北京交通大学硕士研究生课程《随机过程》3.1-3.4

1、随机过程初步第3章 随机过程授课人：刘玉婷理学院数学系目录n3.1 随机过程的基本概念n3.2 随机过程的数字特征n3.3 离散时间和离散型随机过程n3.4 正态随机过程n3.5 Poisson过程n3.6 平稳随机过程目录n3.1 随机过程的基本概念n3.2 随机过程的数字特征n3.3 离散时间和离散型随机过程n3.4 正态随机过程n3.5 Poisson过程n3.6 平稳随机过程n例1：某服务站在0，t内来访的顾客数，记为N(t)。在固定时刻t， N(t)是一个随机变量，如果想研究该随机变量受时刻t的影响程度，则随机变量族N(t)，t 0才是我们的研究对象。n例2：质点在直线上的随机徘徊。

2、该质点最初在原点，以后每单位时间均等地向左或向右移动一格。设Xn为质点在第n次移动后的坐标。固定n， Xn为一随机变量。当想研究质点整个变化时，则随机变量族Xn，n0才是我们的研究对象。3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念 . . :,成为状态空间成为状态空间成为时间参数集，成为时间参数集，随机过程随机过程为为的一族随机变量的一族随机变量依赖于依赖于与它相对应，则称与它相对应，则称的随机变量的随机变量于于上，取值上，取值，都存在定义在，都存在定义在为一指标集，为一指标集，为一概率空间，为一概率空间，ETTttXttXEPFTtTPF 一、定义一、定义 . :, 的二元函数的二元函数和和为为

3、由定义知，由定义知，tTttX 3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念 上的一个随机变量；上的一个随机变量；是是，给定给定PFtXt, 1000 ., 2000上的一个实值函数上的一个实值函数是是，给定给定TtX .:,0的一个样本轨道的一个样本轨道是是并称并称TttXtX . , , 30 xtxXExTtXtt态态时时刻刻，随随机机过过程程处处于于状状表表示示；简简记记随随机机过过程程为为 3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念说明说明二、随机过程的分类二、随机过程的分类 E T离散连续离散离散随机序列（随机徘徊）连续随机序列（每时刻的温度）连续离散型随机过程（顾客流）连续型随机过程（

4、股票价格）3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念三、有穷维分布函数三、有穷维分布函数布函数为布函数为是一维随机变量，其分是一维随机变量，其分，110 1tXTt 1111xXPxFtt .,的一维分布函数的一维分布函数称为随机过程称为随机过程TtXt 分分布布函函数数为为：合合是是二二维维随随机机向向量量，其其联联，21, 2210ttXXTtt 2121,2121,xXxXPxxFtttt .,的二维分布函数的二维分布函数称为随机过程称为随机过程TtXt 1）定义）定义 3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念 其其联联合合分分布布函函数数为为：维维随随机机向向量量，是是，nXXTttnt

5、t, 31n10 nttnttxXxXPxxFn ,11,1n1 .,维分布函数维分布函数的的称为随机过程称为随机过程nTtXt . , , 1:, 4 n11,0n1的有穷维分布函数族的有穷维分布函数族称为称为TtXTttnxxFtntt 3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念2）性质）性质 . , 11,10n1元元函函数数单单调调非非降降，右右连连续续是是非非负负，nxxFRxxnttn 0, lim 21,0n1 nttxxxFi 1, lim 1,n11 nttxxxxFn ., 311n1,1,0nnkkkkttnttxxFxxF 3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念 mtt

6、xxFnmm, 41,01，则，则若若 ,1,n1mttxxF nttxxxxFnm, lim1,n11 3.1 随机过程基本概念随机过程基本概念目录n3.1 随机过程的基本概念n3.2 随机过程的数字特征n3.3 离散时间和离散型随机过程n3.4 正态随机过程n3.5 Poisson过程n3.6 平稳随机过程3.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征一、期望函数一、期望函数 则则，密密度度函函数数为为为为的的一一维维分分布布函函数数，随随机机过过程程 , xfxFTtXTtttt dxxxfxxdFXEtttXt .,的期望函数的期望函数称为随机过程称为随机过程TtXt 3.2 随机过程的

7、数字特征随机过程的数字特征二、方差函数二、方差函数 则则，密密度度函函数数为为为为的的一一维维分分布布函函数数，随随机机过过程程 , xfxFTtXTtttt 22tttXEXXEXVart .,的方差函数的方差函数称为随机过程称为随机过程TtXt 222tttXEXXExdFxt . ,22为为实实二二阶阶矩矩过过程程过过程程则则称称随随机机若若TtXxdFxXEttt ，Ttt 21, .,的的协协方方差差函函数数称称为为随随机机过过程程TtXt 三、协方差函数三、协方差函数 21,21ttXXXCovttc tXXttcttt22121, ，当当 2211ttttEXXEXXE 2121

8、ttttXEXEXXE 3.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征，Ttt 21, .,的的自自相相关关函函数数称称为为随随机机过过程程TtXt 四、自相关函数四、自相关函数 2121,ttXXXEttR 22121,tXXEttRttt ，当3.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征1 ,n1 nTtt， .,的有限维特征函数的有限维特征函数称为随机过程称为随机过程TtXt 五、特征函数五、特征函数 XuieEuutt,n1n1,;, )(11ntntXuXuieE 3.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征目录n3.1 随机过程的基本概念n3.2 随机过程的数字特征n3.3 离散时间

9、和离散型随机过程n3.4 正态随机过程n3.5 Poisson过程n3.6 平稳随机过程一、定义一、定义. ,1成为离散时间随机过程成为离散时间随机过程这种随机过程这种随机过程时，时，取离散值取离散值当时间参数集当时间参数集knnT. ,1间间序序列列所所构构成成的的序序列列，成成为为时时是是一一串串随随机机变变量量此此时时，knntXXX . 0, nXn离离散散时时间间过过程程记记为为3.3 离散事件和离散型随机过程二、例子二、例子 , 0 0, 2110是是独独立立同同分分布布随随机机变变量量，其其中中设设一一随随机机游游动动过过程程XXXYYnYniinn 例例3-2： .111nni

10、iYVarYEpXPpXP，求求， 3.3 离散事件和离散型随机过程 121 pppXEi 12 11 pnEXXEYEniiniin 112 ppXEi 211121 pnXVarXVarYVarniiniin 222121 pEXXEXVariii3.3 离散事件和离散型随机过程 . 0,0, 00 YtYtt其中其中内发生的次数，记为内发生的次数，记为考虑随机点在考虑随机点在例例3-3： 内发生奇数次内发生奇数次若随机点在若随机点在内发生偶数次内发生偶数次若随机点在若随机点在求其数字特征求其数字特征再定义如下随机过程，再定义如下随机过程，ttXt, 0, 1, 0 , 1 tktkekt

11、kYPtP ! 即即且且无无关关与与个个随随机机点点发发生生的的概概率率内内有有设设,Poisson-, 00000tYYYtkttttttt 3.3 离散事件和离散型随机过程 1 tXP 20 ttYYP tptp202ttteee ! 4! 2142ttet 212 te 3.3 离散事件和离散型随机过程 1 tXP 31 ttYYP tptp31 ! 5! 353tttet tXXEt ttteee 2222121 212 te 3.3 离散事件和离散型随机过程 121 ttXXP 1, 11, 12121 ttttXXXXP 212121211211212222tttttteeee 1

12、, 11, 12121 ttttXXPXXP 1, 11, 1121121 ttttttXXPXXP 1111121121 ttttttXPXPXPXP 21122tte 210tt 3.3 离散事件和离散型随机过程 121 ttXXP 1, 11, 12121 ttttXXXXP 212121211211212222tttttteeee 1, 11, 12121 ttttXXPXXP 21122tte 1, 11, 1121121 ttttttXXPXXP210tt 3.3 离散事件和离散型随机过程 21221,ttXettR 2121,ttXXXEttR 1212122222121tttt

13、tteee 2122112,0ttXettRtt ，当3.3 离散事件和离散型随机过程 222ttXEXXEt 2,tXXttR te 41 3.3 离散事件和离散型随机过程目录n3.1 随机过程的基本概念n3.2 随机过程的数字特征n3.3 离散时间和离散型随机过程n3.4 正态随机过程n3.5 Poisson过程n3.6 平稳随机过程3.4 正态随机过程 nttxxfn,1,1 Tnxx 121221expdet21一、定义一、定义 . n0, 随机过程或高斯过程随机过程或高斯过程态分布，则称它为正态态分布，则称它为正态维分布都是正维分布都是正的任意的任意如果随机过程如果随机过程 tXt jtitjtitjjiiXXXXttttiXijEXXEXXEttc ,j jijijtitttttXXXVarXVarXXCov, 21,ttjiXXXEtt 3.4 正态随机过程. 方方差差函函数数和和相相关关系系数数的的期期望望函函数数、一一、二二阶阶矩矩函函数