微积分：3-3 高阶导数

1、1高阶导数的定义高阶导数的定义莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz)公式公式小结小结 思考题思考题 作业作业3.3 高阶导数高阶导数几个基本初等函数的几个基本初等函数的n阶导数阶导数 第第3 3章章 导数与微分导数与微分2一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的变速直线运动的加速度加速度.),(tss 设设)()(tstv 则瞬时速度为则瞬时速度为 )(ta)(xf xxfxxfxfx )()(lim)(0高阶导数也是由实高阶导数也是由实际需要而引入的际需要而引入的.这就是二阶导数的物理意义这就是二阶导数的物理意义)(tv )(ts ) )( xf则称则称存在存在,二阶导数

2、二阶导数. .)( 记作记作),(xf 22ddxy.d)(d22xxf或或,y 因为因为加速度加速度a是是速度速度v对时间对时间t的变化率的变化率所以所以如果函数如果函数f (x)的导数的导数在点在点x处可导处可导, 即即为函数为函数f (x)在点在点x处的处的 3.3 高阶导数高阶导数3.d)(ddd,),()()(nnnnnnxxfxyyxf或或三阶导数的导数称为三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为.dd,),(33xyyxf 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为.dd,),(44)4()4(xyyxf高阶导数高阶导数.三阶导数三阶导数, ,四阶导数四阶

3、导数, , n阶导数阶导数, , 记作记作一般地一般地, 函数函数f (x)的的(n 1)阶导数在点阶导数在点x处可导处可导, 3.3 高阶导数高阶导数 )()(xfn即即存在存在,xxfxxfnnx )()(lim)1()1(0则称其为函数则称其为函数f (x)在点在点x处的处的 .)(称称为为一一阶阶导导数数xf 相应地相应地, f (x)称为零阶导数称为零阶导数;4),(baD (a, b)内全体可导函数的集合内全体可导函数的集合;),(baDn (a, b)内全体有内全体有n阶导函数的集合阶导函数的集合;),(baCn (a, b)内全体内全体n阶导函数连续阶导函数连续的集合的集合.

4、3.3 高阶导数高阶导数如果函数如果函数f (x)在点在点x处具有处具有n阶导数阶导数, , 那么那么f (x)在在点点x的某一邻域内的某一邻域内必定具有一切低于必定具有一切低于n阶的导数阶的导数. .5例例解解,112xy )11(2 xy,)1(222xx 22)1(2xxy,)1()13(2322xx ; 0 . 2 由高阶导数的定义由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法而不需要新的方法.,arctan00 xxyyxy求求设设0220)1(2 xxxxy03220)1()13

5、(2 xxxxy 3.3 高阶导数高阶导数6例例.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn ,n为自然数为自然数若若 )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 二、几个基本初等函数的二、几个基本初等函数的n阶导数阶导数 则则 3.3 高阶导数高阶导数7例例.,e)(nxyy求求设设 解解,exy ,exy ,exy .e)e ()(xnx 例例.),1( )1ln()(nyxxy求求设设 解解,11xy ,)1(12xy ,)1(! 23xy ,)1(! 34)4(xy ).1!

6、 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 3.3 高阶导数高阶导数8例例.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos ),2sin( x)2cos( xy)22sin( x),22sin( x)22cos( xy),23sin( x)2sin()( nxyn同理可得同理可得即即);2sin()(sin)( nxxn).2cos()(cos)( nxxn 3.3 高阶导数高阶导数9求求n阶导数时阶导数时, 关键要寻找规律关键要寻找规律, 注注另外在另外在的规律性的规律性,便可看出规律便可看出规律;一般求至三阶一般求至三阶,求导过程中不要急于合并求导过程中不要急于合并, 分析结果分

7、析结果写出写出n 阶导数阶导数. 3.3 高阶导数高阶导数10例例.,231)(2nyxxy求求 解解2312 xxy33)1()2)(1()2()2)(1( xxy,)1(1)1()2(1)1(22 xx,)1(21)1()2(21)1(3232 xx11)()1(!)1()2(!)1( nnnnnxnxny.)1(1)2(1!)1(11 nnnxxn1121 xx22)1(1)2(1 xxy 3.3 高阶导数高阶导数11 求求n阶导数需要运用技巧阶导数需要运用技巧几个常用高阶导数公式几个常用高阶导数公式;)1()1()()4()(nnxnx );1()1()!1()1()1ln()5(1)

8、( xxnxnnn);2sin()(sin)2()( nkxkkxnn);2cos()(cos)3()( nkxkkxnn);0(ln)()1()( aaaanxnxxnxe)e ()( ).0()(!)1(1)6(1)( abaxanbaxnnnn的的n阶导数公式阶导数公式, 使问题简化使问题简化.尽可能化为求某些熟知函数尽可能化为求某些熟知函数 (通过四则运算通过四则运算, 变量代换变量代换, 恒等变形恒等变形) 3.3 高阶导数高阶导数12 )0(,321)(nyxy则则设函数设函数解解13!2)1( nnnn考研数学二考研数学二,三三,四四, 填空填空4分分)0()(!)1(11)(

9、abaxanbaxnnnn )(321nx1)32(2!)1( nnnxn )0()(ny013!2)1( nnnn 3.3 高阶导数高阶导数13例例.,cossin)(44nyxxy求求 解解若直接求导若直接求导, xxy44cossin x2sin2112 xxxx22222cossin2)cos(sin 24cos1211xx4cos4143 .24cos441)( nxynn且不易找出规律且不易找出规律,所以将式子恒等变形所以将式子恒等变形.将是很复杂的将是很复杂的, )2cos()(cos)( nkxkkxnn 3.3 高阶导数高阶导数14例例.,)43()32)(2()6(32yx

10、xxy求求设设 解解 分析分析此函数是此函数是6次多项式次多项式, 故不需将函数因式全乘出来故不需将函数因式全乘出来.因为因为)()3()2(532xpxxxy )(10856xpx 其中其中p5(x)为为x的的5次多项式次多项式, 故故!.6108)6( y又是求又是求6阶导数阶导数, !)()()(nxynnn 0) !()1( nyn 3.3 高阶导数高阶导数15考研数学考研数学(三三, 四四) 填空填空, 4分分设函数设函数2)( xxf在在的某邻域内可导的某邻域内可导, 且且, 1)2(,e)()( fxfxf )2(f则则解解 )(xf)e ()( xf)(exf )(2exf )

11、(xf)e ()(2 xf)(2e2xf )(xf )(xf )(3e2xf 223e2 3.3 高阶导数高阶导数16 )()()1(nvu )()()2(nvu莱布尼兹公式莱布尼兹公式用此公式可以简便地求用此公式可以简便地求出出乘积乘积的高阶导数的高阶导数可类比着牛顿二项公式可类比着牛顿二项公式加强记忆加强记忆)()(0kknnkknvuC 莱布尼兹莱布尼兹(Leibniz,16461727)德国数学家德国数学家三、三、莱布尼兹公式莱布尼兹公式设函数设函数u和和v具有具有n阶导数阶导数, 则则)()(nnvu vunnvnuvunnn )2()1()(! 2)1()()()(!)1()1(n

12、kknuvvukknnn )()(nvu)()(0kknnkknvuC 3.3 高阶导数高阶导数),(R 17例例.,sin)100(2yxxy求求设设 解解)()(sin100)(sin2)99(2)100()100( xxxxy 299sin2002100sin2xxxx)()(sin! 2991002)98( xx.sin9900cos200sin2xxxxx 298sin99100 x)()(0)()(kknnkknnvuCvu 则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,sin xu ,2xv 3.3 高阶导数高阶导数18提示提示 xxy11ln 211xy xx111121xxy 1

13、3xxx 1112经上面这样变形后再求经上面这样变形后再求n阶导数阶导数, 就方便多了就方便多了.)1)(1(1xx )1ln()1ln(xx 3.3 高阶导数高阶导数的的n阶导数阶导数.xxyxyxxy 1,11,11ln32求下列函数求下列函数19高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;莱布尼兹公式莱布尼兹公式.四、小结四、小结几个常用的基本初等函数的几个常用的基本初等函数的n阶导数公式阶导数公式( (希熟记希熟记) ); 3.3 高阶导数高阶导数20解答解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在,)(af 求求)(af axafxfax )()(lim0 axxfax )(lim)()