微积分课件：3-1 导数与微分的概念

1、第第3 3章章 导数与微分导数与微分0 xx TxyO)(xfy CN M 2引例引例导数导数(derivative)的定义的定义3.1 导数与微分导数与微分的概念的概念第第3 3章章 导数与微分导数与微分微分微分(differential)的定义的定义可微与可导的关系可微与可导的关系导数的几何意义与物理意义导数的几何意义与物理意义求导数与微分举例求导数与微分举例单侧导数单侧导数函数可微性与连续性的关系函数可微性与连续性的关系小结小结 思考题思考题 作业作业微分的几何意义微分的几何意义3例例 直线运动的瞬时速度问题直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动一质点作直线运动, 已知路程已知路程 s

2、与时间与时间 t 的的试确定试确定t0时的时的瞬时速度瞬时速度v(t0).),()(00tsttss )( tv 这段时间内的这段时间内的平均速度平均速度时刻的速度时刻的速度.解解.ts 若运动是若运动是匀速的匀速的, 平均速度就等于质点在每个平均速度就等于质点在每个一、一、引例引例关系关系s = s(t).质点走过的路程质点走过的路程,00ttt 从时刻从时刻 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念4此式既是它的定义式此式既是它的定义式, 又指明了它的计算又指明了它的计算它越近似的它越近似的定义为定义为 )(0tv,)()(lim000ttsttst 并称之为并称之为t0时的时的瞬时速度瞬

3、时速度v(t0).瞬时速度是路程对时间的变化率瞬时速度是路程对时间的变化率.若运动是若运动是非匀速非匀速的的,)( tv 平均速度平均速度是这段是这段时间内运动快慢的平均值时间内运动快慢的平均值,t 越小越小,表明表明 t0 时运动的快慢时运动的快慢. 因此因此, 人们把人们把 t0时的速度时的速度注注方法方法,ts 0lim t 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念5例例割线的极限位置割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题若已知平面曲线若已知平面曲线 y = f (x),如何作过曲线如何作过曲线 初等数学中并没有给出曲

4、线切线的定义初等数学中并没有给出曲线切线的定义.该点的切线该点的切线.我们知道与圆周有唯一交点的直线我们知道与圆周有唯一交点的直线即为圆周过即为圆周过但此定义不适应其它曲线但此定义不适应其它曲线.如与抛如与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线物线有唯一交点的直线不一定是切线.切线位置切线位置.上点上点M ( x0, f (x0)的切线呢的切线呢.法国数学法国数学家费马在家费马在1629年提出了如下的定义和求法年提出了如下的定义和求法,P.de Fermat 1601-1665 圆满地解决了这个问题圆满地解决了这个问题.从而从而 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念60 x处切线的斜率处切线的

5、斜率.已知曲线的方程已知曲线的方程 y = f (x), 确定点确定点M (x0, y0)如果割线如果割线MN绕点绕点极限位置即极限位置即, 0MN称称MT为曲线为曲线C在点在点如图如图,. 0 NMTx TxyO)(xfy CN MM旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,M处的处的切线切线. 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念700tanxxyy ,)()(00 xxxfxf N tan k00)()(xxxfxf 割线割线MN的斜率为的斜率为,0 xx 切线切线MT的斜率为的斜率为C沿曲线沿曲线,M0 xx TxyO)(xfy CN M 设设M (x0, y0), N (x, y

6、).0limxx 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念8 就其实际意义来说各不相同就其实际意义来说各不相同, 关系上确有如下的共性关系上确有如下的共性:但在数量但在数量1. 在问题提法上在问题提法上,都是已知一个函数都是已知一个函数y = f (x),求求 y 关于关于x在在x0处的变化率处的变化率.2. 计算方法上计算方法上,(1) 当当y随随 x均匀变化时均匀变化时, 用除法用除法.(2) 当变化是非均匀的时当变化是非均匀的时, 需作平均变化率需作平均变化率xyx 0lim 在现实生活中在现实生活中,凡涉及变化率的问凡涉及变化率的问题题,其精确描述和计算都离不开此式所其精确描述和计算都

7、离不开此式所规定的这一运算规定的这一运算.上述两例上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题分别属于运动学、几何学中的问题,xxfxxfx )()(lim000的极限运算的极限运算: 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念9定义定义3.1xxfxxfxy )()(00,00时时变到变到当自变量从当自变量从xxx 之之比比x 平均变化率平均变化率. .二、导数的定义二、导数的定义与与自自变变量量的的增增量量的的增增量量)()(00 xfxxfy 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念设函数设函数y = f (x)在在x0的某个邻域内有的某个邻域内有定义定义,称为函数称为函数y = f (x)的

8、的函数函数y = f (x)10, 0 x如如,0 xxy )(0 xf 中的任何一个表示中的任何一个表示, )(0 xfxy 存在存在,如如平均变化率的极限平均变化率的极限:)1()()(lim000 xxfxxfx 0lim x或或,dd0 xxxy 0d)(dxxxxf .)()(lim000 xxfxxfx 函数在一点函数在一点 处的变化率处的变化率0 x(derivative)或有导数或有导数. 可用下列记号可用下列记号则称此极限值为则称此极限值为 f (x)在在x0处的导数处的导数.并说并说 f (x)在在x0处可导处可导 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 3.1 导数与微

9、分的概念导数与微分的概念11处不可导或导数不存在处不可导或导数不存在.特别当特别当(1)式的极限为式的极限为有时也说在有时也说在x0处导数是正处导数是正(负负)无无注注要注意导数定义可以写成多种形式要注意导数定义可以写成多种形式:,)()(lim)(0000 xfxfxf .)()(lim)(0000 xfxfxf 当极限当极限(1)式不存在时式不存在时, 就说函数就说函数 f (x)在在x0在利用导数的定义证题或计算时在利用导数的定义证题或计算时,正正(负负)无穷时无穷时,穷大穷大, 但这时但这时导数不存在导数不存在.)1()()(lim)(0000 xxfxxfxfx x x x hhhh

10、 h h 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念12 )(0 xf关于导数的说明关于导数的说明或或如果如果 x0= 0, 可以写成可以写成)0(f 特别特别是是,xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xx 0,)()(lim000 xxxfxfxx .)0()(lim0 xfxfx 0 xx (1) 点导数是因变量在点点导数是因变量在点x0处的变化率处的变化率,它反它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度.(2) 如果函数如果函数y = f (x)在开区间在开区间 I 内的每点处内的每点处都可导都可导, 就称函数就称函数 f (x)在开区

11、间在开区间 I 内可导内可导.13xxfxxfyx )()(lim0.)()(lim)(0hxfhxfxfh 注注 )(0 xf,y 记作记作),(xf xydd.d)(dxxf或或即即或或)(xf 0 xx (3) 对于任一对于任一都对应着都对应着 f (x)的一个确定的一个确定, Ix 的导数值的导数值. 这个函数叫做原来函数这个函数叫做原来函数f (x)的的导函数导函数. 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念14 35例例 用导数表示下列极限用导数表示下列极限.5)()3(lim,)()1(0 xafxafaxxfx 求求可导可导在在设设解解xafxafx5)()3(lim)1(0

12、)()3(lim0afxafx xafxafx3)()3(lim530 x3).(53af .2)()(lim, 2)()2(0hafhafafh 求求已知已知解解hafhafh2)()(lim)2(0 )()(lim0afhafh )(21af 21. 1 h hxfhxfxfh)()(lim)(0000 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念15导数导数微分微分导数与微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值所引起的改变量的近似值

13、.有着密切的联系有着密切的联系.三、微分的定义三、微分的定义 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念16正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且为且为 A x )1()2(x x 2)( x 问题的引出问题的引出实例实例x 线性函数线性函数(linear function)xx 0 xx 0的线性的线性(一次一次)函数函数,x 当当,的次要部分的次要部分且为且为 A 很小时可忽略很小时可忽略

14、.2,0 xxAx 很小时很小时当当的高阶无穷小的高阶无穷小, 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念17再如再如,03时时处的改变量为处的改变量为在点在点设函数设函数xxxy 3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x y),()2(xox 的的高高阶阶无无穷穷小小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值. y 求函数的改变量求函数的改变量.320 xx 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念18xAy , 0 A当当yxA 一定条件一定条件,线性函数线性函数, 对一般函数对一般函数 y = f (x),则无论在理论分析

15、上还是在实际应用则无论在理论分析上还是在实际应用).( xo 则函数的增量则函数的增量 y可以表示为可以表示为 如果存在这样的近如果存在这样的近似公式似公式,中都是十分重要的中都是十分重要的.)( x o,很小时很小时且且 x 对一般函数对一般函数 y = f (x), 如果如果 y = f (x) 满足满足 xAy其中其中A是不依赖于是不依赖于 x的常数的常数, 因此因此A x是是 x的的且且 y与它之差与它之差 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念19定义定义3.2 微分的定义微分的定义,00在这区间内在这区间内及及xxx )()(00 xfxxfy如果如果则称函数则称函数xA 0dx

16、xy .d0 xAyxx 即即可微可微(differentiable),A为微分系数为微分系数),(d0 xf或或记作记作微分微分(differential),并称并称为函数为函数 y = f (x)在点在点 x0相应于自变量增量相应于自变量增量 x的的 设函数设函数 y = f (x)在某区间内有定义在某区间内有定义, y = f (x)在点在点 x0)( xoxA 成立成立(其中其中A是与是与 x无关的常数无关的常数), 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念20设函数设函数 y = f (x)在点在点 x0可微可微,),()(00 xfhxfy 必有必有时时则当则当,0h.d)(的等价

17、无穷小量的等价无穷小量是是hyA.d)(高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比hyB.d)(高阶的无穷小量高阶的无穷小量是比是比hyyC .d)(的同阶无穷小量的同阶无穷小量是是hyyD 选择题选择题 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念21定理定理3.1证证),( xoxAy .A .)(d0 xxfy 即有即有).(0 xfA 且且),(0 xfA 且且 xyxxoA )(0lim x 0lim x因为因为 f (x)在点在点 x0可微可微,所以所以所以所以即函数即函数 f (x)在点在点 x0可导可导,函数函数 f (x)在点在点 x0可微可微函数函数 f (x)在点在点 x0处可导处

18、可导,)( xoxAy 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念四、可微与可导的关系四、可微与可导的关系 满足什么条件的函数是可微的呢？满足什么条件的函数是可微的呢？ 微分的系数微分的系数A如何确定呢如何确定呢? 可微与导数有何关系呢可微与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题下面的定理回答了这些问题.22),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf 求导法又叫微分法求导法又叫微分法.)(d0 xxfy 从而从而.)(0Axf 且且其微分一定是其微分一定是.)(d0 xxfy 即有即有),(0 xfA 且且函数函数 f (x)在点在点

19、 x0可微可微函数函数 f (x)在点在点 x0处可导处可导,定理定理3.1因为因为 f (x)在点在点 x0可导可导,所以所以所以函数所以函数 f (x)在点在点 x0可微可微,所以所以可导可导 可微可微.)0, 0( x)( xoxAy 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念23有关有关和和与与xxxx 的增量的增量通常把自变量通常把自变量)2(xxfyd)(d ).(ddxfxy 导数称为微商导数称为微商),(ddxfy或或 称为函数称为函数的微分的微分,记作记作.)(dxxfy 即即称为自变量的称为自变量的微分微分,记作记作,dx.dxx 即即注注所以所以,(1) 函数函数y = f

20、 (x)在在任意点任意点x的微分的微分, 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念24导数的几何意义导数的几何意义)(0 xf 特别地特别地:)( ,tan)(0为倾角为倾角 xf即即0 xxyO)(xfy CT M 在点在点M( x0, f (x0)处的切处的切表示曲线表示曲线 y = f (x)线的斜率线的斜率,则曲线则曲线 y = f (x)在点在点M( x0, f (x0)的切线平行于的切线平行于Ox轴轴;, 0)()1(0 xf若若五、导数的几何意义与物理意义五、导数的几何意义与物理意义 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念微分的几何意义微分的几何意义25).)(000 xxxf

21、yy ).0)()()(10000 xfxxxfyy,)()2(0 xf若若则曲线则曲线 y = f (x)在点在点M( x0, f (x0)的切线垂直于的切线垂直于Ox轴轴.曲线曲线 y = f (x)在点在点M( x0, f (x0)处的切线方程为处的切线方程为曲线曲线 y = f (x)在点在点M( x0, f (x0)处的法线方程为处的法线方程为 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念26非均匀非均匀变化量的瞬时变化率变化量的瞬时变化率.路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的.ddlim)(0tststvt 电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度;.ddlim

22、)(0tqtqtit 为物体的线为物体的线(面面, 体体)密度密度.变速直线运动变速直线运动交流电路交流电路非均匀的物体非均匀的物体 质量对长度质量对长度(面积面积, 体积体积)的导数的导数 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念导数的物理意义导数的物理意义瞬时速度瞬时速度;27,很小时很小时当当 x 如图：如图：xxfyd)(d0 对应的增量对应的增量,坐标坐标增量时增量时;当当 y是曲线的是曲线的纵纵dy就是就是切线切线纵坐标纵坐标x tanPQ yd xyO)(xfy T0 xM xx0 N PQy yd)( xo x 在点在点M 的附近的附近,切线段切线段MP 可近似代替曲线段可近似

23、代替曲线段MN. 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念微分的几何意义微分的几何意义 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念28并写出在该点处的切线方程与法线方程并写出在该点处的切线方程与法线方程.例例,)2 ,21(1处的切线的斜率处的切线的斜率在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx. 01582 yx由由导数的几何意义导数的几何意义,即即即即)(000 xxxfyy )()(1000 xxxfyy 29求

24、增量求增量)1(算比值算比值)2(求极限求极限)3(例例.)()(的导数与微分的导数与微分为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 0lim h. 0 0)( C( (几个基本初等函数的导数与微分几个基本初等函数的导数与微分) ) 步步 骤骤 );()(xfxxfy ;)()(xxfxxfxy .lim0 xyyx 即即CC h 导数的定义不仅给出了导数的概念导数的定义不仅给出了导数的概念,也提供了计算方法也提供了计算方法. 因而它也属于双重意因而它也属于双重意义的定义义的定义.0)( C六、求导数与微分举例六、求导数与微分举例 3.1 导数与微分的概念导数

25、与微分的概念微分微分 )(d C xC d)(. 0 xxfyd)(d 30例例.sin)(的导数与微分的导数与微分求函数求函数xxf 解解 )(sin x22sin)2cos(lim0hhhxh ,cosx .cos)(sinxx )(sindx即即同理可得同理可得,sin)(cosxx 自己练习自己练习hxhxhsin)sin(lim0 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念微分微分 xx d)(sin.dcosxx.dsin)(cosdxxx xxfyd)(d 导数的定义导数的定义 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念31例例.)(的导数与微分的导数与微分为正整数为正整数求函数求函

26、数nxyn 解解 )(nx! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx,1 nnx.)(1 nnnxx更一般地更一般地),()(1Rxx )( x如如12121 x,21x )(1 x11)1( x,12x 即即nnkknkknqpqpC)(0 牛顿二项公式牛顿二项公式hxhxnnh )(lim0微分微分 )(dnx.d1xnxn xxnd)( )(d x.d1xx )(dx.d21xx )(d1x.d12xx 32例例.)1, 0()(的导数与微分的导数与微分求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax ,ln)(aaaxx .e)

27、e (xx 即即 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念微分微分 )(dxa.dlnxaax xaxd)(33例例.)1, 0(log的的导导数数与与微微分分求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 elog1)(logaaxx .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 . elog1ax 即即,ln1ax 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念微分微分 )(logdxa.dln1xax xxad)(log34例例处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数0|)( xxxf解解,|)0()0(hhhfhf hfh

28、fh)0()0(lim0 , 1 hfhfh)0()0(lim0 . 1 ,0)(点不可导点不可导在在即函数即函数 xxfy所以所以hhh 0limhhh 0limxy xyO 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念与可微性与可微性.hfhfh)0()0(lim0 不存在不存在,也不可微也不可微.x = 0为为f (x)的角点的角点35右导数右导数 左导数左导数 )(0 xf )(0 xf;)()(lim000 xxfxxfx .)()(lim000 xxfxxfx )0(0 xf)0(0 xf又分别可以解释为曲线又分别可以解释为曲线y = f (x)在在 (x0, f (x0)点的左切线的

29、斜率与右切线的斜率点的左切线的斜率与右切线的斜率.000)()(lim0 xxxfxfxx 000)()(lim0 xxxfxfxx 从几何上从几何上(left derivative)(right derivative) 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念七、单侧导数七、单侧导数定义定义3.336处的可导性处的可导性.和和且且)(af )(bf 处可导处可导在在0)(xxf,)()(00都存在都存在和右导数和右导数左导数左导数xfxf .且相等且相等此性质常用于判定此性质常用于判定分段函数分段函数在在分段点分段点如果如果 f (x)在开区间在开区间(a, b)内可导内可导,都存在都存在,

30、 就说就说 f (x)在闭区间在闭区间a, b上可导上可导. 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念定理定理3.237)()(xoxxfy ,0时时显显然然当当 x设函数设函数 y = f (x)在点在点x处可微处可微, 则则由连续的定义可知由连续的定义可知,八、函数可微性与连续性的关系八、函数可微性与连续性的关系 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念. 0 y函数函数y = f (x)在点在点x处连续处连续. .如如,反之反之,0)(处处连连续续在在 xxxf连续是可微的必要条件连续是可微的必要条件, 不是可微的充分条件不是可微的充分条件. .但在但在x = 0处不可微处不可微. .若

31、若y = f (x)在点在点x处连续处连续, 则则y = f (x)在在点点x处不一定可微处不一定可微. .(前面已证前面已证)38例例,0, 00,1sin)( xxxxxf讨论函数讨论函数解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf,0处处在在 x xy,1sinx ,0时时当当 x,0)(处不可导处不可导在在 xxf, 0)(lim)0(0 xffx.11之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在 xy xx01sin)0(x 0在在x = 0处的连续性与可微性处的连续性与可微性. . 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念因为因

32、为所以所以因为因为所以所以所以所以即即.0)(处不可微处不可微在在 xxf39 .,)(002xxbaxxxxxf当当当当设设为了使为了使 f (x) 在在x0处可导处可导, 解解 首先函数必须在首先函数必须在x0处连续处连续.由于由于 )(lim0 xfxx )(lim0 xfxx )(0 xf故应有故应有.200 xbax 又因又因,20 x,0bax .20 x )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 02020limxxxxxx ,20 x 应如何选取应如何选取a, b ? 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念40 )(0 xf00)()(lim0 xxxfxfxx 0

33、20)(lim0 xxxbaxxx 00)()(lim0 xxbaxbaxxx 200 xbax 000limxxaxaxxxa从而从而,)(0 xf 02x ,20 xa 当当 f (x)在在x0处可导处可导.,20 xb .,)(002xxbaxxxxxf当当当当设设应如何选取应如何选取a,b?为了使为了使 f(x) 在在x0处可导处可导, 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念 3.1 导数与微分的概念导数与微分的概念41设函数设函数 f (x)在在0 x. 0)0(,)(lim)A(0 fxxfx则则存在存在若若处连续处连续, 下列命题下列命题错误错误的是的是. 0)0(,)()(lim)B(0 fxxfxfx则则存在存在若若.)0(,)(lim)C(0存在存在则则存在存在若若fxxfx .)0(,)()(lim)D(0存在存在则则存在存在若若fxxfxfx )0()(lim0fxfx |,|)()D(xxf 设设 xxfxfx)()(lim00|lim0 xxxx)0(f 不存在不存在.存在存在,数学考研数学考研, 选择题选择题4分分42导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率; 求导数最基本的方法