微积分课件：7-5 功 水压力和引力

1、 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力1变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功水压力水压力引引 力力小结小结 思考题思考题 作业作业 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力第第7 7章章 定积分的应用定积分的应用 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力2一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功如果一如果一常力常力F作用于一物体距离作用于一物体距离s, 积分得到总功的表达式积分得到总功的表达式.sFW 如果计算功时如果计算功时力或距离是变化力或距离是变化的的, 则需要则需要在某一变量的小区间上求出功微元在某一变量的小区间上求出功微元, 然后求定然后求定那么就那么就说力对这一物体作了功说力对这

2、一物体作了功 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力3设物体在变力设物体在变力F(x)作用下沿作用下沿x轴从轴从ax 移动到移动到),(babx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所求变力所做的功做的功. .在在a, b上任取小区间上任取小区间, d,xxx 在其上所作的在其上所作的功功微元微元xxFWd)(d 因此变力因此变力F(x)在区间在区间a, b上所作的功为上所作的功为 W axxFd)( ba x xxd bx 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力4例例ro q a b,bar rrd 取任一小区间取任一小区间,d,rrr 取取r为积分变量为积分变量,个单位正

3、电荷沿直线从距离点电荷个单位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到b处处 (a b), 求电场力所作的功求电场力所作的功. .解解 当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点r时时,2rqkF 一一电场力为电场力为 1 r 功功微元微元,dd2rrkqW 所求功所求功barkq 1.11 bakq ba Wrrkqd2说明说明处的电位为处的电位为 rrqkd2a 电场在电场在1 库仑定律库仑定律在一个带在一个带+q电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下,ar .aqk 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力5顶部顶部28m解解 建立坐标系建立坐标系.oxyd,xxx 此此 Wd 功

4、微元功微元例例).(752820mkg ,dx xxgd75 xxgWd75.是焦耳是焦耳J总功总功)(2744J028一长为一长为28m, 质量为质量为20kg的均匀链条被悬的均匀链条被悬挂于一建筑物顶部挂于一建筑物顶部(如图如图),问需要作多大的功才能问需要作多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物顶部把这一链条全部拉上建筑物顶部.在在0, 28取任一小区间取任一小区间xxd x链条密度链条密度上对应的链条重上对应的链条重,d,xxx )d(xg x 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力6xxd 53xoy解解 建立坐标系建立坐标系.x.10003米米千克千克 设想水分层抽出设想水分层抽出,

5、d,xxx 把它提到桶口把它提到桶口所作功近似地等于所作功近似地等于 Wd 功微元功微元例例 )d3(2xg xxgd32 存满水存满水,要把桶内的水全部吸出要把桶内的水全部吸出,求所作的功求所作的功.与之对应与之对应x总功总功 W任取小区间任取小区间的水层重的水层重xxgd32 50在底半径为在底半径为3米米, 高为高为5米的圆柱形水桶中米的圆柱形水桶中在区间在区间0,5上上水的密度为水的密度为,d32x ).(112500焦耳焦耳g 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力7如水如水离桶边离桶边1米处米处?xxd 51xoyx法一法一xxgWd32 到桶口距离到桶口距离法二法二xxd xoy

6、xxxgWd)1(32 1 4 Wd15 Wd04x )1( xxgd32 xgd32 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力8二、水压力二、水压力如如, 水坝或闸门的压力水坝或闸门的压力.当压强为常数时当压强为常数时, 故往往需要用定积分计算液体对故往往需要用定积分计算液体对因而采用因而采用“微元法微元法”思想思想.强是不同的强是不同的, 在很多实际问题要求计算液体作用于一在很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力物体表面上的侧压力.压力压力 = 压强压强面积面积,当物体表面位于液体中时当物体表面位于液体中时, 不同深度所受的压不同深度所受的压表面的表面的 侧压力侧压力. . 7.

7、5 功功 水压力和引力水压力和引力9解解 在端面在端面建立坐标系建立坐标系., 0Rx xxxd xxRd222 ,xp xoyR如图如图取取x为积分变量为积分变量,取任一小区间取任一小区间d,xxx 形片上各处的压强近似相等形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为一个横放着的圆柱形水桶一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水桶内盛有半桶水,例例设桶的底半径为设桶的底半径为R,水的比重为水的比重为, 计算桶的一端面计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力. xP d小矩形片的压力微元为小矩形片的压力微元为xxRd222 端面上所受的端面上所受的压力压力 P.323R xxRxd22

8、2 R0桶内盛满水桶内盛满水?小矩小矩 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力10解解 建立坐标系建立坐标系.oxyC(0,3)D(10,1)CD的方程的方程351 xyxxxPd3512d 压力微元压力微元 xxxPd3512 例例).(1633 千牛千牛 010设某水渠的闸门与水面垂直设某水渠的闸门与水面垂直,水渠的横截面水渠的横截面是等腰梯形是等腰梯形.灌满时灌满时, 求闸门所受的水压力求闸门所受的水压力.xxxd 下底为下底为2米米, 上底为上底为6米米, 高为高为10米米, 当水当水如闸门在水下两米如闸门在水下两米? 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力11质量分别为质量分别为M,

9、 m的质点的质点, M mr二者间的引力二者间的引力: :大小大小2rmMkF 方向方向沿两质点的连线沿两质点的连线三、引力三、引力相距相距r则要用定积分计算则要用定积分计算.采用采用“微元法微元法”思想思想.如果要计算如果要计算一根细棒对一个质点的引力一根细棒对一个质点的引力,那么那么, 由于细棒上各点与该点的距离是变化的由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能用故不能用上述公式计算上述公式计算. 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力12,l长为长为线密度为线密度为有一均匀细杆有一均匀细杆 解解建立坐标系建立坐标系.xom

10、.,d,xxx Fd 引力微元引力微元 2)(dxlaxkmF 例例,dx 其其质质量量为为2rMmkF 2)(xla k m.)(laamlk 0lxd lal 法一法一在杆一在杆一端的延长线上有质量为端的延长线上有质量为m的质点的质点, 质点与该端距离质点与该端距离为为a. 计算细杆对质点的引力计算细杆对质点的引力.在在0, l上任取小区间上任取小区间长为长为dx的细杆的细杆可近似地看成质点可近似地看成质点,它与质点的引力它与质点的引力近似地等于近似地等于是否可建立其它坐标系是否可建立其它坐标系? xla xxxd 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力13质质点点与与该该端端距距离离.计

11、计算算细细杆杆对对质质点点的的引引力力在在杆杆一一端端长长为为线线密密度度为为有有一一均均匀匀细细杆杆,l ,的的质质点点的的延延长长线线上上有有质质量量为为m.a为为例例xoxl.m引力微元引力微元法二法二 Fd2)(ax k mxd 2)(daxxkmF .)(laamlk 0l法三法三xoxxd xxd x.mala 引力微元引力微元 Fdkxd m2x 2dxxkmF la a.)(laamlk 2rMmkF ax a x 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力14质质点点与与该该端端距距离离.计计算算细细杆杆对对质质点点的的引引力力在在杆杆一一端端长长为为线线密密度度为为有有一一均均

12、匀匀细细杆杆,l ,的的质质点点的的延延长长线线上上有有质质量量为为m.a为为例例法四法四.mxol xxd xa引力微元引力微元 Fd2)(xa k mxd 2)(dxaxkmF l 0.)(laamlk xa 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力152l2l 解解 建立坐标系建立坐标系. 2,2lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy r取取 y为积分变量为积分变量,取任一小区间取任一小区间d,yyy 有一长度为有一长度为l, 线密度为线密度为 的均匀细棒的均匀细棒, 在在其中垂线上距棒其中垂线上距棒 a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质

13、点M, 计算该棒对质点计算该棒对质点M的引力的引力.例例小段与质点的距离为小段与质点的距离为22yar xyOMa)(m yyyd 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力16 细杆对质点细杆对质点引力微元引力微元 22ddyaymkF 水平方向的分力微元水平方向的分力微元,)(d2322yayamk 23)(d22yayamkFx ,)4(22122laalkm 引力在铅直方向分力为引力在铅直方向分力为. 0 yF xFd cosd FFdFyaad22 taytan 设设)cos( 22cosyaa 对称性对称性2l2l 2rMmkF rxyOMa)(m yyyd 7.5 功功 水压力和引力

14、水压力和引力17和引力等物理问题和引力等物理问题(注意熟悉相关的物理知识注意熟悉相关的物理知识)四、小结四、小结利用利用“微元法微元法”的的思想思想 求变力沿直线作功、求变力沿直线作功、水压力水压力 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力18泥后泥后提出井口提出井口, 已知井深已知井深30m, 抓斗自重抓斗自重400 N, 缆绳缆绳每每 为为清除井底污泥清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底用缆绳将抓斗放入井底, 抓起抓起污污米重米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N,提示提示 思考题思考题1考研数学考研数学(一一) 6分分 作作 x 轴如图轴如图ox30 xxd x提升速度为

15、提升速度为3ms, 在提升过程中在提升过程中,污泥以污泥以20Ns的速度从抓斗缝隙的速度从抓斗缝隙中漏掉中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升现将抓起污泥的抓斗提升问克服重力需作多少焦耳问克服重力需作多少焦耳至井口至井口,( J )功功? 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力19井深井深30 m, , 抓斗自重抓斗自重400 N, 缆绳每米重缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度为提升速度为3ms , 污污泥以泥以20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉解解ox30 xxd x将抓起污泥的抓斗提升将抓起污泥的抓斗提升至井口至井口,需作功需作功 w1

16、w是克服抓斗自重所作的功是克服抓斗自重所作的功;2w是克服缆绳重力所作的功是克服缆绳重力所作的功;3w为提出污泥所作的功为提出污泥所作的功, 1w1200030400 x提升到提升到xxd 将抓斗由将抓斗由克服缆绳克服缆绳重力所作功元素重力所作功元素 2dw1w3w 2w xd50 )30(x 考研数学考研数学(一一) 6分分 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力20 2dwxd50 )30(x ox30 xxd x 2w井深井深30 m, , 抓斗自重抓斗自重400 N, 缆绳每米重缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重抓斗抓起的污泥重2000N, 提升速度为提升速度为3ms , 污污泥以泥

17、以20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉的速度从抓斗缝隙中漏掉在时间间隔在时间间隔d,ttt 内提升污泥需内提升污泥需作功为作功为 3dw将污泥从井底提升将污泥从井底提升至至井井口共需时间口共需时间,10330 3wtt d)202000(3 01057000 共需作功共需作功120001 w wtd3 )202000(t 300d)30(50 xx22500).(91500570002250012000J 考研数学考研数学(一一) 6分分 7.5 功功 水压力和引力水压力和引力21思考题思考题2 某闸门的形状与大小如图所示某闸门的形状与大小如图所示,其中直线其中直线l为对称轴为对称轴, 闸门的上部为矩形闸门的上部为矩形ABCD, 下部为由二次抛物线与线下部为由二次抛物线与线 段段AB所围成所围成. 当水面与闸门的上端相平时当水面与闸门的上端相平时, 欲使闸门欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为比为5:4, 闸门矩形部分的高闸门矩形部分的高h应为多少应为多少m(米米)?BACD1h Oxy解解 建立坐标系建立坐标系.令抛物线方程为令抛物线方程为aa矩形矩形 hxgxaP01d2 2gha )1(22 hxpyha22ap 则抛物线方程为则抛物线方程为)1(22 hxay考研数学考研