概率论1-4 条件概率

1、第四节第四节 条件概率条件概率1. 条件概率的定义条件概率的定义2. 乘法公式乘法公式 全概率公式全概率公式 贝叶斯公式贝叶斯公式条条 件件 概概 率率则称事件A在“事件B已发生”这一附加条件下的概率为在事件B已发生的条件下事件A的条件概率，简称为A在B之下的条件概率，记为PA B设A、B是某随机试验中的两个事件，且 0P B ABAB()B()AB()A( )nn 抛掷一颗骰子抛掷一颗骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数A=出现的点数是奇数出现的点数是奇数，B=出现的点数不超过出现的点数不超过3， 若已知出现的点数不超过若已知出现的点数不超过3 3，求出现的点数是，求出现的点数是奇数的概率

2、奇数的概率 即事件即事件 B B 已发生，求事已发生，求事件件 A 的概率（）的概率（）A B 都发生，但样本空间都发生，但样本空间缩小到只包含的样本点缩小到只包含的样本点2(|)3ABBP A B 设设，为同一个随机试验中的两个随机事件为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且且（），）， 则称则称()()()PA BPA BPB为在事件为在事件发生的条件下，事件发生的条件下，事件发生的发生的条件概率条件概率 n 定义定义1.4.11.4.1 类似的，若类似的，若P（A）0,则称则称()()()PA BPBAPA为在事件为在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的发生的条件概率条件概

3、率 条件概率符合概率定义中的三个条件条件概率符合概率定义中的三个条件,即即12,A A （1）对于每一事件，有）对于每一事件，有 ；（2） ；（3）设）设 是两两不相容的事件，则有是两两不相容的事件，则有()0P A B ()1PB11()0iiiiPA BP A B计算计算 的方法：的方法：()P A B（1）在样本空间）在样本空间 中，先求出中，先求出 ， ，再由定义式求出再由定义式求出 .()P A B( )P B()P AB(2)由已知事件由已知事件B发生所提供的信息发生所提供的信息,可将原来的样可将原来的样本空间本空间 缩减到缩减到 (即事件即事件B所含的基本事件全所含的基本事件全体

4、体)，然后在，然后在 中直接计算中直接计算A发生的概率发生的概率,即得即得BB()P A B 例例1 现有开关为圆形和方形产品共现有开关为圆形和方形产品共150件，正件，正品品135件。已知方形产品件。已知方形产品90件，其中正品件，其中正品80件。圆形件。圆形产品产品60件，其中正品件，其中正品55件。现从中任取一件，发现件。现从中任取一件，发现是圆形的，问这件产品是正品的概率是多少？是圆形的，问这件产品是正品的概率是多少？解法解法1 设事件设事件A为为“取到的产品为正品取到的产品为正品”，事件，事件B为为“取到的产品是圆形的取到的产品是圆形的”，这里的问题就是求，这里的问题就是求()P A

5、 B由由602( )1505P B 5511()15030P AB 得得()11/3011()( )2/512P ABP A BP B解法解法2 由题意知原来的样本空间由题意知原来的样本空间 所含的基本事件所含的基本事件总数为总数为150，已知事件，已知事件B发生，可缩减的基本事件空间发生，可缩减的基本事件空间 中含有中含有60件圆形产品，而其中含有正品件圆形产品，而其中含有正品55件。件。B因此因此5511()6012P A B 例例2 某种动物出生之后活到某种动物出生之后活到20岁的概率为岁的概率为0.7，活，活到到25岁的概率为岁的概率为0.56，求现年为，求现年为20岁的这种动物活到岁

6、的这种动物活到25岁的概率。岁的概率。解解 设设A表示表示“这种动物活到这种动物活到20岁以上岁以上”，B表示表示“ 这种这种动物活到动物活到25岁以上岁以上”则由题意知则由题意知( )0.7P A ( )0.56P B BA()( )0.56()0.8.( )( )0.7P ABP BP A BP BP A例例3 考虑恰有两个小孩的家庭考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩，若已知某一家有男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率.（假定

7、生男生女为等可能）（假定生男生女为等可能） = (男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) , (女女 , 女女) 解解于是得于是得 13P A B 112P A B=(男男, 男男) , (男男 , 女女) 1B则则 =(男男, 男男) , (男男 , 女女) , (女女 , 男男) =(男男, 男男) ，设设 = “有男孩有男孩” ，=“第一个是男孩第一个是男孩” 1B= “有两个男孩有两个男孩” ，乘法公式乘法公式 两个事件的乘法公式两个事件的乘法公式由条件概率的计算公式由条件概率的计算公式 P ABP B AP A 我们得我们得 P ABP AP B A这就是两个

8、事件的乘法公式这就是两个事件的乘法公式定义定义1.4.2 设设A，B为两个随机事件，则为两个随机事件，则 , ( )0;, ( )0.P BP A BP BP ABP AP B AP A该定理可推广到一般情形该定理可推广到一般情形个随机事件，且为，设nAAAn210121nAAAP 则有12121312121 nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP这就是n个事件的乘法公式 例例4 一批零件共一批零件共100件，其中有件，其中有10件次品，每次件次品，每次从中任取一件，取出的零件不放回，求第从中任取一件，取出的零件不放回，求第3次才取到次才取到合格品的概率。合格品的概率。 解解 设设Ai表示

9、表示“第第i次取到合格品次取到合格品“，i=1，2，3，于于是，所求概率为是，所求概率为222131131()() ()()P A A AP A P A AP A A A109900.0083100 99 98例例5 袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取袋中有一个白球与一个黑球，现每次从中取出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进出一球，若取出白球，则除把白球放回外再加进一个白球，直至取出黑球为止求取了一个白球，直至取出黑球为止求取了n次都未取次都未取出黑球的概率出黑球的概率解：解：次都未取出黑球取了设nB niiAi，次取出白球第21则则nAAAB21由乘法公式，我们有由乘法公式，我们有

10、 nAAAPBP21 121213121 nnAAAAPAAAPAAPAP1433221nn11n全概率公式全概率公式12,nBBB则称则称 为样本空间为样本空间 的一个的一个划分（或划分（或完备事件组）完备事件组）。 定义定义 设设 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间， 为为 E 的一组事件。若满足的一组事件。若满足 12,nB BB=,1,2, ;ijBBiji jn(1) 12.nBBB (2) （全概率公式全概率公式）设）设 是随机试验是随机试验E的样本空间的样本空间的一个划分，且的一个划分，且A是是E的任一事件，则的任一事件，则 12,nB BB()0,1,2,iP Bin1(

11、 )()().niiiP AP BP A BB1B2Bn.AB1AB2.ABn12= nA ABABAB证明证明1211221( )()()()()()()()()()()().nnnniiiP AP ABP ABP ABP BP A BP BP A BP BP A BP BP A B全概率公式的使用全概率公式的使用我们把事件我们把事件A看作某一过程的结果，看作某一过程的结果，12,nBBB把看作该过程的若干个原因，根据历史资料，每一原因发生的概率已知根据历史资料，每一原因发生的概率已知，iP B即已知iP A B即已知而且每一原因对结果的影响程度已知，而且每一原因对结果的影响程度已知，则我们

12、可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率 P A即求例例6 某小组有某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射名射手，其中一、二、三、四级射手分别为手分别为2、6、9、3名又若选一、二、三、四级射名又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.850.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率组在比赛中射中目标的概率解：解：A 设该小组在比赛中射中目标 1234Biii选 级射手参加比赛， ， 4260.850.6420201P

13、AP BP A Biii930.450.320.52752020练一练练一练 一工厂有甲一工厂有甲,乙乙,丙三个车间丙三个车间,生产同一种电子生产同一种电子元件元件,每个车间的产量分别占总产量的每个车间的产量分别占总产量的2030%,50%.如果每个车间成品的次品率分别为如果每个车间成品的次品率分别为6%,3%,2%,现任现任意从全厂生产的元件中抽取一件意从全厂生产的元件中抽取一件,求它恰为次品的概求它恰为次品的概率率.例例8 设有甲设有甲,乙两袋乙两袋,甲袋中装有甲袋中装有n只白球只白球,m只红球只红球;乙袋中装有乙袋中装有N只白球只白球,M只红球只红球.今从甲袋中任取一球今从甲袋中任取一球放入乙袋放入乙袋,再从乙袋中任取一球再从乙袋中任取一球.问取到白球的概率是问取到白球的概率是多少多少?练一练练一练 某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以100件为一批，假定每件为一批，假定每一批产品中