几何与代数：5-3 n维向量空间的正交化

1、1 5.3 n维向量空间的正交化维向量空间的正交化一、内积一、内积二、标准正交基二、标准正交基三、施密特正交化方法三、施密特正交化方法四、正交矩阵四、正交矩阵2 nnnRbbbaaa ,2121 设设nnbababa 2211,内积内积的的与与称为称为 一、内积一、内积 ).,( 记记为为.),(TT 则则若若 为行向量为行向量， ,.),( TT 则则若若 为列向量为列向量， , .,3 也记为也记为中中在在R此内积定义是此内积定义是3维空间中内积定义的维空间中内积定义的推广，但当推广，但当n3时已无直观的几何意义时已无直观的几何意义.3 ;,1 ,2 ,kkk .00,. 0,3 对称性对

2、称性线性性线性性非负性非负性：内积还满足以下关系内积还满足以下关系 ., 4 ,)1(22221 naaa定义定义（或称为（或称为模模(长长)，或，或范数范数)(2) 单位向量单位向量 . 1为单位向量为单位向量则称则称，若若 .1,12 ,1 e令令把向量单位化把向量单位化若若0, 则则, 0 则则即即为单位向量为单位向量. 1 eee ,5性质性质)3(；非负性非负性01 o;2 kko 齐次性齐次性三角不等式三角不等式o3. 6为了引入为了引入夹角夹角的概念的概念 Cauchy-Schwarz(柯西柯西施瓦兹施瓦兹)不等式不等式 ),(),)(,(),(2 证证线线性性相相关关，与与如如

3、果果 ，或或者者那那么么 k , 02),( 则则2),( k 22),( k ),)(,( kk ),)(,( .等等号号成成立立.线性相关时等号成立线性相关时等号成立与与当且仅当当且仅当 7线线性性无无关关，与与如如果果 ，来来说说那那么么对对于于任任意意实实数数0, tt，则则0),( tt，即即0),(),(2),(2 tt, 0),( 0),)(,(4),(42 ),)(,(),(2 .证证毕毕.线线性性相相关关时时等等号号成成立立与与仅仅当当 2, ,22 ,. ),( ),(综综上上所所述述81),(1 ),(cos ),(9（2）定义了内积的向量空间称为）定义了内积的向量空间称

4、为欧氏空间欧氏空间.,)3(222 时时当当则称向量则称向量a与向量与向量b正交正交., 0),( ba若若. 记作记作勾股定理勾股定理注注（1）零向量与任何向量都正交零向量与任何向量都正交.,),(arccos,00 的的夹夹角角为为定定义义时时，当当., 记记为为10二二 、标准正交基、标准正交基 101121111321，：如如 0,323121 .,321为正交向量组为正交向量组 若若一一非零非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组中的向量两两正交，则称该向量组为向量组为正交向量组正交向量组注意注意 (2) 由由单个非零向量单个非零向量组成的向量组也为正交向量组组成的向量组也为正交向量

5、组(1) 这里每个向量均要求非零这里每个向量均要求非零;11例例 设设 A 是是 n 阶反对称矩阵，阶反对称矩阵，x 是是 n 维列向量，维列向量，且且 Ax=y , 证明：证明：x 与与 y 正交正交 . yxyxT, xyxyT, xyyx, 又又 .0, yx证证 xyyx, AxxT xAxT xAxTT ,TAxx 12.0 i .,21线线性性无无关关故故s 使使设有设有s ,21证明证明02211 ss 0),(2211 ssi 作内积作内积), 1(si 两两正交非零向量组必线性无关两两正交非零向量组必线性无关.线线性性无无关关. ., , , ,则则向向量量, ,是是一一组组

6、两两两两正正交交的的非非零零, , , ,向向量量ss 2121, 0),( iii , 0),( ii 而而 0,111 ssiiii 13线性无关向量组未必是正交向量组线性无关向量组未必是正交向量组 . .111011001321，：如如 ，已已知知12111121 .3213为正交向量组为正交向量组，使使，求求 则则设设,3213xxx 0,32131 xxx 02,32132 xxx .1, 0, 13 解解例例解之得解之得. 0,231 xxx则则有有若若令令, 13 x.321为正交向量组为正交向量组， 由上可知由上可知14满满足足：维维向向量量空空间间的的向向量量组组是是设设,2

7、1ns ), 2, 1( , 1)2(sii .21正交向量组正交向量组规范规范为标准为标准，则称则称s )( ,0),()1(jiji ,ns 若若.21的标准正交基的标准正交基为为，则称则称nsR 15 1, 0 , 0,0 , 1, 0,001321 ，如如.R3的的标标准准正正交交基基是是 0102102121021321， .R3的的标标准准正正交交基基是是如何将一线性无关向量组如何将一线性无关向量组?化为标准正交向量组化为标准正交向量组任一线性无关向量组都可标准正交化任一线性无关向量组都可标准正交化 .16三、施密特正交化方法三、施密特正交化方法.,321321321 价的正交向量

8、组价的正交向量组等等确定与确定与，线性无关线性无关设设 即即使使选选择择适适当当的的，令令,0,2112211 kk ,0,1112112 kk ,1112 k .,1111222 321, 考考虑虑线线性性无无关关向向量量组组首先首先17为使为使令令,221133 kk 可推出可推出则则,0,3231 ,2223211131 kk ,222231111333 于是于是.,321321等等价价的的正正交交向向量量组组是是与与 18把线性无关向量组把线性无关向量组 s ,21标准正交标准正交化化 1111222, 222231111333, 11 .,111122221111 sssssssss

9、 , 2, 11siiii 再令再令.,21为标准正交向量组为标准正交向量组s (1)正交化正交化(2)单位化单位化一般地一般地,19例例 用施密特正交化方法用施密特正交化方法，将向量组将向量组)1, 1 , 5 , 3(),4 , 0 , 1, 1(),1 , 1 , 1 , 1(321 aaa标准正交化标准正交化.解解 先正交化先正交化， 取取 ,1 , 1 , 1 , 111 ab1111222),(),(bbbbaab 1 , 1 , 1 , 111114114 , 0 , 1, 1 ,3 , 1, 2, 0 20222231111333),(),(),(),(bbbbabbbbaab

10、 3 , 1, 2, 014141 , 1 , 1 , 1481, 1 , 5 , 3 0 , 2, 1 , 1 再单位化，再单位化， 143,141,142, 03 , 1, 2, 0141222bbe 0 ,62,61,610 , 2, 1 , 161333bbe得标准正交向量组如下得标准正交向量组如下 21,21,21,211 , 1 , 1 , 121111bbe21.,014,131,121321量量标标准准正正交交化化特特正正交交化化过过程程把把这这组组向向试试用用施施密密设设 aaa解解;11ab 取取1211222),(bbbaab 12164131;11135 2222312

11、11333),(),(bbbabbbaab 22 1113512131014.1012 再把它们再把它们单位化单位化，取，取bbe111 ,12161 bbe222 ,11131 bbe333 .10121 .,321即为所求即为所求eee23例例 设设 ., 1, 1, 1321321正交向量组正交向量组为为使使求求 T 则则正交的向量为正交的向量为设与设与,3211Txxx 0,3211 xxx 其基础解系为其基础解系为 22 .1, 2, 1211, 0, 1211, 1, 0TTT 解解213xxx ：正交化正交化将将321, 11112, 2 222231111333, TT1, 1

12、 , 0,1, 0 , 132 24 , 1, 1, 11T ,1, 0, 12T .1, 2, 1213T 25例例 将将 1, 1, 0,1, 2, 1,1, 1, 1321 .标准正交化标准正交化 ,1, 1, 111 设设 ,1, 2, 131 222231111333, ,1, 0, 121 解解 1111222, 1, 1, 1341, 2, 1 26 1, 1, 1311111 1, 2, 1611222 .1, 0, 1211333 .1单位化即可单位化即可只需将只需将，单位化单位化将将：注意注意 k 为什么？为什么？ 1 .11 kk kkk11,11 .0, 0号号取取号；

13、号；取取 kk27四、正交矩阵四、正交矩阵：的列向量组的列向量组作矩阵作矩阵中的中的将上题将上题A321, 21613106231216131321 ATAA 21613106231216131 21021616261313131.I 28,)1(T1AA ,1)2( A.12 IA.)3(交交矩矩阵阵正正交交矩矩阵阵的的乘乘积积也也是是正正,TTTTIBBBBIAAAA 设设 .TTTTIBBABABABAB 则则 .)4(都是标准正交向量组都是标准正交向量组向量组向量组列列的行的行为正交矩阵为正交矩阵AA若实矩阵若实矩阵 A 满足满足 AAT=ATA=I ,则称则称 A 为为正交矩阵正交矩

14、阵 .AAAATT 29,21 nA 设设 TT2T1T2T22T12T1T21T11TnnnnnnAA .0,1TTjijiii .0,1,jijiii 证证(4) 则则,TT2T1TnA I 30解解 例例 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵.979494949198949891 979494949198949891 979494949198949891T所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵 100010001由于由于31解解 121312112131211, 02131121211 所以它不是正交矩阵所以它不是正交矩阵考察矩阵的第一列和第二列考察矩阵的第一列和第二列，由于由于判

15、别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵32 例例 且且，维实列向量维实列向量都是都是设设3,321 ，为正交矩阵为正交矩阵321 A ,22313211 ,22313212 ,22313213 .321是正交矩阵是正交矩阵：证明证明 B只需证明只需证明：分析分析 .3, 2, 1,1,0, ijiiji 33 ，为正交矩阵为正交矩阵321 A .3, 2, 11,0, ijiiiji 32132121323132,313232, 332211,92,92,94 .0,3231 同样，同样， 111, .132 ，同样同样证证 332211,91,94,94 ,1 .321是正交矩阵是正交矩阵 B,0 34 例例 设设 A 是奇数阶正交矩阵是奇数阶正交矩阵, 且且 detA=1 .证明证明 ： 1 是是 A 的特征值的特征值 .?1,)1( A使使是否存在向量是否存在向量：分析分析?01)2( AI AI1IA .01 AI证证AAA TIAA T TIA AIn 1AI 1或或35小小 结结 nnbbbaaa,2121 设设 nnbababa 2211,