微积分课件：5-4一阶线性微分方程

1、 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1小结小结 思考题思考题 作业作业一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程第第5 5章章 微分方程微分方程应应 用用 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程2一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式, 0)( xQ当当上面方程称为上面方程称为上面方程称为上面方程称为, 0)( xQ当当如如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.

2、齐次的齐次的;非齐次的非齐次的.线性线性一阶一阶 自由项自由项 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程3. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy齐次方程齐次方程的通解为的通解为 xxPCyd)(e1. 线性线性齐次齐次方程方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)(C1为任意常数为任意常数).e(1CC |ln y,lnd)(1CxxP 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程42. 线性线性非齐次非齐次方程方程 yxPxy)(dd线性线性齐次齐次方程是线性方程是线性非齐次非齐次方程的特殊情况方程的特殊情况.,ed)( xx

3、PC显然线性显然线性非齐次非齐次方程的解不会是如此方程的解不会是如此,之间应存在某种共性之间应存在某种共性.设想设想)()(ddxQyxPxy 非齐次非齐次方程方程 待定函数待定函数线性线性齐次齐次方程的通解是方程的通解是但它们但它们)(xQ xxPyd)(e)(xC的解是的解是 xxPCyd)(e的通解为的通解为齐次方程齐次方程0)(dd yxPxy 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5 xxPxCyd)(e )(,代代入入原原方方程程和和将将yy )(xQ xxPxxPxPxCxCd)(d)(e)()(e )( xxPxCxPd)(e )()(从而从而C(x)满足方程满足方程,e )

4、(d)(求导求导对对 xxPxCy得得)(xC)(xP xxPd)(e得得)(e )(d)(xQxCxxP )()(ddxQyxPxy )()(ddxQyxPxy 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程6即即 xxPxQxCd)(e )()(xxQxCxxPde )()(d)( C 一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为微分方程的通解为de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP xxPxCyd)(e )(设设常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的常数把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法变易为待定函数的方法. . xd xd.)()(dd的解的解是是xQyxPxy 5.4 一

5、阶线性微分方程一阶线性微分方程7一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为微分方程的通解为de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的初值问题微分方程的初值问题 00)()(ddyyxQyxPxyxx的解为的解为.de )(e0d)(d)(000yttQytxxxuuPxxttP 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程8 xxPCd)(e非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方程通解方程通解de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构xxQxxPxxPde)(ed)(d)( 注注 一阶线

6、性方程解的结构及解非齐次方程一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用的常数变易法对高阶线性方程也适用.)()(ddxQyxPxy xxPCyd)(e的通解为的通解为齐次方程齐次方程0)(dd yxPxy 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程9 设非齐次线性微分方程设非齐次线性微分方程)()(xQyxPy 有两个不同的解有两个不同的解y1(x), y2(x), C为任意常数为任意常数, 则该方程则该方程 的通解是的通解是).()()A(21xyxyC ).()()()B(211xyxyCxy ).()()C(21xyxyC ).()()()D(211xyxyCxy

7、考研数学三考研数学三, 四四, 选择选择 4分分 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程10.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ xxyd1e)dsin(1 Cxxx).cos(1Cxx 解解例例一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程 xxsin xxd1exdC de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程11的的解解为为满满足足微微分分方方程程91)1(ln2 yxxyyx解解 由通解公式有由通解公式有 Cxxyxxxxdelned2d2 将方程改写成将方程改写成xyxyln2 de )(ed)(d)

8、(CxxQyxxPxxP 191 111. 0 C考研数学一考研数学一, 二二, 4分分).31(ln3 xxy29ln31xCxxx 一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程,2)(xxP ,ln)(xxQ )()(ddxQyxPxy 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程12例例 解方程解方程0d)ln(dln yyxxyy若将方程写成若将方程写成yxyyxylnlndd 则它既不是线性方程则它既不是线性方程,又不能分离变量又不能分离变量.若将方程写成若将方程写成yyyxyxlnlndd yxyy1ln1 以以x为为未知函数未知函数, 即即yxyyyx1ln1dd 一阶非齐次线性方程一阶非齐

9、次线性方程.分析分析y 为为自变量自变量的的 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程130d)ln(dln yyxxyy Cyyxyyyyyyde1edln1dln1 Cyyyydln1ln1yCylnln21 此外此外, y = 1也是原方程的解也是原方程的解.解解yxyyyx1ln1dd )(yP)(yQde )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程14注注参数形式的参数形式的.解方程时解方程时, 通常不计较哪个是自变量哪个是通常不计较哪个是自变量哪个是因变量因变量, 视方便而定视方便而定,关系关系.关键在于找到两个变量间的关键在于找到两个变量间

10、的解可以是显函数解可以是显函数, 也可以是隐函数也可以是隐函数,甚至是甚至是 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程15设函数设函数 f (x)具有连续的一阶导数具有连续的一阶导数, 且满足且满足考研数学四考研数学四, 10分分求求 f (x)的表达式的表达式.解解00000一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程,d)()()(2022xttftxxfx )(xfttfxxd)(02 ttftxd)(02 ,2x )(xfttfxxd)(20 )(2xfx )(2xfx x2 ,2)0()(2xfxfx ,2)(2)(xxxfxf 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程16设函数设函数 f(

11、x)具有连续的一阶导数具有连续的一阶导数, 且满足且满足求求 f (x)的表达式的表达式.一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程 xxxfd2e)( Cxxxxde2d2de2e22Cxxxx )e(e22Cxx ,e12xC 将将 f (0) = 0代入上式代入上式, 得得, 1 C.1e)(2 xxf所以所以考研数学四考研数学四, 10分分,d)()()(2022xttftxxfx ,2)(2)(xxxfxf 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程17形如形如的方程的方程,)()(ddxQyxPxy 方程为方程为线性线性微分方程微分方程. 方程为方程为非线性非线性微分方程微分方程.,1 ,

12、 0时时当当 n,1 , 0时时当当 n需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程.解法解法)1 , 0( n称为称为ny 伯努利伯努利( (Bernoulli)方程方程. 事实上事实上, ny用用除方程的两边除方程的两边, 得得 雅个布雅个布 伯努利伯努利 (瑞士瑞士) 1654-1705)()(dd1xQyxPxyynn 二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方程方程变量代换在数学的各个方面都是极重要的变量代换在数学的各个方面都是极重要的,极限运算和积分运算中已看到了变换的作用极限运算和积分运算中已看到了变换的作用.)()(dd:xQyxPxy 线性方程线性方程 5.

13、4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程18即即)()(dd1111xQyxPxynnn 可见只要作可见只要作变换变换,)()(dd1xQyxPxyynn nyz 1方程就可化为方程就可化为z 的一阶线性方程的一阶线性方程)1)()()1(ddnxQzxPnxz ny1伯努利方程伯努利方程的通解的通解 )de )1)(ed)()1(d)()1(CxnxQzxxPnxxPn 令令ny de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程19)()(ddxQyxPxy ny .4dd的通解的通解求方程求方程yxyxxy 解解例例伯努利方程伯努利方程21 n作变换作变

14、换.21211yy 则方程化为则方程化为 xzdd即即22ddxzxxz 它的通解为它的通解为 Cxzxxxxd2d2e2e xCxln212故原方程的通解为故原方程的通解为.ln2124 xCxy)1)()()1(ddnxQzxPnxz zx 4211x 211nyz 1xxP4)( xxQ )(de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 21y 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程20 熟悉求解方法后熟悉求解方法后, 注注例例 解方程解方程321ddyxxyxy 解解 这不是线性方程这不是线性方程,但若把但若把 y视为自变量视为自变量,23ddxyyxyx 两边除以两边除以,dd3

15、12yyxyxx 311ddyyxyx n = 2的伯努利方程的伯努利方程.也不是也不是伯努利方程伯努利方程.方程写为方程写为:2x而直接按上述方法求解而直接按上述方法求解.即即,dd311yyxyx ,)(yyP 3)(yyQ 也可以不引入新变量也可以不引入新变量,21 xz 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程21即即,dd311yyxyx ,)(yyP Cyyxyyyyde )(ed3d1 Cyyyydee23222.2e222yCy 3)(yyQ 1 x1 x 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程22的的通通解解求求yxye1 分析分析这不是前面的典型类型中的任何一种这不是前面

16、的典型类型中的任何一种,可仿照可仿照伯努利方程的解法伯努利方程的解法,同同乘乘等等式式以以y e1e1dde yyxxy可化为可化为线性方程线性方程解解yu e令令xyxuyddedd 则则上式成为上式成为11dd uxxu即即11dd uxxu线性方程线性方程例例两边两边, 得得 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程23 Cxuxxxxdeed1d1从而从而xCx 2于是得于是得y exCx 2即即.2ln xCxyyu e令令11dd uxxude )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程24求解下列微分方程求解下列微分方程例例, 0d)(d)

17、()1( yxxygxyxyf,)(sin1dd)2(2xyxyxxy 解题提示解题提示方程中出现方程中出现),(),(yxfxyf )(),(22xyfyxf 等形式的项时等形式的项时,通常要做相应通常要做相应的的变量代换变量代换,xyu .1dd)3(yxxy .xy, yx ,22yx 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程250d)(d)()1( yxxygxyxyf解解,xyu 令令求微分得求微分得,dddxyyxu 代入方程代入方程0d)(d)()( uugxxuuguf0d)()()(d uugufuugxx xln uugufuugd)()()(.C 可分离变量方程可分离变量

18、方程 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程26xyxyxxy )(sin1dd)2(2解解,xyu 令令 xudd则则 xuddCxuu 42sin2分离变量法得分离变量法得,代回代回将将xyu 所求通解为所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy )(sin1(2xyxyxxy u2sin1 可分离变量方程可分离变量方程xyxydd 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程27yxxy 1dd)3(解解uyx 令令, 1dddd xuxy则则代入原式代入原式,11dduxu 分离变量法得分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代代回回将将yxu 所求通解为所求通解为,)1ln(Cyxy . 1

19、e1 yCxy或或另解另解yxyx dd一阶线性方程一阶线性方程. 可分离变量方程可分离变量方程方程变形为方程变形为 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程28 23)(yx xyxxy03d23xyy 解解 xxxf0d)( 积分方程积分方程例例如图所示如图所示, 平行于平行于y 轴的动直线被曲线轴的动直线被曲线 等于阴影部分的面积等于阴影部分的面积,一阶非齐次线性方程一阶非齐次线性方程 yyx 23即即xyO3xy )(xfy xPQ截下的线段截下的线段PQ之长之长数值上数值上求曲线求曲线 y = f (x).)0()(3 xxyxfy与与 xxy0d三、应三、应 用用 5.4 一阶线性

20、微分方程一阶线性微分方程290 Cxxyxxde3ed2d 0|xy6 C得得所求曲线为所求曲线为).22e2(32 xxyx23xyy , 1)( xP23)(xxQ xyxxy03d000663e2 xxCx000de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程30例例 静脉输液问题静脉输液问题. .静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术. .研究这一过程研究这一过程,设设G(t)为为时刻时刻 t 血液中血液中葡萄糖含量葡萄糖含量,min)(gk与此与此血液中的血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移葡萄糖还会转化为其他物

21、质或转移其速率与其速率与血液中的血液中的葡萄糖含量成正比葡萄糖含量成正比. .试列出描述这一现象的微分方程试列出描述这一现象的微分方程,为了为了到其他地方到其他地方,含量含量. .糖以常数糖以常数同时同时,解解 因为因为血液中的血液中的葡萄糖含量的变化率葡萄糖含量的变化率tGdd增加速率与减少速率之差增加速率与减少速率之差,等于等于而增加速率为而增加速率为减少减少速率为速率为,G 其中其中 为正的比例常数为正的比例常数, 所以所以需要知道需要知道t 时刻中血液中的时刻中血液中的葡萄糖葡萄糖且设葡萄且设葡萄的固定速率输入到的固定速率输入到血液中血液中,并解之并解之. .常数常数k,ddGktG

22、5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程31,ddGktG 即即.ddkGtG 关于关于G的一阶线性非齐次方程的一阶线性非齐次方程由通解公式由通解公式, 得得 dee)(ddCtktGtt 设设G(0)表示最初血液中表示最初血液中葡萄糖含量葡萄糖含量,)0( kGC 于是于是.e )0()(tkGktG 定出定出则可确则可确.etCk 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程32一阶线性微分方程一阶线性微分方程de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP )()(ddxQyxPxy 四、小结四、小结伯努利微分方程伯努利微分方程zyn 1令令)1 , 0()()(dd nyxQyxPxyn 5.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方程33一阶微