线性代数：3向量组的秩

1、四、向量组的秩四、向量组的秩1.极大线性无关组极大线性无关组2.向量组的秩向量组的秩3.向量组的秩的研究和应用向量组的秩的研究和应用4.极大线性无关组的求解极大线性无关组的求解1.极大线性无关组极大线性无关组定义：设定义：设 A1 是向量组是向量组 A 的一个部分向量组，的一个部分向量组，如果如果 A1 线性无关，但将线性无关，但将 A 中其他向量中其他向量(若有若有)添加进添加进 A1 后所得的部分向量组线性相关，后所得的部分向量组线性相关，则称则称 A1 是是 A 的的极大线性无关组极大线性无关组几个等价定义：几个等价定义：1. A1 线性无关，且线性无关，且 A1 与与 A等价等价2.

2、A1 线性无关，且线性无关，且 A中向量均可由中向量均可由A1线性表示线性表示 2.向量组的秩向量组的秩定义：设定义：设 A 是一个向量组，是一个向量组， A1 是是 A 的极大的极大线性无关组，线性无关组， A1中向量的个数称为是中向量的个数称为是A的秩的秩。 问题：问题：1. 极大线性无关组是否唯一？极大线性无关组是否唯一？2. 该定义是否合理？该定义是否合理？3. 若要使该定义合理，需要说明什么？若要使该定义合理，需要说明什么？121212:,:,( )( )rsABABrsA 设设两两个个向向量量组组和和满满足足定定：向向量量组组可可由由向向量量组组线线性性表表示示则则向向量量组组必必

3、线线理理：性性相相关关。121212,.1,rsrrs 设设可可由由线线性性表表示示，且且线线性性无无关关，则则推推论论 ：1nn 任任意意个个维维向向量量一一定定线线性性相相关关。一一般般地地，向向量量个个数数超超过过维维数数时时，它它们们一一定定线线推推论论2 2：性性相相关关。所以，向量组的秩的定义合理所以，向量组的秩的定义合理定义：设定义：设 A 是一个向量组，是一个向量组， A1 是是 A 的极大的极大线性无关组，线性无关组， A1中向量的个数称为是中向量的个数称为是A的秩的秩。 4等等价价的的向向量量组组有有相相推推论论 ：同同的的秩秩。3一一个个向向量量组组的的所所有有极极大大线

4、线性性无无关关组组都都含含有有相相同同个个推推论论 ：数数的的向向量量。3.向量组的秩的研究和应用向量组的秩的研究和应用矩阵的行秩和列秩矩阵的行秩和列秩111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa A A的每一行都是的每一行都是n n维的行向量，一共有维的行向量，一共有m m个行向量，个行向量，这这m m个行向量组成的向量组的秩称为个行向量组成的向量组的秩称为矩阵矩阵A A的行秩的行秩；A A的每一列都是的每一列都是m m维的列向量，一共有维的列向量，一共有n n个列向量，个列向量，这这n n个列向量组成的向量组的秩称为个列向量组成的向量组的秩称为矩阵矩阵A A的列秩的列秩；113

5、4021400050000A 例例题题：求求矩矩阵阵的的行行秩秩和和列列秩秩。. 35 , 0 , 0 , 0,4 , 1, 2 , 0, 4 , 3 , 1 , 1321关组，所以行秩为关组，所以行秩为行向量组的极大线性无行向量组的极大线性无）为）为（）（）（解：解： . 30544,0021,0001421无无关关组组，所所以以列列秩秩也也为为为为列列向向量量组组的的极极大大线线性性 矩矩阵阵的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩阵阵的的秩秩。回顾矩阵的秩的定义：非零子式的最高阶数，回顾矩阵的秩的定义：非零子式的最高阶数，主要计算方法：等价阶梯矩阵的非零行数。主要计算方法：等价

6、阶梯矩阵的非零行数。:A 12m向量组线性无关, , ,rank,mm 12, , , ,121 0mmxxx 方方程程组组只只有有零零解解2利用：利用：矩矩阵阵的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩阵阵的的秩秩。 1212:,rankA , , , ,rArA 中中的的任任意意 个个线线性性无无关关的的向向量量组组成成的的向向量量组组都都设设向向量量组组若若是是的的极极，则则：大大线线性性组组：。推推论论无无关关mm这给出了求解向量组的秩和极大线性无关组的一个方法：这给出了求解向量组的秩和极大线性无关组的一个方法：给定一个向量组，要求它的秩，只要求它对应的矩阵的秩，给定一个向量组

7、，要求它的秩，只要求它对应的矩阵的秩，要求它的极大线性无关组，只要找一个包含要求它的极大线性无关组，只要找一个包含r个向量的线性无个向量的线性无关组。关组。下面我们给出计算秩和求解极大线性无关组的步骤：下面我们给出计算秩和求解极大线性无关组的步骤：1.1. 若为行向量组，先通过转置将它们变为列向量组；若为行向量组，先通过转置将它们变为列向量组；2.2. 将列向量组排列成一个矩阵将列向量组排列成一个矩阵 A=(1, 2 , , t);3.3. 对矩阵对矩阵 A A 进行初等行变换，将其变为阶梯矩阵；进行初等行变换，将其变为阶梯矩阵；4.4. 在阶梯矩阵中的列向量里找出极大线性无关组；在阶梯矩阵中

8、的列向量里找出极大线性无关组；5.5. 在在 A A 中选取相应的列组成的列向量组就是中选取相应的列组成的列向量组就是 A A 的极大线性无的极大线性无关组，其中向量的个数就是原先向量组的秩；关组，其中向量的个数就是原先向量组的秩；6.6. 如果原先向量组为行向量组，再将如果原先向量组为行向量组，再将5 5中求得的列向量极大线中求得的列向量极大线性无关组转置成行向量即可。性无关组转置成行向量即可。计算向量组秩和求解极大线性无关组的步骤：计算向量组秩和求解极大线性无关组的步骤：123452 1 2 24111 0 20 1 2 11111111 2 111( , , , ,),( , , , )

9、,( , , , ,),(, ),( , , , , ). 例例：设设求求秩秩和和一一个个极极大大线线性性无无关关组组。1544332122532422210111111211112111122101101213212112121102200201112011101100421114211102113rrrrrrrrrrrrrr 解解：转转置置后后排排列列为为矩矩阵阵得得32412111121111211112011000110001100021130031300313012130031300000022000000000000rrrr 1231243,.(,) 所所以以秩秩为为 ，极极大大线

10、线性性无无关关组组可可取取为为也也可可取取为为等等矩矩阵阵的的行行秩秩和和列列秩秩都都等等于于定定理理：矩矩阵阵的的秩秩。1212:,:,.1,rsAABB 推推论论向向量量组组的的设设可可由由秩秩向向量量组组线线性性表表示示，则则的的秩秩：121212:,:,( );(|)( )( )(|)(. )( )rsABABr A Br BABr Ar A Br B 记记和和可可由由线线为为两两个个向向量量组组则则: :性性表表和和等等价价思思：示示考考题题()min ( ),( ),.rA BmAr ABsBnrn 设设分分别别为为矩矩阵阵，定定则则理理：1122( )min (), (), (),ttr Ar AAr Ar