理论力学课件：第十一章 动量矩定理

1、1质点的动量矩：质点的动量矩：对点对点O的动量矩的动量矩:vmrvmMO)(对对 z 轴的动量矩轴的动量矩:)()(xyOzvmMvmM从从 z 轴正向看，逆时针轴正向看，逆时针为正，顺时针为负。为正，顺时针为负。)()(vmMvmMzzO 单位：单位：kgm2/s（矢量）（矢量）11-1 11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩(代数量代数量) 质点质点Q的动量对于点的动量对于点O的矩。的矩。o)F(M)F(MxyOzvmrvmMO)(Fr)F(MO)vm(M)vm(MxyOz)()(vmMvmMzzO)F(M)F(MzzO)(iiOOvmML)(iizzvmML 2质点系的动量矩

2、质点系的动量矩 质点系对点的动量矩：质点系对点的动量矩： 质点系对轴的动量矩：质点系对轴的动量矩：zzOLLkLjLiLLzyxO 即即 iiiOvmrL iiiiiCvmrvmr,Ciivmvm其其中中：CCCOLvmrLCCOLvmM质点系对任一定点质点系对任一定点O的动量矩的动量矩iiiCvmrrCiiiLvmr 质点系对任一点质点系对任一点O的动量矩，的动量矩，等于质点系随质心平移时对点等于质点系随质心平移时对点O的动量矩的动量矩 , 加上质点系相对于质加上质点系相对于质心心C的动量矩的动量矩LC。刚体三种运动时的质点系的动量矩：刚体三种运动时的质点系的动量矩：（1） 刚体平移刚体平移

3、)(CzzvmML ),(COOvmML可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。可将全部质量集中于质心，作为一个质点来计算。平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。的动量对该点（轴）的动量矩。)(iizzvmMLiiirrm（2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动2iizrmJ 转动惯量转动惯量iiirvm2iirmzzJL 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。体对该轴转动惯量与角速度的乘积。 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的平面运动刚体对垂直于质量对称

4、平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。（3）平面运动刚体）平面运动刚体CCzzJvmmL)(例例 :已知：均质圆盘质量为已知：均质圆盘质量为m，半径为，半径为R，沿地面纯滚动，角速度，沿地面纯滚动，角速度 为为 。求：圆盘对求：圆盘对A、C、P三点的动量矩（三点的动量矩（A点角度为点角度为45度）。度）。CAPCAP解：解：点点C为质心为质心22mRJLCC点点P为瞬心为瞬心232mRJLPP或：或：2321222mRmRmRJRmvLCCP2

5、) 12(212222222mRmRmRJRmvLCCACCZZJvmML求：圆盘对求：圆盘对A、C、P三点的动量矩（三点的动量矩（A点角度为点角度为45度）。度）。23vv 3232222221OvRmmRJRJL)( OL11J OCOBOALLL )(22222RvmJ 233Rvm 11R21 22R 替代，替代，均用均用，将将3221vv, 22112RR)(dd)(ddvmrtvmMtOvmtrdd 1质点的动量矩定理质点的动量矩定理设设O为定点，有为定点，有0vmvFvmt)(dd其中：其中：vtrddvmrvmMO)()()(ddFMvmMtOO)( vmtrdd11-2 11

6、-2 动量矩定理动量矩定理F)()(ddFMvmMtxx)()(ddFMvmMtyy)()(ddFMvmMtzz在直角坐标轴上的投影式：在直角坐标轴上的投影式：)()(ddFMvmMtOO质点的动量矩定理质点的动量矩定理质点对某定点质点对某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用力的动量矩对时间的导数，等于作用力对于同一点的矩。对于同一点的矩。)(ddiiOvmMt)(dd)(eiOOFMtL质点系对某定点质点系对某定点O的动量矩对时间的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。)()()(dd)()(eiOiiOiiO

7、FMFMvmMt)()()(dd)()(eiOiiOiiOFMFMvmMt2. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 由于由于 0FMiiO )(;)()()(ddFMvmMtOO)(ddiiOvmMttLOdd质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点的动量矩定理质点的动量矩定理:质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理:tLOdd)(dd)(eixxFMtL)(dd)(eiyyFMtL)(dd)(eizzFMtL注注 1、 内力不能改变质点系的动量矩。内力不能改变质点系的动量矩。在直角坐标轴上的投影式：在直角坐标轴上的投影式：2、动量矩定理的表达式只适用于对、动量矩定理的表达式只适用于对固定点和

8、固固定点和固 定轴定轴，对动点或动轴通常是不成立的。，对动点或动轴通常是不成立的。)()(eoFMRmgMmvRJtsindd22mRJmgRMRasin例例1 已知：小车已知：小车 ，不计摩擦。，不计摩擦。,MJRma求小车的加速度求小车的加速度 。RvmJ解：解：,Rvatvdd由由取小车和鼓轮组成质点系取小车和鼓轮组成质点系OLRmgMsinyFmgNFxF1P)(dd)(eOOFMtL 由由 注注：计算动量矩与力矩时，计算动量矩与力矩时， 符号规定应一致。符号规定应一致。3动量矩守恒定律动量矩守恒定律若若 ，则，则 常矢量；常矢量；0)()(eOFMOL若若 ，则，则 常量。常量。0)

9、()(ezFMzL求：剪断绳后，求：剪断绳后， 角时的角时的 。例例2两小球质量皆为两小球质量皆为 ，初始角速度，初始角速度 。m0020221maamaLz2)sin(22lamLz时，时，00 时，时，202laa)sin(由由 ，21zzLL解：系统所受重力和轴承的约束力对转轴的矩都等解：系统所受重力和轴承的约束力对转轴的矩都等 于于0，故，故系统对转轴的动量矩守恒系统对转轴的动量矩守恒。nFFF,21主动力：主动力：21,NNFF约束力约束力：)(ddzJt)(izFM)(izzFMtddJ 即：即：)(FMJzz或或)(dd22FMtJzz或或)()(iNzizFMFM12-3 12

10、-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 1） 若若 ,则恒量，刚体则恒量，刚体 作匀速转动或保持静止。作匀速转动或保持静止。( )0zm F , 0特殊情况特殊情况：2）若）若 常量，则常量，则 常量，刚体作匀变速转动。常量，刚体作匀变速转动。 zM F 将将 与与 比较，比较，刚体的转动惯量刚体的转动惯量 是刚体转是刚体转动惯性的度量。动惯性的度量。zzJMFam zJ)(izzFMtddJ )(FMJzz)(dd22FMtJzz刚体绕定轴的转动微分方程：刚体绕定轴的转动微分方程：1）已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。）

11、已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。2）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力）已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。（矩）。注意：动量矩定理不能求出轴承处的约束反注意：动量矩定理不能求出轴承处的约束反 力，需用质心运动定理求解。力，需用质心运动定理求解。应用：解决两类问题应用：解决两类问题求：求： 。例例 已知已知1111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM 上上作作轴轴1RRiJJ121221,1解：解：ttFF 121221iRR因因 ， ，上上阻阻力力矩矩轴轴2M2分别取轴分别取轴1，轴，轴2为研究对象为研究对象,1M用用主主动动力力矩矩，忽忽略略

12、摩摩擦擦。21iinizrmJ 单位：单位：kgm2 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算（1）均质细直杆对其端轴的转动惯量）均质细直杆对其端轴的转动惯量 )d(2l0lzxxJ2zml31Jdxmdxl的的质质量量：微微段段单单位位长长度度的的质质量量:l3l3l11-4 11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 定义：定义：lml42)d2(402RrrrJARAO2izRmJ（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量Aiiirrmd2（3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2RmA221mRJO i2mR 2mR均质圆

13、板单位面积的质量均质圆板单位面积的质量 ：A2. 2. 回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径） mJzz2zzmJ或或定义：定义：对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。z细直杆：细直杆：均质圆环：均质圆环：均质圆板：均质圆板：2zl31mJ2zRmJ2zR21mJ几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。体，其回转半径是相同的。l33zzR22z2mdJJzcz3平行轴定理平行轴定理刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心

14、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。21rmJizc)(222yxmrmJiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(iiiCmymy证明：证明：2zCzmdJJ0iiym)(2121iyxm0yC当坐标原点取在质心当坐标原点取在质心Cc例例1：均质细直杆，已知：均质细直杆，已知 。231mlJzlm,要求记住四个转动惯量：要求记住四个转动惯量：2mR2（1）均质圆盘对盘心轴的转动惯量）均质圆盘对盘心轴的转动惯量32ml（3） 均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量122m

15、l（4） 均质细直杆对中心轴的转动惯量均质细直杆对中心轴的转动惯量12ml2解：解：Cz求：对过质心且垂直于杆的求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。轴的转动惯量。CZz对一端的对一端的 轴，有轴，有ZzCJ2z2lmJ)(（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量2mR例例2：已知杆长为：已知杆长为 质量为质量为 ，圆盘半径为，圆盘半径为 质量为质量为 。OJ求：求： 。ld1m2mOJ231mlJO杆OJ盘盘)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解：解：22222dlm2dm21)()(盘盘杆杆OOJJ例例4：求曲柄对：求曲柄对 轴的转动惯

16、量。轴的转动惯量。O将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O 上，上，作微幅摆动。作微幅摆动。mglJT2已知已知其中其中 已知，已知， 可测得，可测得，从而求得从而求得 。lm,TJ解：解：224mglTJ（实验法）（实验法） eiiFr 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 eiCFrtLCdd eiiCFrtLdd )(eiCCFMtLdd质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。作用于质点系的外力对质心的主矩。tLOddCCCLvmrtdd eiiFr CCCCvmtrvmtrddddtLCddiCirr

17、r eiCFr比较得：比较得：或或11-5 11-5 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 )(eCCeCFMJFam )(eC22Ce2C2FMtJFtrmdddd或或取质心取质心C为动系原点，为动系原点，*随质心随质心C的平动的平动 (xC , yC)质心运动定理质心运动定理 , CCJL )( )(eCCFmJ 则此平面运动可分解为：则此平面运动可分解为：刚体的平面运动微分方程：刚体的平面运动微分方程： )(eiCCFMtLdd11-6 11-6 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理*绕质心绕质心C的转动（的转动（ ）

18、eCFam )(eCCeyCyexCxFMJFmaFma )(eCCennCettCFMJFmaFma应用时一般用投影式：应用时一般用投影式：或或 例例1 半径为半径为r，质量为，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示。设轮的惯性半径为示。设轮的惯性半径为 ，作用于轮的力偶矩为，作用于轮的力偶矩为M 。求轮心的。求轮心的加速度？如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为加速度？如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f，问力偶，问力偶M必须符必须符合什么条件不致使圆轮滑动合什么条件不致使圆轮滑动?C解：解：FmaCx其中其中CCxaa得得mgFmaFrrFMrmMraNCCCC,2222纯滚动的条件：纯滚动的条件：NsFfF 即即rrmgfMCs22FrMm2CmgFmaNC