（2）函数的单调性：设 ,I,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调增加,如I上任意当时,恒有则f(x)在I上单调减少。单调增加与单调减少的函数统称为单调函数。（3）函数的奇偶性：前提关于原点对称，如果，f（-x）=f（x）则f

6、（x）为偶函数,如果，则f(x)为奇函数（4）函数的周期性：设=D，存在一正数L使任一x有（xL）D，且f（x+L）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，L为周期，通常说的周期是最小正周期。反函数与复合函数（1）反函数：设函数f：Df（D）是单射，则它存在逆映射，称此映射为f的反函数。于是。一般记为，x。F（x）称为直接函数，两函数关于y=x对称。（2）复合函数：设y=f(u) u=g(x), 则有y=, x称为由函数u=g(x)与函数构成的复合函数,定义域,变量u称为中间变量*构成条件：函数g的值域函数的运算：设函数f(x)，g（x）的定义域依次为，则可定义一函数和（差）fg： ；积：

7、商： 。初等函数（1）幂函数：y=（是常数），（2）指数函数：（3）对数函数：（4）三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx=,y=cscx=（5）反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。基本初等函数：有常数和基本初等函数经过有限次数的四则运算和有限次数的符合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如 等都是初等函数。第二节 数列的极限数列极限的定义：设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式 | 都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛

8、于a，记为 ，或 。如果不存在这样的常数a，就说数列没有极限，或者说数列是发散的，习惯上也说不存在。 定义表达为： 收敛数列的性质：定理1（极限的唯一性） 如果数列收敛，那么它的极限唯一。定理2（收敛数列的有界性） 如果数列收敛，那么数列一定有界。、定理3（收敛数列的保号性） 如果，且a0.（或a0时，都有0（或0）。 推论 如果数列从某一项起有，那么a0（或a0）。定理4 （收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。第二节 函数的极限 定义：在自变量的某一变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函

9、数的极限.1、 自变量趋于有限值时函数的极限定义1 设函数f(x)在点的某一去心邻域内有定义,如果存在整数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在，使得当x满足不等式时，对应的函数值f（x）都满足不等式 |f（x）-A| 那么常数A就叫做函数f（x）当时的极限，记作 当（当）*左极限 ： 把0|x-|改为，那么A就叫做函数f（x）当时的左极限，记作 *右极限 ： 把0|x-|X时，对应的函数值f（x）都满足不等式 |f（x）-A|0和0,使得当0|x-|0(或A0,使得当0|0(或f（x）.定理4 （函数极限与数列极限的关系）极限如果 存在，为函数f（x）的定义域内任一收敛于的数列，且满

10、足：，那么相应的函数值数列必收敛，且第三节 无穷大与无穷小 无穷小定义1 ： 如果函数f(x)当x（或）时的极限为零，那么称函数f (x)为当x（或）时的无穷小（特别地，以零为极限的数列 称为n时的无穷小）定理1 在自变量的同一变化过程x（或）中，函数f (x)具有极限A的充分必要条件是f (x)=A+a，其中a是无穷小 无穷大定义2 ： 设函数f (x)在x。的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数M（或正数X），只要x适合不等式oIx-x。|X），对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|M，则称函数f(x)为x（或）时的

11、无穷大。*当x（或）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的但我们可以说“函数的极限是无穷大”，并记作 （或）* 如果在无穷大的定义中，把换成 (或f(x)0，当x时，有g(x)，则 第六节 极限存在准则 两个重要极限（及 ）夹逼准则准则 如果数列、及满足下列条件： (1)从某项起，即N，当n时，有 , (2) 那么数列 的极限存在，且准则 如果 (1)当x(,r)（或|x| M）时，g(x)f(x)h(x) (2) ,，那么存在，且等于A.准则 单调有界数列必有极限。准则 设函数f（x）在点的某个左邻域内单调并且有界，则f（x）在的左极限必定存在。柯西存在准则 数列收敛的

12、充要条件：对于任意给定的正数，存在着正整数N使mN，nN时，有 |*两个重要极限：（1） （2） 第七节 无穷小的比较定义：如果0就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就说是比低阶的无穷小如果0，就说与是同阶无穷小；如果0，k0，就说是关于的k阶无穷小，如果1就说与是等价无穷小，记作.定理1是等价无穷小的充分必要条件为 定理2 设，且lim存在，则lim=lim第八节 函数的连续性与间断点一、 函数的连续性定义 设函数y=f(x)在点x。的某一邻域内有定义，如果 ，那么就称函数y=f(x)在点连续. 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，如果区间包括端点，

13、那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续二、函数的间断点 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义在此前提下，如果函数，f(x)有下列三种情形之一： (1)在x=x。没有定义； (2)虽在x=x。有定义，但不存在； (3)虽在x=x。，有定义，且存在，但f()， 则函数在点x。为不连续，而点x。，称为函数的不连续点或间断点*第一类间断点（跳跃间断点、可去间断点）：x。是函数的间断点，但左极限及右极限)都存在，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。第二类间断点（ 无穷间断点和振荡间断点）第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性一、 连续函数的和、差、积、商的连续

14、性定理1 设函数和g(x)在点x。连续，则它们的和（差）fg、积fg及商 (当g(x。)O时）都在点x。连续二、反函数与复合函数的连续性定理2 如果函数y=在区间Ix，上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数x=也在对应的区间Iy=y|y=，xIx上单调增加（或单调减少）且连续.定理3 设函数y=fg(x)由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，若，而函数y=f(u)在u=u。连续，则定理4 设函数y=是由函数u=g(x)与函数y= (u)复合而成，U(x。) ，若函数u=g(x)在x=x。连续，且g(xo)=uo，而函数y=f(u)在u=uo连续，则复合函数y=在x=x。也连续。

15、三、初等函数的连续性一切初等函数在其定义域内都是连续的。如果法f（x）是初等函数，且是f（x）的定义区间内的点，则第十节闭区间上连续函数的性质一 有界性与最大值最小值定理最大最小值：对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有x。I，使得对于任一xI都有f(x)f(x。) (f(x)f(x。),则称f（x。）是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）。定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值二、零点定理与介值定理定理2(零点定理) 设函数，f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号(即，f(a) (b)0)，那么在开区间(a，

16、b)内至少有一点，使f()=0。定理3(介值定理) 设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a，b)内至少有一点使得f()=C (ab)推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.三、一致连续性定义 设函数f(x)在区间I上有定义如果对于任意给定的正数。总存在着正数，使得对于区间，上的任意两点，当|-|时。就有 |-| 那么称函数，f(x)在区间I上是一致连续的定理4(一致连续性定理) 如果函数f(x)在闭区间a，b上连续，那么它在该区间上一致连续第二章导数与微分第一节

17、 导数与微分一、导数的定义定义 设函数y=(x)在点x。的某个邻域内有定义，当自变量x在x。处取得增量x(点x。+x仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量y=f(x。+x)一f(x。)；如果y与x之比当x 0时的极限存在，则称函数y=f(x)在点x。处可导并称这个极限为函数y=f(x)在点x。处的导数，记为，即也可记做或（导数的定义式(4)也可取不同的形式，常见的有和）。单侧导数左极限叫左导数，右极限叫右导数左导，右导统称单侧导数二、导数的几何意义导数的定义可知：函数y=f(x)在点x。处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点M(,f(x。)处的切线的斜率，即 =tan a，其中a是切线的倾角.

18、三、函数可导性与连续性的关系如果函数y=(x)在点x处可导，则函数在该点必连续另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导.函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件第二节 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x具有导数，那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x具有导数，且 (1； (2)；(3);二、反函数的求导法则 定理2如果函数x=f(y)在区间内单调、可导且，则它的反函数在区间=xI x=f(y)，y内也可导，且 或*反函数的导数等于直接函数导数的倒数三、复合函数的求导法则 定理3 如果u=g(x)

19、在点x可导，而y=f(u)在点u=g(x)可导，则复合函数y=f g(x)在点x可导，且其导数为或四、基本求导法则与导数公式1常数和基本初等函数的导数公式 (1) =0 (2)， (3)， (4)， (5)， (6)， (7)， (8)， (9)， (10)， (11)， (12)， (13，(14)， (15)，(16)2函数的和、差、积、商的求导法则设u=u(x)，v=v(x)都可导，则(1)， (2) (C是常数)，(3)，(4) (v0)3反函数的求导法则 设x=f(y)在区间内单调、可导且，则它的反函数在内也可导，且或4复合函数的求导法则设y=f(u)，而u=g(x)且，f(u)及g

20、(x)都可导，则复合函数y=fg(x)的导数为或第三节高阶导数（二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数）一般的，函数y=f(x)的导数仍然是x的函数我们把的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作或,即 或 相应的，把y=f(x)的导数叫做函数y=f(x)的一阶导数 类似地，二阶导数的导数，叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，一般的，(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作,或，.二阶及二阶以上的导数统称高阶导数1 2 3 4 5 0！=16. 7 8 布莱尼茨公式 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数隐函数：一般的，如果变量x和y满足一个方程F(x,y

21、)=0，在一定条件下，当x取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化隐函数的求导：对隐函数方程两边分别对x求导例：求由所确定的隐函数的导数 解：把方程两边分别对x求导,得则【对数求导法：先在y=f（x）的两边取对数，然后再求出y的导数二、由参数方程所确定的函数的导数一般的，若参数方程 （3）确定y与x的函数关系，则称此函数表达式的函数为由参数方程（3）所确定的函数。 三、相关变化率设x=x(t)及Y=Y(t)都是可导函数，而变量x与Y间存在某种关系，从而变化率与间也存在一定关系这两个

22、相互依赖的变化率称为相关变化率第五节 函数的微分一、微分的定义定义 设函数y=f(x)在某区间内有定义，x。及x。+x在这区间内，如果增量y=f(x。+z)-f (x。)可表示为y=Ax+o(x)，(1)其中A是不依赖于x的常数，那么称函数y=f(x)在点x。是可微的，而Ax叫做函数y=f(x)在点x。相应于自变量增量x的微分，记作dy，即dy=Ax函数的微分 dy或df(x) dy=f(x) x自变量的微分 dx dx=x于是y=f(x)的微分又可记作 导数也叫微商二、微分的几何意义对于可微函数y=f(x)而言，当y，是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上点的纵坐标的

23、相应增量.三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 导数公式 微分公式 (sinx)=cosx d(sin x)=cosxdx (cosx)=- sin x d(cosx)=- sinxdx (tanx)= d(tanx)=玉2xdx (cot x)=- d(cot x)=- =secx.tanx d(sec x)=secx.tanxdx (csc x)=- csc xcotx d(cscr)=-cscxcotxdx = d()=dx = =dx = d()=dx 2函数和、差、积、商的微分法则 函数和、差、积、商的求导法则 函数和、差、积、商的微分法则 = = 3复合函数的微分法则 Y=f(

24、u) ，u=g(x) 且都可导， y=fg(x)的微分 微分形式不变性四、微分在近似计算中的应用第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理一、罗尔定理 费马引理：设函数f（x）在点的某邻域U()内有定义，并且在处可导，如果对任意的x，有f（x）（或f（x），那么=0.（通常导数等于零的点为函数的驻点或稳定点、临界点）罗尔定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间上连续;（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在内至少有一点（ab），使得f（）=0二、拉格朗日中值定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间上连续;（2）在开区间内可导，那么在内至少

25、有一点（ab），使等式f（b）-f（a）=成立。有限增量公式：（0N时与都存在，且0；(3)存在(或为无穷大)，那么=第三节 泰勒公式泰勒(Taylor)中值定理 如果函数f(x)在含有x。，的某个开区间(a，b)内具有直到(n十1)阶的导数，则对任一x(a，b)有其中 = 这里是x。与x之间的某个值拉格朗日型余項：=佩亚诺型余項：=麦克劳林公式：第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1设函数y=f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导 (1)如果在(a，b)内 0，那么函数y=f(x)在a，b上单调增加； (2)如果在(a，b)内0，则f(x)在a，b上的图形是凹的； (2)若在(a。b)内 0，则f(x)在a，b上的图形是凸的一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x。是I的内点如果曲线y=-f(x)在经过点(x。，f(x。)时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x。，f(x。)为这曲线的拐点第五节 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法定义 设函数fx)在点x。的某邻域U(x。)内