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文档简介

1、线性代数疑难习题讲解（20056）1题目 证明向量线性无关的充要条件是线性无关。知识点：线性无关，向量的初等变换。解题步骤：方法一。 必要性：设即线性无关有方程组其系数矩阵的行列式:只有零解即线性无关充分性：设 即线性无关其系数矩阵的行列式：方程只有零解即线性无关.方法二：故线性无关的充要条件是线性无关方法总结：方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难。方法二是利用初等变换求新变量的秩一只证明了必要性，充分性不容易证明.相关例题：例4.9（P67）2题目 设为n阶实矩阵，证明：若，则。知识点：矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念解题步骤：证明：设，则其中*为省略表示的代数和为实

2、数即0常见错误及原因：混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由得出。3设为n阶矩阵，若，试证的特征值是 -1或1.知识点：特征值与特征向量解题步骤：方法一。设的特征值为，对应的特征向量为，则有：两边左乘矩阵得：或把和代入上式得：因为为非零向量，所以方法二。或或的特征值为或方法三。设的特征值为，并设有多项式则方阵的特征值为由得即相关例题：例5.4（P89）4题目 设A, X, B分别是mn,n1,m1矩阵，B0; 是方程AX=B的一个解；对应的齐次方程AX=0的一个基础解系为， ，r = rank(A). 证明 , ， ， ，线性无关。知识点：基础解系，线性无关解题步骤：方法一。证明：， ， ，是齐次

3、方程AX=0的一个基础解系。， ， ，线性无关。Rank (， ， ) = nr 是方程AX=B的一个解，B0不能由， ， ，线性表示 Rank (， ， ，) = nr1 , ， ， ， 线性无关.方法二。（从定义出发）设存在k, k, k, k, k，使k+ k+ k+k= 0在等式两边左乘A，有kA + kA+ kA+kA= 0， ， ，是齐次方程AX=0的一个基础解系，是方程AX=B的一个解。 kA+ kA+kA=0， A =B kB=0 B0k = 0 k+ k+ + k=0成立 ， ， ，是齐次方程AX=0的一个基础解系。 ， ， ， 线性无关k=k=k= = k=0k = k= k= k= = k=0 , ， ， ， 线性无关.方法三。（反证法）假设 可由 ， ， ， 线性表示，即 =， ， ，是齐次方程AX=0的一个基础解系。 ， ， ， 线性无关 是方程AX=B的一个解A = 0 =B这

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